2025年高考數學全真模擬卷02（新高考專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第U卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2024?山西晉中?模擬預測）若（l-i）z=2,則|z+l|=（）

A.V5B.V3C.1D.5

2.（5分）（2024?陜西咸陽?模擬預測）下列命題中，真命題是（）

A."a>l,b>1”是“ab>1”的必要條件

B.V%>0,e%>2X

C.Vx>0,2x>x2

D-。+6=。的充要條件號=-1

3.（5分）（2024.黑龍江?模擬預測）已知向量同=3,|五一川=|五+2山，則忻+山=（）

A.V3B.2C.V5D.3

4.（5分）（2024?四川宜賓?模擬預測）為了加深師生對黨史的了解，激發廣大師生知史愛黨、知史愛國的

熱情，某校舉辦了“學黨史、育新人”的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績取整

數）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的是（）

小頻率/組距

A.a的值為0.005

B.估計這組數據的眾數為75分

C.估計成績低于60分的有250人

D.估計這組數據的中位數為等分

5.（5分）（2024.貴州貴陽.三模）過點4（—3,—4）的直線/與圓C:（x—3）2+（y-4）2=9相交于不同的兩點

M,N,則線段的中點P的軌跡是（）

A.一個半徑為10的圓的一部分B.一個焦距為10的橢圓的一部分

C.一條過原點的線段D.一個半徑為5的圓的一部分

6.（5分）（2024?全國?模擬預測）若函數/'（久）=V^sin3x（a>>0）的圖象與函數g（x）=V^costox的圖象的

任意三個連續交點都是一個正三角形的三個頂點，則3=（）

A.-B.-C.-D.-

2468

7.（5分）（2024?內蒙古包頭?一模）如圖，底面2BCD是邊長為2的正方形，半圓面2PD_L底面4BCD,點

尸為圓弧4D上的動點.當三棱錐P-BCD的體積最大時，PC與半圓面4PD所成角的余弦值為（）

8.（5分）（2023?四川成都?一模）已知函數y=（2—x）（lna）2—41na+%+2,若xe[0,2]時，y20恒成

立，則實數a的取值范圍為（）

A.（0,e]B.[e,+oo）C.（0,1]D.[l,+oo）

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.（6分）（2024?新疆喀什?三模）己知函數/'（x）=V5sinxcosx—cos?%+5則下列說法正確的是（）

A./（%）=sin（2x—

B.函數人久）的最小正周期為2n

C.久=]是函數/（x）圖象的一條對稱軸

D.函數f（x）的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移套個單位長度得到

10.（6分）（2024?重慶.模擬預測）已知拋物線E:*=版的焦點為F，點F與點C關于原點對稱，過點C的

直線1與拋物線E交于4,8兩點（點4和點C在點8的兩側），則下列命題正確的是（）

A.若BF為AACF的中線，貝i」MF|=2|BF|

B.\AF\>4

C.存在直線使得|4C|=<2\AF\

D.對于任意直線Z,都有|4尸|+\BF\>2\CF\

11.（6分）（2024?重慶?三模）已知函數/（久）=e2x—a久2（a為常數），則下列結論正確的是（）

A.當a=l時，/'（%）在（0J（0））處的切線方程為2%-y+1=0

B.若/（尤）有3個零點，貝打的取值范圍為Q2,+8）

C.當a=e?時，久=1是/（久）的極大值點

D.當。=凱寸，f（x）有唯一零點M-l<x0<

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2024.四川宜賓?模擬預測）已知數列｛時｝是公差不為0的等差數列，的=1,且滿足。2，口3，口6成

等比數列，則數列｛an｝前6項的和為.

13.（5分）（2024?陜西安康?模擬預測）已知a,/?Egn）,且1一cos2a=則:.

