課堂教學重難點及其處理第1頁，課件共48頁，創作于2023年2月（一）數學教學重點的含義與形成數學教學重點——指課堂教學的重點內容，課堂教學中需要解決的主要矛盾，是教學的重心。教學重點形成有三個方面：從學科知識系統而言，重點是指那些與前面知識聯系緊密，對后續學習具有重大影響的知識、技能，即重點是學科知識體系中具有重要地位和作用的知識、技能；從文化教育功能而言，重點是指那些對學生具有深遠教育意義和功能的內容，主要指對學生終生受益的學科思想、、精神和方法；從學生的學習需要而言，重點是指學生學習遇到困難，需要及時得到幫助解決的疑難問題。一、數學教學重點第2頁，課件共48頁，創作于2023年2月教學重點的意義：教學重點對于學生學習的好壞和教學質量的提高具有重要作用，教學中對重點內容不僅要求學生理解，還要求學生掌握和靈活運用，即重點對于教學具有突出的地位，教學設計時不論是教學目標的確定，教學活動的安排（包括教師的分析講解，學生的交流討論與鞏固練習等），學生練習題的設計都應圍繞重點進行。對重點內容練習的設計必須給出一定數量和不同層次的練習題，既要單項練習，還要變式練習和綜合練習，這樣才能對重點內容的鞏固、理解和靈活運用。第3頁，課件共48頁，創作于2023年2月（二）如何確立教學重點1.地位作用分析法教材體系中具有重要地位和作用的知識、技能是教學重點。(1)“函數單調性”是函數的重要性質，在各種函數的研究中都會涉及到，而且也是比較函數值大小，求函數極值、最值以及證明不等式的重要工具，盡管大綱和考綱都把它列為了解層次，但由于它的獨特地位與作用，因而必須是重點。（2）“基本函數的圖像”，它既是初等數學中研究第4頁，課件共48頁，創作于2023年2月函數性質的重要工具和手段，也是數學解題中“數形結合”的重要思想方法，所以它是教學重點。（3）“向量”由于其具有數與形的雙重特征，利用它處理數學中的許多問題，如長度，角度，平行和垂直比傳統方法快捷、方便、有效，是數學學習研究的重要工具，因而是教學重點。第5頁，課件共48頁，創作于2023年2月2、課題分析法即根據學習內容的標題來確定教學重點。如“反函數的概念”，課標和考綱只要求了解，因而它不是章節重點，但在學習“反函數概念”一節課時它就是教學重點第6頁，課件共48頁，創作于2023年2月3、例、習題分析法重點內容的學習要求學生達到理解、掌握，靈活運用，因而教材一般都配備了一定數量的例、習題供學生練習和鞏固并形成技能與能力。因此分析教材中例習題的配置可以確定教學重點。如大綱教材“兩角和與差的正弦、余弦、正切”教材安排了兩個例題，一個是倒用公式，一個是順用和綜合運用公式解題，課后練習和習題一共配有18個順用、逆用，變用公式的習題。教材這樣的配備就是要求學習者不但要能推導公式，了解公式的來龍去脈，而且要掌握公式的結構和特征，形成熟練運用的技能并形成能力。第7頁，課件共48頁，創作于2023年2月4.理論分析法根據數學學習理論，數學學習的關鍵在于理解，只有真正理解了意義，才能感悟和體會實質，因而對數學公式、定理課的教學之前應把概念含義的理解作為教學重點。第8頁，課件共48頁，創作于2023年2月（三）突出重點的基本方法現代教學理論認為,為了使學生掌握數學學科的基本結構和發展數學能力,培養良好的個性品質,數學課堂必須遵循展現思維過程的原則,其中包括概念的發生、發展過程，命題的形成過程，解題思路的探索過程和解題方法的概括過程。因此數學教學要突出的重點就必須通過思維過程的充分暴露加以實現。即實施過程教學，追求過程與結果統一。第9頁，課件共48頁，創作于2023年2月1.讓學生充分的參與設計合理的產生形成過程，讓學生參與歸納與概括，參與發現與探索，做知識的研究者和發現者，通過再創造，讓學生獲得知識和能力。正如荷蘭數學教育家弗賴登塔爾所說:“科學的頂峰總是創造性的發現.學習的過程也必須含有直接創造的側面,即從學生的觀點看是創造,通過再創造獲得的知識與能力,要比以被動方式獲得的,理解得更好,也更容易保持.”第10頁，課件共48頁，創作于2023年2月

