14.2勾股定理的

應用第一課時ABC勾a股b弦c一.勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于它斜邊的平方。那么a2+b2=c2如果在Rt?ABC中，∠C=90°語言敘述：字母表示：

如果三角形的三邊長a,b,c滿足那么這個三角形是直角三角形。二.直角三角形的判定復習做一做：

1.ABC的兩邊AB=5,AC=12,則BC=13()2.直角三角形

ABC中a=6,b=8,則c=10()3.能與3和4圍成三角形的數有

個；能與3和4圍成直角三角形的有

個；能與3和4組成勾股數的數有

個。4.一個直角三角形的三邊長是不大于１0的三個連續偶數，則它的周長是()X√1242無數3、在一塊平地上，一棵樹的10米高的D處有兩只猴子,其中一只猴子爬下樹走到離樹20米的池塘A處,另一只爬到樹頂后直接躍向池塘A處,如果兩只猴子所經過的距離相等,試問這棵樹有多高?DABC10米20米┏用勾股定理建立方程，關鍵是找出三邊的關系，能用同一個未知數表示未知邊。AC+CD=AB+BD=30米x30-xAB例1.一圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程.(精確到0.01cm)CD一.最短路程問題BCAD解：如圖，由題意得：在直角三角形ABC中，CD=4，AD=20÷2=10，根據勾股定理得：答：最短路程為10.77厘米。o變式：一只螞蟻從點A出發，沿著圓柱的側面爬行到CD的中點O，已知底面周長為10，試求出爬行的最短路程。AABDC43O解：如圖，由題意得：在直角三角形ABO中，OD=4÷2=2，AD=10÷2=5，根據勾股定理得：答：最短路程為

厘米。例2.

如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是多少？ABABC21分析：由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如右圖）.解：如圖，由題意得：在直角三角形ABC中，AC=1，BC=2，根據勾股定理得：答：最短路程為厘米。例3.如果盒子換成如圖長為3cm，寬為2cm，高為1cm的長方體，螞蟻沿著表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB321分析：螞蟻由A爬到B過程中較短的路線有多少種情況？(1)經過前面和上底面;(2)經過前面和右面;(3)經過左面和上底面.23AB1C321BCA321BCA(1)當螞蟻經過前面和上底面時，解:23AB1CAB＝＝＝如圖，最短路程為(2)當螞蟻經過前面和上右面時，如圖，最短路程為321BCAAB＝＝＝(3)當螞蟻經過左面和底面時，如圖，最短路程為AB＝＝＝321BCA∴最短路程為㎝例4.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？ABCＤ解:由題意可得：AC=5，BC=3×3+3×1=12，根據勾股定理得：AB2=AC2+BC2答:從A點爬到B點，最短線路是13.ABCD探究訓練一個圓柱形的封閉易拉罐，它的底面直徑為5cm,高為１2cm,問易拉罐內可放的攪拌棒（直線型）最長可為多長？BAA1A2CACDMBN精選題型:1.在一塊寬AN=5cm,長ND=10cm的磚塊的棱CD上有一點B距底面BD=8cm,磚塊下底面A點處有一只蝸牛想爬到B處,需要爬行的最短路徑是多少?(17cm)E例1、一輛裝滿貨物的卡車,其外形高2.5米,寬1.6米,要開進廠門形狀如下圖的某工廠,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?2.3

米2米ABCDOH.分析：1、廠門的寬度足夠，所以卡車能否通過，只要看卡車位于廠門正中間時，其高度是否小于（），要求CH就必須先求（），而要求出CD我們可以建立RtΔ（）。2、在RtΔOCD中，直角邊OD=（）斜邊OC=（）CHCDOCD1米0.8米解：在RtΔOCD中，由勾股定理得CH=0.6+2.3=2.9＞2.5因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門.0.8m1m2、一輛裝滿貨物高為1.8米，寬1.5米的卡車要通過一個直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道，它能順利通過嗎？OA1.5mCD.分析：隧道寬度是足夠的,所以卡車能否通過，只要看卡車位于隧道中線一側時，其右側高度是否小于（）.？