14.（5分）（2024?浙江臺州?二模）若排一張有三首歌曲和三支舞蹈的演出節目單，共有」20_種不同的

排法（用數字作答），其中恰有兩首歌曲相鄰的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（13分）（2024?山東青島?三模）設三角形力BC的內角4、B、C的對邊分別為a、6、c且sin（B+C）=2底iM*

（1）求角a的大小；

（2）若b=3,BC邊上的高為手，求三角形2BC的周長.

16.（15分）（2024?黑龍江?模擬預測）已知/（久）=ax+bcosx在點g,/（小）處的切線方程為x+2y-ti-0.

（1）求a,b的值；

（2）求f（x）在區間的單調區間和極值.

17.（15分）（2024?江西宜春?模擬預測）如圖1,在五邊形力BCDE中，AB=BD,AD1DC,EA=ED且

EA1ED,將AAED沿4D折成圖2,使得EB=4B,F為2E的中點.

E

⑴證明：8F〃平面ECD；

⑵若EB與平面4BCD所成的角為30。，求二面角A-EB-。的正弦值.

18.（17分）（2024?全國?模擬預測）2024年九省聯考后很多省份宣布高考數學采用新的結構，多選題由4道

減少到3道，分值變為一題6分，多選題每個小題給出的四個選項中有兩項或三項是正確的，全部選對得6分，

有錯選或全不選的得0分.若正確答案是“兩項”的，則選對1個得3分；若正確答案是“三項”的，則選對1個得2

分，選對2個得4分.某數學興趣小組研究答案規律發現，多選題正確答案是兩個選項的概率為p,正確答案是

三個選項的概率為1-p（其中0<p<1）.

（1）在一次模擬考試中，學生甲對某個多選題完全不會，決定隨機選擇一個選項，若「=求學生甲該題得

2分的概率；

（2）針對某道多選題，學生甲完全不會，此時他有三種答題方案:

I:隨機選一個選項；II:隨機選兩個選項；III:隨機選三個選項.

①若p=I,且學生甲選擇方案I,求本題得分的數學期望；

②以本題得分的數學期望為決策依據，P的取值在什么范圍內唯獨選擇方案I最好?

19.（17分）（2024?江蘇蘇州?模擬預測）點列，就是將點的坐標按照一定關系進行排列.過曲線。：'=短上

的點尸式久1，乃）作曲線C的切線人與曲線C交于22（X2，%），過點22作曲線C的切線辦與曲線。交于點23（久3，%），

依此類推，可得到點列：尸1（%21），尸2（%2，%），「3（%3，%），…，匕（%，%），…，已知％1=1.

（1）求數列｛%九｝、｛%｝的通項公式；

（2）記點/到直線〃+i（即直線乙+止九+2）的距離為%,

（I）求證：—+—H----F—>-；

dic?2dfi9

（II）求證：---若71值（71>0,71EN*）與⑴相同，則求此時;+----的

U24九9K,2/c?2

最小值.

2025年高考數學全真模擬卷02（新高考專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2024?山西晉中?模擬預測）若（1一i）z=2,則|z+1|=（）

A.V5B.V3C.1D.5

【解題思路】先由（1-i）z=2求出復數z,從而可求出z+L進而求出|z+l|.

【解答過程】由（1—i）z=2,得z=2（九=i+i,

1-1（1-1）（1+1）

所以z+1=2+3

所以|z+1|=V22+I2=V5,

故選：A.

2.（5分）（2024?陜西咸陽?模擬預測）下列命題中，真命題是（）

A."a>l,b>1”是“ab>1”的必要條件

B.V久>0,ex>2X

C.Vx>0,2—%2

D-。+6=°的充要條件是?=一1

【解題思路】舉反例來判斷ACD,利用指數函數的性質判斷B.

【解答過程】對于A,當a=2,6=1時，滿足ab>1,但不滿足a>1,6>1,故"a>l,b>1”不是“ab>1”

的必要條件，故錯誤；

對于B,根據指數函數的性質可得，對于Vx>0,（|）>1,即ex>2,故正確;

對于C,當x=3時，2*<%2,故錯誤；

對于D,當a=b=O時，滿足a+b=O,但￡=一1不成立，故錯誤.