案例：“虛數i開方運算”教學課例

師：我們對-1進行開平方運算時，引入了新數i，從而將實數集擴充到復數集?，F在要對虛數i開平方，①是否又會出現別的新數呢？②如何對i開方呢？我們先解決問題②，如何對i開方？回到定義去，求i的平方根的意義是什么？生：在復數范圍內求平方為i的數師：請把這個問題用一個數學式表達出來（數學化）生：設z=x+iy為i的平方根，其中x+iy∈C，那么有第11頁，課件共48頁，創作于2023年2月師：這就回到我們熟悉的問題了，這是用代數形式的表述，如果用復數的三角形式又該如何表達這個問題呢？…注意：讓學生充分參與，就不應是老師包辦，教師要通過精心設計的問題鏈來實現。第12頁，課件共48頁，創作于2023年2月2.有步驟的引入在體現必要性的前提下，逐步引入新知識，揭示引入的合理性，使之與學生的認知水平同步進行。即“知其然，知其所以然”。注入式教學正是忽視了這一環節，縮減了由感性到理性的過程如：“反正弦函數的引入”若上課一開始就講反函數的定義，并引入“arcsin”，學生會毫無心理準備，感覺太突然，理解也不會透徹。參考設計：1、函數有反函數嗎？能否縮小其定義域使其具有反函數？

2、函數在其定義域內有反函數嗎？在怎樣的區間上可使其有反函數？

3、正弦函數在的反函數叫反正弦函數第13頁，課件共48頁，創作于2023年2月若記反正弦函數為，則問：它們存在嗎？等于多少，在此基礎上自然引出記號“”3.全方位的審視要使學生深刻理解，掌握重點知識，就必須引導學生從各個側面對其進行深入認識。第14頁，課件共48頁，創作于2023年2月案例：“反函數”審視1：反函數是函數，應滿足函數的定義與特征要素審視2：反函數中的“反”如何體現：表達式；定義域；值域審視3：如何求一個函數的反函數？審視4：兩個都是函數，函數有圖象，圖象有什么關系？審視5：兩個都是函數，函數有性質，性質有什么關系？第15頁，課件共48頁，創作于2023年2月案例2：函數的單調性審視1：增函數與減函數的定義差別？審視2：增函數與減函數的定義中關鍵字：任意、區間審視3：增函數與減函數的圖象特點？審視4：如何判斷一個函數是增函數還是減函數？審視5：如何證明一個函數是增函數還是減函數？第16頁，課件共48頁，創作于2023年2月（4）多層次的練習對既是重點又是難點的概念、定理等教學內容，不僅要重視其形成、發現過程的教學，也要通過循環反復的螺旋遞進的方式進行練習，使學生充分地領會，并學會應用。案例：“反函數”當看似孤立的問題運用“知識的重點”加以串聯以后，就形成了具有密切聯系的問題鏈，隨著逐層深入的思考，對重點知識的認識就越加透徹，對知識的運用就更加靈活。第17頁，課件共48頁，創作于2023年2月（5）變式運用

