§4-0引言求解導熱問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數值計算法；(3)實驗法。三種方法的基本求解過程

(1)

所謂理論分析方法：就是在理論分析的基礎上，直接對微分方程在給定的定解條件下進行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；

(2)

數值計算法：把原來在時間和空間連續的物理量的場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些值的代數方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；并稱之為數值解；

(3)

實驗法：就是在傳熱學基本理論的指導下，通過實驗得出對所研究對象的傳熱過程所求量的方法。3三種方法的特點

(1)分析法a能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數值計算提供比較依據；b局限性很大，對復雜的問題無法求解；c分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見。

(2)

數值法：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應性強，特別對于復雜問題更顯其優越性；與實驗法相比成本低。(3)實驗法:是傳熱學的基本研究方法，a適應性不好；b費用昂貴。數值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、邊界元法（boundary-element）、分子動力學模擬（MD）§4-1導熱問題數值求解的基本思想

及內部節點離散方程的建立1物理問題的數值求解過程建立控制方程及定解條件確定節點（區域離散化）建立節點物理量的代數方程設立溫度場的迭代初值求解代數方程是否收斂解的分析改進初場是否二維矩形域內穩態無內熱源，常物性的導熱問題2例題條件xynm(m,n)MN3基本概念：控制容積、網格線、節點、界面線、步長二維矩形域內穩態無內熱源，常物性的導熱問題4建立離散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒展開法；）級數(2)多項式擬合法；(3)控制容積積分法；(4)控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)(1)泰勒級數展開法根據泰勒級數展開式，用節點(i,j)的溫度ti,j來表示節點(i+1,j)的溫度ti+1,j用節點(i,j)的溫度ti,j來表示節點(i-1,j)的溫度ti-1,j若取上面式右邊的前三項，并將式①和式③相加移項整理即得二階導數的中心差分：同樣可得：截斷誤差未明確寫出的級數余項中的ΔX的最低階數為2

那么，對于二維穩態導熱問題，在直角坐標中，其導熱微分方程為：其節點方程為：(2)控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：對每個有限大小的控制容積應用能量守恒，從而獲得溫度場的代數方程組，它從基本物理現象和基本定律出發，不必事先建立控制方程，依據能量守恒和Fourier導熱定律即可。能量守恒：進入控制體的總熱流量＋控制體內熱源生成熱＝出控制體的總熱流量＋控制體內能的增量即：單位：即：從所有方向進入控制體的總熱流量＋控制體內熱源生成熱＝控制體內能的增量注意：上面的公式對內部節點和邊界節點均適用穩態、無內熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0內部節點：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxy

(m,n+1)y以二維、穩態、有內熱源的導熱問題為例此時：可見：當溫度場還沒有求出來之前，我們并不知道所以，必須假設相鄰節點間的溫度分布形式，這里我們假定溫度呈分段線性分布，如圖所示(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可見，節點越多，假設的分段線性分布越接近真實的溫度布。此時：內熱源：時：若無內熱源時，式（a）變為式（b）：重要說明：所求節點的溫度前的系數一定等于其他所有相鄰節點溫度前的系數之和。這一結論也適用于邊界節點。但這里不包括熱流(或熱流密度)前的系數。（a）（b）4-2邊界節點離散方程的建立及代數方程的求解對于第一類邊界條件的熱傳導問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數值的形式加入到內節點的離散方程中，組成封閉的代數方程組，直接求解。而對于第二類邊界條件或第三類邊界條件的熱傳導問題，就必須用熱平衡的方法，建立邊界節點的離散方程，邊界節點與內節點的離散方程一起組成封閉的代數方程組，才能求解。為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。用Φ表示內熱源強度。1.邊界節點離散方程的建立：qwxyqw(1)平直邊界上的節點(2)外部角點xyqw(3)內部角點xyqwqw的情況：(1)第二類邊界條件：將，帶入上面各式即可

絕熱或對稱邊界條件？第三類邊界條件：將，帶入上面各式即可

？課堂作業：將帶入外部角點的溫度離散方程，并化簡到最后的形式(3)輻射邊界條件：或其他2.節點方程組的求解寫出所有內節點和邊界節點的溫度差分方程n個未知節點溫度，n個代數方程式：代數方程組的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法：通過有限次運算獲得代數方程精確解;矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對要計算的場作出假設、在迭代計算過程中不斷予以改進、直到計算結果與假定值的結果相差小于允許值。稱迭代計算已經收斂。缺點：所需內存較大、方程數目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數，節點溫度差分方程中的系數不再是常數，而是溫度的函數。這些系數在計算過程中要相應地不斷更新）迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點：每次迭代時總是使用節點溫度的最新值在計算后面的節點溫度時應按下式（采用最新值）例如：根據第k次迭代的數值可以求得節點溫度：判斷迭代是否收斂的準則：k及k+1表示迭代次數；—第k次迭代得到的最大值當有接近于零的t時，第三個較好4-3非穩態導熱問題的數值解1.非穩態導熱與穩態導熱的主要差別非穩態導熱與穩態導熱的主要差別在于控制方程中多了一個非穩態項，其中的擴散部分與穩態導熱相同。2.對時間的離散以一維非穩態導熱為例:從上一個時間層倒下一個時間層的間隔稱為時間步長，如果用代表時間－空間區域中任一節點的溫度。(n,i)ox(n-1,i)(n,i-1)xx

(n,i+1)非穩態項的離散有三種不同的格式。如果將函數t在節點(n,i+1)對點(n,i)做泰勒展開有：關于時間在(n,i)處的一階導數的第一種差分格式為：此式稱為的向前差分。類似地，將t點(n,i-1)對(n,i)作泰勒展開得此式稱為對的向后差分。如果將t在點(n,i+1)和點(n,i-1)處展開可得式稱為一階中心差分。至此一維穩態導熱方程擴散項取中心差分，非穩態項取向前差分，則有：改進寫法得：

此時便可以根據初始溫度分布，利用邊界條件依次求得各時間層上的溫度值。

一旦第i層上各節點的溫度已知，便可求算第i+1層上各內節點的溫度，不必解方程。此計算格式稱為顯式差分格式。如果將擴散項也用第i＋1層上的值來表示，則有此式已知i層的，而要求值必須聯立方程才能求出各節點溫度，因此這種差分格式稱為隱式差分格式。以上差分格式僅適應于內部節點。3.邊界節點的離散

以一維無限大平板的第三類邊界條件為例：NN-2

N-1)對邊界單元網格采用熱平衡法得：整理后，得邊界離散方程：稱為以為特征長度的網格傅立葉數，這樣邊界上的離散方程可變為：這樣，對于第三類邊界條件下，厚度為2的一維無限大平板的數值計算的差分方程式為：4.收斂條件

對于內部節點，為了保證方程解的收斂必須滿足：對于邊界節點，必須滿足：即：收斂性條件是選擇時間步長和空間步長的依據。思考