故選：B.

3.（5分）（2024?黑龍江?模擬預測）已知向量向=3,|之一山=忻+2山，則忻+山=（）

A.V3B.2C.V5D.3

【解題思路】對忻-b\=\a+2力兩邊平方化簡可得宜+2a-b=0,再對忻+向平方化簡后再開方即可.

【解答過程】由回一0=1+2bl兩邊平方得,a2+b2—2a-b=a2+4b2+4a.-b,

所以中+2db=0,

22

所以M+加2=S.+b+2a-b=|團2=9,

所以4+臼=3,

故選：D.

4.（5分）（2024?四川宜賓.模擬預測）為了加深師生對黨史的了解，激發廣大師生知史愛黨、知史愛國的

熱情，某校舉辦了“學黨史、育新人”的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績取整

數）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的是（）

個頻率/組距

6。----------

5a----------------

3a--------r—r—

2a—1—

O"405060708090100成功/分

A.a的值為0.005

B.估計這組數據的眾數為75分

C.估計成績低于60分的有250人

D.估計這組數據的中位數為竽分

【解題思路】對A,根據頻率和為1求解即可；對B,根據頻率分布直方圖的眾數判斷即可；對C,計算成

績低于60分的頻率，進而可得人數；對D,根據成績低于中位數的頻率為0.5計算即可.

【解答過程】對A,由題意，10x（2a+3a+3Q+6Q+5a+a）=1,解得。=0.005,故A正確；

對B,由直方圖可得估計這組數據的眾數為誓=75分，故B正確；

對C,由直方圖可得成績低于60分的頻率為10x（0.01+0.015）=0.25,故估計成績低于60分的有1000x

0.25=250人,故C正確；

對D,由A可得區間[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的頻率分別為

0.1,0,15,0.15,0.3,0,25,0.05,

因為0.1+0.15+0.15+0.3>0.5,0.1+0.15+0.15<0.5,故中位數位于[70,80)內.

設中位數為％,貝U0.1+0.15+0.15+0.03x(x-70)=0.5,解得％=竽，故D錯誤.

故選：D.

5.(5分)(2024?貴州貴陽?三模)過點4(一3,-4)的直線/與圓C:。-3)2+(y—4)2=9相交于不同的兩點

M,N,則線段MN的中點P的軌跡是()

A.一個半徑為10的圓的一部分B.一個焦距為10的橢圓的一部分

C.一條過原點的線段D.一個半徑為5的圓的一部分

【解題思路】設P(x,y),根據垂徑定理得到CP14P,再轉化為方?喬=0,寫出相關向量，代入化簡即

可.

【解答過程】設P(x,y),根據線段MN的中點為P,貝UCP1MN,即CP14P,

所以而?標=0,又2(—3,—4),。(3,4),而=(x+3,y+4),CP=(%—3,y—4),

所以(x+3)(%-3)+(y+4)(y—4)=0,即/+y2=25,

所以點P的軌跡是以(0,0)為圓心，半徑為5的圓在圓C內的一部分，

故選：D.

6.(5分)(2024?全國?模擬預測)若函數/(%)=V^sin3x(3>0)的圖象與函數g(x)=V^coss:的圖象的

任意三個連續交點都是一個正三角形的三個頂點，則3=()

【解題思路】解法一，令/(x)=g(X),可得㈤久=kn+eZ),不妨取k=0,1,2,得三個連續的交點

4

依次為4(已遮)，B償-電)，C償,百)，求得的高，再根據(⑺與g(x)圖象求得AABC的高,

建立方程求得結果.

解法二,在同一平面直角坐標系中，作出函數/(x)=V^sintox和g(x)=V^coss尤的圖象，求得△48C的高

為28，可得AABC的邊長為4即/(%)的周期為4,得解.