因為2＞1.8，高度上有0.2米的余量，所以卡車能通過隧道.CD連接OD，得到RtΔOCD如何求CD呢？解：在RtΔOCD中，由勾股

定理得2.5m練習：1.三角形三邊分別為6、8、10,那么最短邊上的高為__．2.一個三角形花壇的三邊長分別為5cm，12cm，13cm，則這個花壇的面積是________．3.直角三角形三邊是連續整數，各邊分別為＿＿＿4.一個三角形的三邊的比為5∶12∶13,它的周長為60cm,則它的面積是＿＿＿．6.做一個長，寬，高分別為50厘米，40厘米,30厘米的木箱，一根長為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學過的知識說明。作業5.有一棵樹直立在地上，樹高20米，粗3米，有一根葛藤從樹根處纏繞而上，纏繞7周到達樹頂，請問這根葛藤條有多長？2.有一棵樹直立在地上，樹高20尺，粗3尺，有一根葛藤從樹根處纏繞而上，纏繞7周到達樹頂，請問這根葛藤條有多長？（1丈等于10尺）ABC20尺3×7=21（尺）1.小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機.小明量了電視機的屏幕后，發現屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了.你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？（1英寸=2.54厘米）試一試：4．如圖:是一個長方形零件圖，根據所給的尺寸,求兩孔中心A、B之間的距離．ABC409016040應用知識回歸生活DABC

例1.有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？解:設,則水池的深度為X米,蘆葦高為(X+1)米.根據題意得:AB2=BC2+AC2

(X+1)2=52+X2X2+2X+1=25+X2X=12X+1=12+1=13(米)答:水池的深度為12米,蘆葦高為13米.小結１、立體圖形中路線最短的問題，往往是把立體圖形展開，得到平面圖形．根據“兩點之間，線段最短”確定行走路線，根據勾股定理計算出最短距離．２、在解決實際問題時，首先要畫出適當的示意圖，將實際問題抽象為數學問題，并構建直角三角形模型，再運用勾股定理解決實際問題．應用勾股定理解決實際問題的一般思路：14.2.1勾股定理的

應用第二課時例2.折疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,已知AB=8,BC=10,求:(1)CF(2)EC.ABCDEF810106X8-X48-X解：由題意得，在RtΔABF中AF=AD=BC=10，AB=DC=8∴FC=4cm

設EC=x，則DE=EF=(8-x)，∵EF2=EC2+FC2

∴（8-x）2=x2+42

解得：x=3

二.折疊問題1.長方形紙片ABCD中，AD＝4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，折痕是EF，求DE的長度？ABCDEF（B）（C）2.如圖，小潁同學折疊一個直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長嗎？CABDE試一試三、網格問題ABC例3.如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的△ABC三邊的大小關系？FED解：如圖，由題意得：

ADC,

FBC,

ABE為直角三角形，根據勾股定理得：

∴AB>AC>BC例4.如圖，在5×5的正方形網格中，每個邊長都為1，按下列要求畫出圖形。(1).從點A出發畫一條線段AB， 使它的另一個端點B在格點上，且長度為；(2).畫出以AB為邊的等腰三角形，另一個頂點在格點上，且長度為無理數。●ABNMCD一種當AB為底，可作

