第2課時指數函數的圖象和性質的應用關鍵能力·合作學習類型一定區間上的值域問題(數學運算)【題組訓練】

1.函數f(x)=在區間[-2，2]上的最小值是 ()2.若，則函數y=2x的值域是 ()

D.[2，+∞)3.已知函數f(x)=ax(a>0，a≠1)在區間[-1，1]上的最大值與最小值的差是，則實數a的值為_______.

【解析】1.選B.函數f(x)=在定義域R上單調遞減，所以f(x)在區間[-2，2]上的最小值為f(2)=2.選B.因為，所以≤2-2x+4，所以x2+1≤-2x+4，解得-3≤x≤1，所以函數y=2x的值域為[2-3，2]，即.3.當a>1時，a-得a=3.當0<a<1時，-a=，得a=，所以a=3或a=.答案：3或【解題策略】關于定區間上的值域問題(1)求定區間上的值域關鍵是確定函數的單調性，如果底數中含字母，則分a>1，0<a<1兩種情況討論，單調性確定后，根據單調性求最值即可.(2)特別地，如果是最大值與最小值的和，則不需要討論，因為無論單調遞增還是遞減，最值總在端點處取到.【補償訓練】若函數f(x)=ax(a>0，a≠1)在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，則實數a的值是_______.

【解析】函數f(x)=ax(a>0，a≠1)在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，則和為f(1)+f(2)=a+a2=3a，解得a=2或0(舍去).答案：2類型二指數函數圖象和性質的綜合應用(數學運算、邏輯推理)【典例】已知定義域為R的函數f(x)=是奇函數，(1)判斷并證明該函數在定義域R上的單調性.(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求實數k的取值范圍.四步內容理解題意條件：函數f(x)=是奇函數結論：(1)判斷并證明單調性；(2)不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范圍.思路探求(1)單調性的定義?函數的單調性；(2)函數是奇函數、單調性?轉化不等式?求k的范圍.四步內容題后反思函數性質的應用是解題的核心,不能盲目代入關于t的式子去解不等式.【解題策略】函數性質的綜合應用(1)解題過程中要關注、體會性質的應用，如果性質應用不充分，會導致解題步驟煩瑣或無法求解.如本題中奇偶性，單調性的應用，可以將復雜的指數運算轉化為一元二次不等式問題.(2)一元二次不等式的恒成立問題，可以結合相應的一元二次函數的圖象，轉化為等價的條件求解.恒成立問題還可以利用分離參數、轉化為最值問題等方法求解.【跟蹤訓練】設a>0，函數f(x)=是定義域為R的偶函數.(1)求實數a的值.(2)求f(x)在[1，3]上的值域.【解析】(1)由f(x)=f(-x)，得，即4x=0，所以=0，根據題意，可得-a=0，又a>0，所以a=1.(2)由(1)可知f(x)=4x+，設任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=因為0<x1<x2，所以，所以<0.又因為x1+x2>0，所以>1，所以>0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以函數f(x)在(0，+∞)上是單調遞增.所以函數f(x)在[1，3]上最大值為f(3)=43+；最小值為f(1)=4+.故值域為【補償訓練】已知函數f(x)=-3x，則f(x) ()A.是奇函數，且在R上是增函數B.是奇函數，且在R上是減函數C.是偶函數，且在R上是增函數D.是偶函數，且在R上是減函數【解析】選B.f(x)=-3x，f(-x)=-3-x=3x-=-f(x)，所以f(x)為奇函數，又因為函數y=，y=-3x都是減函數，則兩個減函數之和仍為減函數.類型三復合函數的單調性、值域(數學運算)

角度1復合函數的單調性

【典例】求函數y=的單調遞增區間.【思路導引】將函數變為y=3t，t=-2x2+x+1，利用兩個函數的單調性解題.【解析】令t=-2x2+x+1，則y=3t，因為t=-2，可得t的增區間為，因為函數y=3t在R上是增函數，所以函數y=的單調遞增區間為.【變式探究】試求函數y=的單調增區間.【解析】令t=x2-x-2，則y=，因為t=，可得t的減區間為，因為函數y=在R上是減函數，所以函數y=的單調遞增區間為.角度2復合函數的值域

【典例】(2020·杭州高一檢測)函數y=的值域為 ()

D.(0，2]【思路導引】先求內層函數的值域，再結合指數函數的單調性求值域.【解析】選A.令t=2x-x2=-(x-1)2+1≤1，因為y=單調遞減，所以，即y≥.【解題策略】復合函數的單調性、值域(1)分層：一般分為外層y=at，內層t=f(x).(2)單調性復合：復合法則“同增異減”，即內外層的單調性相同則原函數單調遞增，單調性相反則原函數單調遞減.(3)值域復合：先求內層t的值域，再根據t的范圍利用單調性求y=at的值域.【題組訓練】

1.若函數f(x)=在區間[1，3]上單調遞增，求實數a的范圍.【解析】令y=at，t=x2-ax-3，因為函數f(x)=在區間[1，3]上單調遞增，所以解得1<a≤2.2.(2020·玉林高一檢測)若函數f(x)=a|2x-4|(a>0，a≠1)，滿足f(1)=，則f(x)的單調遞減區間是 ()A.(-∞，2] B.[2，+∞)C.[-2，+∞) D.(-∞，-2]【解析】選B.由f(1)=，得a2=，于是a=，因此f(x)=.因為g(x)=|2x-4|在[2，+∞)上單調遞增，所以f(x)的單調遞減區間是[2，+∞).課堂檢測·素養達標1.函數f(x)=()x在區間[1，2]上的最大值是 ()

【解析】選C.由題意可知函數f(x)是遞增函數，所以當x=2時，函數f(x)取得最大值為3.2.指數函數f(x)=ax(a>0，a≠1)，在R上是減函數，則函數g(x)=(a-2)x3在R上的單調性為 ()B.在(0，+∞)上遞減，在(-∞，0)上遞增D.在(0，+∞)上遞增，在(-∞，0)上遞減【解析】選C.因為指數函數f(x)=ax在R上是減函數，所以0<a<1，所以-2<a-2<-1，所以函數g(x)=(a-2)x3在R上遞減.3.已知函數f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0，2)內的值域是(1，a2)，則函數y=f(x)的圖象大致是 ()【解析】選B.函數在(0，2)內的值域是(1，a2)，則由于指數函數是單調函數，則有a>1，由底數大于1指數函數的圖象上升，且在x軸上面，可知B正確.4.(教材二次開發：習題改編)函數f(x)=的單調減區間是______