【解答過程】解法一由/⑴=.也—,令/⑺=以力得tans=1,

ig(%)=V6cos3%

所以3%=Mr+笛EZ),不妨取k=0,1,2,得三個連續的交點依次為人(焉，遮)，B(工一百)"會,遮),

因為為正三角形，產-F為△的邊長，當(廣-為△Z8C的高，

4co4a)2\4o)4a)/

由正弦函數、余弦函數的圖象可知在/(%)=V^sinax和g(%)=遙cossr的圖象的交點處sins=costox=

士爭

所以△48C的高為2x迎x亨=2V3,

所喈德一)=2。

解得3=(

故選：A.

解法二：如圖，在同一平面直角坐標系中，作出函數/(%)=VSsimo%和g(%)=V^COSMT的圖象，

設兩圖象的三個連續交點分別為A,B,C,連接48,AC,BC,

則△ABC為正三角形，過點B作垂足為D,

由正弦函數、余弦函數的圖象可知在/(%)=Vasina)%和g(%)=V^cosco久的圖象的交點處sin3%=cosoox=

士圣

所以舊叫=2x乃x亨=2V3,

所以|/C|=4,所以/(久)=V^sin3%的最小正周期T=4,即詈=4,所以3=1

故選：A.

7.(5分)(2024?內蒙古包頭?一模)如圖，底面ZBCD是邊長為2的正方形，半圓面4尸。，底面ZBCD,點

尸為圓弧an上的動點.當三棱錐P-BCD的體積最大時，PC與半圓面4PD所成角的余弦值為（）

【解題思路】過點P作。P于點。，易得點P位于圓弧4。的中點時，Vp_BCD最大，證明CD1面PAD,則

NCPC即為PC與半圓面4PD所成角的平面角，再解RtAPCD即可.

【解答過程】過點P作。PLAD于點0,

因為面1底面2BCD,面4PDn底面2BCD=AD,OPu面PAD,

所以。P1平面4BCD,

則Vp_BCD=；>爐2>2.。P號,

當且僅當。P=l,即點P位于圓弧4。的中點時，0_BCD最大，此時。為4D的中點，

因為面力PD1底面4BCD,面4PDC底面力BCD=AD,CD1AD,CDu面4BCD,

所以CDJ_面PAD,

所以NCPD即為PC與半圓面ZPD所成角的平面角，

在RtAPCD中，CD=2,PD=V1TI=V2,PC=V￥T2=V6,

所以cos/CPD=器=當，

即PC與半圓面APD所成角的余弦值為日.

故選：D.

8.（5分）（2023?四川成者B?一模）已知函數y=（2—X）（lna）2—41na+X+2,若％￡[0,2]時，y之0恒成

立，則實數a的取值范圍為（）

A.(0,e]B.[e,+oo)C.(0,1]D.[l,+oo)

【解題思路】當％=0時，y=2(Ina)2-41na+2=2(Ina-I)2>0,所以問題轉化為一41na+4>0,求解

即可.

【解答過程】由y=(2—x)(lna)2—41na+%+2可得y=[1—(lna)2]x+2(Ina)2—41na+2,

當a=e時，y=0符合題意；

當aKe時，y是關于x的一次函數，此時只需區間端點的函數值不小于0即可，

又當x=0時，y=2(Ina)2—41na+2=2(Ina—I)2>0,

當x--2時，y——41na+4,

所以-41na+420,即InaW1,解得0<a<e,

綜上，0<aWe.

故選；A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(6分)(2024?新疆喀什?三模)已知函數f(x)=V5sinxcosx—cos?%+5則下列說法正確的是()

A./(%)=sin(2x—

B.函數八久)的最小正周期為2n

C.x=T是函數/(*)圖象的一條對稱軸

D.函數/(久)的圖象可由y=sin2久的圖象向右平移套個單位長度得到

【解題思路】A由降幕公式，輔助角公式可得答案；

B由周期計算公式可得答案；

C將％=學弋入由A選項所得化簡式中可得答案；

D由函數圖象平移知識可得答案.