ABC，

ABD二種當AB為腰，可作

ABN，

ABM因邊長為無理數，所以

ABN，

ABM不合題意。解：根據題意可得：實數數軸上的點一一對應說出下列數軸上各字母所表示的實數：

ABCD

-2-1012點C表示點D表示點B表示點A表示我們知道數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，你能在數軸上表示出的點嗎？01234步驟：ABC1、在數軸上找到點A,使OA=3;2、作直線l⊥OA,在l上取一點B，使AB=2;3,以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數軸交于C點，則點C即為表示的點。例5：數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，你能在數軸上畫出表示的點嗎？你能在數軸上畫出表示的點和的點嗎？∴點C即為表示的點數學海螺圖：利用勾股定理作出長為的線段.11數學海螺圖：利用勾股定理作出長為的線段.小結１.在運用勾股定理時，要看圖形是不是直角三角形。２.要學會根據題意畫出草圖，構建直角三角形。３.考慮問題要全面，不要漏了某些情況。DABC

螞蟻沿圖中的折線從A點爬到D點，一共爬了多少厘米？（小方格的邊長為1厘米）GFE練習：34125682、長方形ABCD邊長為9和3，若沿對角線AC折疊后，點B落在B1處。（1）求證：AE=CE（2）求三角形ACE的面積CBAB1D123E39分析:CE+DE=AE+DE=9設DE=X,則CE=9-xX9-x在RtΔCDE中，由勾股定理得AE=9-x=5SΔACE=1／2AE●CD=7.5如圖,把長方形紙片ABCD折疊,使頂點A與頂點C重合在一起,EF為折痕。若AB=8,BC=4.(1)求△BFC

面積。(2)試求以折痕EF為邊長的正方形面積。ABCDEFX48-x補充：分析:(1)CF+BF=AF+FB=8設BF=X,則CF=8-x在RtΔCBF中，由勾股定理得SΔBCF=1／2BF●CB=6O(2)在RtΔABC中，由勾股定理易求AC＝在RtΔOFC中，由勾股定理易求得OF=123易證EC=FC,由等腰三角形三線合一可證OE=OFEF=正方形面積為如圖，在△ABC中，AB=AC，D點在CB延長線上，求證：AD2-AB2=BD·CDABCD證明：過A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2∴AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)·(DE-BE)=(DE+CE)·(DE-BE)=BD·CD14.2.1勾股定理的

應用第三課時5．為了豐富少年兒童的業余生活，某社區要在如圖7所示AB所在的直線建一圖書室，本社區有兩所學校所在的位置在點C和點D處，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km，試問：圖書室E應該建在距點A多少km處，才能使它到兩所學校的距離相等?EDCBA1、有一塊田地的形狀和尺寸如圖所示，試求它的面積。∟∟ABCD5面積問題1331242.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=900AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四邊形ABCD的面積。ABDC面積問題6244已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積?ABCDS四邊形ABCD=363412135∟解在直角三角形ABC中AC2=32+42=25∴AC=5∵AC2+CD2=52+122=169AD2=132=169∴AC2+BC2=AD2∴△ACD是直角三角形探究1如圖，以Rt△的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為，請同學們想一想之間有何關系呢？ABCabc+=a2+b2=c2∵a2+b2=c2+=cabS3S2S1∵a2+b2=c2∴S3=S2+S12、探究下面三個圓面積之間的關系ABCABCABCabc探究S1、S2、S3之間的關系S1=由勾股定理得a2+b2=c2∴S1+S2=S3如圖6，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分別以AB、BC、AC為直徑作三個半圓，那么陰影部分的面積為S影陰=SAC+SBC+S△ABC-SAB1、下圖中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列圖中字母所表示的正方形的面積.=625225400A22581B=144想一想1如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長是8厘米，則正方形A，B，C，D的面積之和是________平方厘米美麗的勾股樹4國旗桿的繩子垂到地面時，還多了1m，拉著繩子下端離開旗桿5m時，繩子被拉直且下端剛好接觸地面，試求旗桿的高．BCbca如圖大正方形的面積為13，小正方形的面積為1，求（a+b）2的值a2+b2=13（a+b）2=a2+b2+2ab⑴在Rt△ABC中，斜邊AB＝2，則AB2+BC2+CA2＝＿＿＿．⑵在△ABC中∠C=90°，AB=10，A