【解答過程】A選項，/(x)=V3sinxcosx—cos2x+i—sin2x--cos2x=sin(2x--Y故A正確；

B選項，由A選項結合周期計算公式可知最小正周期為:=m故B錯誤；

C選項，將％=3弋入=]/(%)在此時得最大值，故%=]是函數f(x)圖象的一條對稱軸，故C正確；

D選項，y=sin2久的圖象向右平移卷個單位得sin2(x-自=sin9x-J故D正確.

故選：ACD.

10.（6分）（2024?重慶.模擬預測）已知拋物線E：V=8久的焦點為尸，點F與點C關于原點對稱，過點C的

直線［與拋物線E交于力，B兩點（點4和點C在點B的兩側），則下列命題正確的是（）

A.若BF為△力CF的中線，貝1」|力?|=2|BF|

B.\AF\>4

C.存在直線使得|4C|=V2|XF|

D.對于任意直線］,都有|4F|+\BF\>2\CF\

【解題思路】取4B兩點都在第一象限，設/:*=ky—2,k>0,401，%）,8（久2，乃），聯立拋物線，利用韋

達定理以及拋物線的定義來判斷各項正誤.

【解答過程】不妨取A,B兩點都在第一象限，過分別作拋物線準線的垂線，垂足為D,E,

設=ky-2,k>0,4（x1,y1）,B（x2,y2）,x1>x2,C（-2,0）,F（2,0）,

聯立E:y2=8久，得必—8ky+16=0且△=64（卜2—1）>o,gpfc2>1,

所以%+y2=8fc,yiy2=16,

則+%2=卜（乃+丫2）-4=8k2-4,X1X2="2）=4,

64

對于A：若BF為A4CF的中線，則為=葭，結合月內=16得;,所以二:

所以力（4,4&）,B（l,2V2）,

此時|4F|=4+2=6,|BF|=1+2=3,所以|4F|=2|8F|,A正確；

對于B：由求根公式yi=叫#=8一+空MF=4（k+依二T）>4,

則%i=4>2,所以|AF|=%I+2>4,B正確;

o

對于C：若|AC|=&MF|,即|力口=/|4叫，明顯A4CD等腰直角三角形，

此時|CD|=\AD\,即4（乃-2,%），所以資=8%-16,解得％=4,此時y2=4,

此時4B為同一點，不合題意，C錯誤；

2

對于D：\AF\+\BF\=\AD\+\BE\=+x2+4=8fc,

又2|CF|=8,結合1>1,都|4F|+|BF|>2|CF|恒成立，D正確;

故選：ABD.

11.(6分)(2024.重慶.三模)己知函數/(x)=e2x—a/(a為常數)，則下列結論正確的是()

A.當a=l時，/'(X)在(0/(0))處的切線方程為2x-y+i=0

B.若/(x)有3個零點，貝必的取值范圍為白2,+8)

C.當a=e2時，x=1.是/(久)的極大值點

D.當￡1=凱寸，f(x)有唯一零點而，且一1<與<-稱

2X

【解題思路】根據導數的幾何意義，可判定A正確；根據題意，轉化為gO)=%與丫=a的圖象有3個交

點，利用導數求得函數g(x)的單調性與極值，可判定B正確；當a=e2時，得到r(x)=202,-eZ%),討

論函數〃久)的單調性，結合極值點的定義，可判定C錯誤.當a=機寸，得到尸(x)>0,函數f(x)單調遞增,

結合〃一1)"(一｝<0,可判定D正確；

【解答過程】對于A中，當。=1時，可得/(%)=e2“一貝=1,尸(%)=2?2%-2%,((0)=2,所

以切線為2%—y+1=0,A正確：

對于B中，若函數/(%)=e2%—a/有3個零點，即e2%=a/有三個解，

其中l=0時，顯然不是方程的根，

2X

當工工0時，轉化為9(%)=%與y=a的圖像有3個交點,

2x22x2x

又由g'(%)=2ex-2ex2e(x-l)

x3

令"(x)>0,解得x<0或x>1；令"(x)<0,解得0<x<l,

所以函數g(x)在(-8,0),(1,+8)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減;

所以當％=1時，函數g(x)取得極小值，極小值為g(l)=e2,

又由x70時，g(x)+oo,當x->—8時，g(x)-0且g(x)>0,

如下圖：

所以Q>e2,即實數。的取值范圍為(e2,+8),所以B正確:

對于C中，當a=e?時，/,(%)=e2x—e2x2,可得尸(%)=2e2%—=2(e2%—e?%),

令g(%)=e2x—e2x,g'(%)=2e2%?e2在R上單調遞增,

且“(0)=2-e2<0/(1)=e2>0,所以存在久°G(0,1)使得“(&)=0,

所以在(一8,、o)上“(久)<0,。(汽)單調遞減，

在(久0，+8)上“(%)>0,g(%)單調遞增,又g(l)=0,

所以在(&,1)上g(%)<0,即/(%)V0,/(%)單調遞減，

在(L+8)上g(%)>0,即r(%)>0,/(%)單調遞增，

所以％=1是f(%)的極小值點，所以C錯誤.

對于D中，當Q=［時，/^x)=2e2x—x=2^e2x—

設h(x)=e2x—|x,可得"(%)=2e2x—

當》<In］時，"(%)<0,八(%)在(―8,嗚)單調遞減；當%>ln|時，”(%)>0,h(%)在(ln|,+8)單調遞增，

所以當％=In;時，/i(x)min=八(in=e21n5—■1］口:=［+［ln2>0,所以/i(%)>0,

所以尸(乃>0,所以函數/(%)在R上單調遞增，

又因為/"(-1)=e-2-1<0J(^-0=e-1-^>0,即/(一1)"(一］)<0,

所以/(%)有唯一零點久o且一1<%o<-|，所以D正確；

故選：ABD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?四川宜賓?模擬預測)已知數列｛的J是公差不為0的等差數列，的=1,且滿足。2，口3，。6成

等比數列，則數列前6項的和為-24.

【解題思路】設數列｛an｝公差為d,再根據。2，。3，。6成等比數列求解可得d=-2,進而可得｛&J的通項公式

求解即可.

【解答過程】設數列｛即｝公差為d,由。2，。3，口6成等比數列可得屏=a2a6，

即(l+2d)2=(l+d)(l+5d),即盧+2d=0,因為公差不為0,故d=-2.

故a九=1-2(?1—1)=-271+3.

故｛。九｝前6項的和為1—1—3—5—7—9=-24.

故答案為：-24.

B

tana+tan—

13.（5分）（2024?陜西安康?模擬預測）已知a]e（，冗）,且1-cos2a=則_______2__1

_B~L

1-tanatan-

2

【解題思路】利用二倍角公式，同角關系，兩角和與差的正切公式變形求解.

【解答過程】由1一cos2a=等卑得上等=鼻,

1+smpsin2a1+sinp

22

2sin2acos-sin^

2sinacosacos2—+sin2—+2sin-cos—,

2222

sinacos——sin—1—tan-tan—tan--n-/?

所以理=T~I，即tana=-j=-J=ta*-f),

cosacos^+sin^1+tan^1+tan-tan^42

又a,/?W所以a=3—§+TT,即/+§=,

—,.tana+tan與?5冗

所以------，=tan(a+-)=tan—=1.

l-tanatan-24

2

故答案為：1.

14.（5分）（2024.浙江臺州.二模）若排一張有三首歌曲和三支舞蹈的演出節目單，共有720種不同的

排法（用數字作答），其中恰有兩首歌曲相鄰的概率為m.

【解題思路】（1）直接利用排列數計算即可；

（2）相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法，計數后，利用古典概型求概率.

【解答過程】排一張有三首歌曲和三支舞蹈的演出節目單，共有膜=6x5x4x3x2xl=720種不同的

排法；

記事件A恰有兩首歌曲相鄰,則事件A包含：尚x用x幽=3x2x1x3x2x4x3=432

故PG4）=鬻轉

故答案為：720；|,

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（13分）（2024?山東青島?三模）設三角形4BC的內角4、B、C的對邊分別為a、6、c且sin（B+C）=2遮siM*

（1）求角力的大小；

（2）若b=3,BC邊上的高為手，求三角形ABC的周長.

【解題思路】（1）利用內角和為180°化簡sin（B+C）=sin4利用二倍角公式化簡siM：=上詈，再利用

輔助角公式化簡即可求得力=今

（2）由面積公式和余弦定理，聯立方程組求解三角形即可.

【解答過程】（1）因為力，B,C為A/IBC的內角，所以sin（B+C）=sin4

因為siM(=i；°已所以sin(B+C)=ZV5sin?：可化為：sinX=V3(l—cos/l),

即sin4+V3cos4=V3,即sin（4+；）=字，

因為號）解得：即4=%

(2)由三角形面積公式得|入,csinA=(Xa,b=3代入得：2X3.csing=(Xa,

所以a=—c,由余弦定理M=h2+c2—2bccosA-得：c2+4c-12=0,

24

解得：c-2或c=-6舍去，即。=V7，

所以△4BC的周長為5+V7.

16.（15分）（2024?黑龍江?模擬預測）已知/（%）=ax+bcos%在點處的切線方程為X+2y-TV=0.

(1)求a,6的值;

（2）求/O）在區間［0,m的單調區間和極值.

-+2/f-)-7i=0

2

【解題思路】（1）由題意可得A??,解方程組可求出a,b的值;

（2）由導數的正負可求出函數的單調區間，從而可求出極值.

【解答過程】(1)由f(%)=a%+bcos%,W/Z(x)—a—bsinx,

（會/）處的切線方程為％+冗=

因為/(%)=ax4-bcosx在點?2y-0,

2+2/g)-Tt=0

所以《

TT71

-+2f-a+bcos-—11=0na=-

所以《2\22.,所以2

_1

a—bsin-=a—b=--

222

解得a=ph=1;

(2)f(%)=+cosx,/'(X)=|—sinx,令f(%)=0,

因為％e[O,n],所以％i=p或不=

o6

當XG（05）時,尸（x）>0,〃尤）單調遞增,

當無€仁,等時，尸（X）<0JO）單調遞減,

當xe償,it）時，尸（x）＞O,/（x）單調遞增.

所以/'（X）極大值為/?='X（+cos]="+1,極小值為/管）.X1+cos,=冷苧,

綜上所述，/㈤在區間[0,伺上的單調遞增區間為（0,9和管叱），單調遞減區間為等；

極大值為卷+岑，極小值為工—今

17.（15分）（2024?江西宜春?模擬預測）如圖1,在五邊形4BCDE中，AB=BD,AD1DC,E4=ED且

EA1ED,將AAED沿2D折成圖2,使得EB=AB,F為AE1的中點.

圖1圖2

（1）證明：BF〃平面ECD；

（2）若EB與平面4BCD所成的角為30。，求二面角4-EB一。的正弦值.

【解題思路】（1）取4。的中點G,連接BG,FG,從而證明BG〃平面EC。，FG〃平面EC。，即可得到平面

BFG〃平面ECD,即可得證.

（2）推導出4E1平面BFG,BG1平面E4D,平面瓦4D1平面4BCD,連接EG,以G為坐標原點，GB,GD,

GE所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角力-EB-D的正弦值.

【解答過程】（1）取力。的中點G,連接BG,FG,

■：AB=BD,G為2。的中點，BGLAD,

5LAD1DC,BG//CD.

又BGC平面ECD,CDu平面ECD,BG〃平面ECD.

???尸為4E的中點，???FG〃ED.

又FG，平面ECD,EDu平面ECD,FG//^ECD,

又BGCFG=G,BG,FGc5FffiBFG,平面BFG//平面EC。，

又BFu平面BFG,B尸〃平面ECO.

（2）vEAVED,由（1）知FG//ED,???FGLAE,

又EB=AB,F為4E的中點，2F14E,

又BFCFG=F,BF,FGu平面BFG,.,?力E_L平面BFG,

又BGu平面BFG,BGLAE,

又BG1AD,ADnAE=A,u平面EAD,BG1平面瓦4D,

y.BG^l^ABCD,平面E4D_L平面力BCD,

連接EG,EA=ED,G為4。的中點，EG1AD,

又平面E/WC平面4BCD=AD,EGu平面瓦4D,

EG1平面ZBCD,BGu平面4BCD,EG1BG,

以G為坐標原點，GB,GD,GE所在直線分別為％,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

NEBG是EB與平面力BCD所成的角，即NEBG=30°,

???EA=ED,設E4=t（t>0）,則AD=夜3EG=yt,EB=V2t,BG若t,

G（0,0,0）,E（0,0亭）,/l（0,-yt,0）,D（0,yt,0）,B（凈,0,0）,

=t）,族=（0,爭,爭），屁=（0,+亭）,

設平面4BE的法向量為為=Oi，y1,zi）,

O

VT6-V2--

-EB—2

則

+V2--O

瓦?AE=VT22

設平面OBE的法向量為底=（x2,y2,z2）,

（=—tx2——tz2—0

則122令刀2=1，得底=（1,V3,V3），

-Fe=-yty2+ytz2=0

設二面角4-EB—D的平面角為仇

?破

???|cos6|=|cos（河的|=IEI_i_i

I時同I-V7XV7-79

所以sin0=4^而=手，即二面角力—EB—。的正弦值為".

18.（17分）（2024?全國?模擬預測）2024年九省聯考后很多省份宣布高考數學采用新的結構，多選題由4道

減少到3道，分值變為一題6分，多選題每個小題給出的四個選項中有兩項或三項是正確的，全部選對得6分，

有錯選或全不選的得。分.若正確答案是“兩項”的，則選對1個得3分；若正確答案是“三項”的，則選對1個得2

分，選對2個得4分.某數學興趣小組研究答案規律發現，多選題正確答案是兩個選項的概率為p,正確答案是

三個選項的概率為1-p（其中0<p<1）.

（1）在一次模擬考試中，學生甲對某個多選題完全不會，決定隨機選擇一個選項，若「=求學生甲該題得

2分的概率；

（2）針對某道多選題，學生甲完全不會，此時他有三種答題方案：

I：隨機選一個選項；II：隨機選兩個選項；III：隨機選三個選項.

①若p=g且學生甲選擇方案I，求本題得分的數學期望；

②以本題得分的數學期望為決策依據，p的取值在什么范圍內唯獨選擇方案I最好?

【解題思路】（1）由全概率公式求解即可；

（2）①記X為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”,求出X的可能取值及其概率，即可求出X的分布列，

再由期望公式求出；

②記X,匕Z分別為“從四個選項中隨機選擇一個選項、兩個選項和三個選項的得分”，求出X,匕Z的數學威望,

2-p<|

由題意可得，|（l_p）<|,解不等式即可得出答案.

、0<p<1

【解答過程】（1）記事件4為“正確答案選兩個選項”，事件B為“學生甲得2分”.

P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=ixO+|x|=i,

即學生甲該題得2分的概率為點

(2)①記X為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，則X可以取0,2,3,

n?八、12,113八八7c、1c?1,瑪3

P(X=0)=—X—H—X—=—,P(X=2)=—X0H—X—=—,

'y2Cj2Cj8'722的8

②記X為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，

則P(X=O)=px-1-+(l-p)xi=乎，

P(X=2)=px0+(1-p)x^|=|(1-p),

P(X=3)=px，