重要公式的教學，可以通過公式的正用、逆用、變用、連用等方式，在加強記憶同時增強思維的靈活性。案例：“兩角和與差的正切公式”重要例題的講授，可以通過對例題條件增減、或條件與結論的交換、或特殊到一般的推廣、或幾個例題的共性分析，促進思維的深刻性。第18頁，課件共48頁，創作于2023年2月（6）多角度的聯系通過知識內在聯系的揭示，在拓展思維空間的同時進一步強化對新知識的認識。如：數列通項的理解——函數理解對概率古典概型的理解——集合理解指數與對數關系的理解——加與減、乘與除直線與圓的關系理解——幾何（距離）、代數（方程組的解）數學知識的內在聯系廣泛存在于數學知識結構之中，重視其挖掘，在促進數學理解的同時，有利于培養思維的廣闊性。第19頁，課件共48頁，創作于2023年2月（7）適度的引申引申作為一種教學手段，能有效促進對重點知識的理解。例如正弦、余弦函數的奇偶性是該界教學的重點，如果蜻蜓點水般的得到結果，難以對三角函數圖象形成充分的認識，應更深入揭示其一般規律：①函數奇偶性的實質是反映函數圖象的對稱性。②正弦、余弦函數的奇偶性分別說明它們是中心對稱圖形和軸對稱圖形。第20頁，課件共48頁，創作于2023年2月可設置以下問題：①正弦還有別的對稱中心嗎？②余弦函數還有別的對稱軸嗎？③正弦函數的圖形是軸對稱圖形嗎？④余弦函數的圖形中心對稱圖形嗎？需要指出的是：重點內容的挖掘不是越深越好，要弄清教學要求的層次，有時挖掘得過深學生難以理解，反而削弱或淡化了重點。第21頁，課件共48頁，創作于2023年2月（8）分階段鞏固對于重點的教學內容，不能“畢其功于一役”，應該分階段完成。如立體幾何公理2（如果兩個面有一個公共點……）就可以分成4個階段完成：——首先用它指導作面面的交線和證明點共線——在講空間直線位置關系時指導畫線面的交點問題——在講面面位置關系時介紹證明線共點問題——在講多面體時用它指導作多面體的截面分階段鞏固還表現為對重點內容的一種定期檢測、訓練。第22頁，課件共48頁，創作于2023年2月二、關于教學難點(一)對教學難點的認識1.教學難點的含義：難點是指那些太抽象、離學生生活實際太遠的、過程太復雜的、學生難以理解和掌握的知識、技能與方法。難點形成原因：一是該知識遠離學生生活實際，學生缺乏相應的感性知識；二是該知識較為抽象，學生難以理解；三是該知識包含多個知識點，知識點過于集中；四是該知識與舊知識聯系不大，舊知識掌握不牢或因大多數學生對舊知識遺忘所致。第23頁，課件共48頁，創作于2023年2月集合概念是難點：一是集合是原始概念，它不是由已有的其它概念來定義，因而學生頭腦缺乏幫助其理解集合的其它概念；二是集合涉及的知識面廣，所涉及的初中數學知識學生已有所遺忘；三是集合有關的新概念相應的符號、術語較多，這些新概念、新符號學生容易混淆，接受和理解都要困難。第24頁，課件共48頁，創作于2023年2月基本策略：對于原因一，應通過利用學生生活經驗，充實感性知識得以突破；對于原因二，則應利用直觀手段，盡量使知識直觀化、形象化，讓學生看得見摸得著。如數學歸納法理解用多米諾排骨形象化；對于原因三，則應分散知識點，各個擊破；對于原因四，則應查漏補缺，加強舊知識的復習。第25頁，課件共48頁，創作于2023年2月（二）正確的估計難點教學難點因人而異，教師必須在研究教學對象的基礎上正確估計難點。一般可以從以下幾個方面去認識與估計難點：1.教學內容的抽象性與學生思維形象性之間的矛盾產生難點案例1：初二代數“無理數”一節無理數的概念是本節教學難點。主要原因是：無理數的概念十分抽象，需要有一定的抽象思維能力和初步的極限思想。而初中學生的抽象思維能力弱，主第26頁，課件共48頁，創作于2023年2月要還是以經驗型的形象思維為主。案例2：高中“函數”一節。本節的教學難點是函數的概念。主要原因是：由于函數的概念涉及集合語言，其實質是集合之間元素的對應。教材采用了映射語言進行敘述，但在本節之前卻沒有先講映射作為鋪墊。因此需要學生具備一定的抽象思維與辨證思維能力。同時學生還要注意初高中函數概念的整合，這些特點對抽象思維能力較弱的高一學生而言確實較難理解。第27頁，課件共48頁，創作于2023年2月案例3：高中“雙曲線的幾何性質”一節。本節教學難點是雙曲線的漸進線。主要原因：雙曲線的漸進線看似形，卻難以用形來描述，同時漸進線概念包含著極限思想。案例4：高中“極限的定義”一節。本節教學難點是極限的定義。主要原因：極限概念中ε—N的辨證關系難以讓人理解，其次有限與無限的關系讓人難以捉摸。第28頁，課件共48頁，創作于2023年2月2.教學內容的深化和學生思維定勢之間的矛盾案例1：初中“一元一次方程的應用”一節。受小學定勢思維——算術法解方程的影響，因而常想到列算式而忽視建立等量關系，從而成為教學難點。案例2：初中“不等式的性質”一節。受方程解法的影響，忽視不等號的變向而成為教學難點。案例3：高中“邏輯連接詞”一節。難點為：對“或”的含義的理解。主要是容易與日常用語中“或”的含義混淆。第29頁，課件共48頁，創作于2023年2月3.教學內容之間的關系復雜案例1：“交集并集”一節。本節教學難點是交集并集的概念及它們之間的區別與聯系。因為邏輯中的“且”與“或”只是一字之差，關系卻很復雜。而且這種理解與日常理解有別。案例2：“一元二次不等式的解法”一節。本節教學難點是三個二次之間的關系。三個二次緊密聯系，相輔相成，而且運用中又需要靈活處理第30頁，課件共48頁，創作于2023年2月4.問題的解決途徑難以探索案例1:“函數的單調性”.本節的教學難點是利用單調性的概念證明或判斷函數的單調性.因為證明中需要通分、提取公因式等變形技巧，還需要分類討論等思想方法，靈活性強。案例2:“四種命題”.本節的教學難點是反證法的理解與應用。因為反證法的理解雖說與逆否命題有密切聯系，但也僅僅是淺層理解，而且推導矛盾的方式、方法多種多樣，靈活性強。第31頁，課件共48頁，創作于2023年2月案例3:“兩角和與差的余弦”.本節教學難點有2：其一是余弦和角公式的推導——證明思路難以探索；其二是和與差余弦公式的靈活應用——應用的方法、技巧很多。案例4:“正弦定理”.本節教學難點有2：其一是正弦定理的推導——證明思路難以探索；其二是正弦定理公式的靈活應用。第32頁，課件共48頁，創作于2023年2月（三）突破難點的策略1.發現性策略即將克服難點的過程組織成教師引導下的學生獨立發現的過程,這樣能較好發揮難點促進學生思維發展的作用。使用這一策略的條件是學生具備較好的基礎知識、能力準備和較充裕的時間。案例1:“圓的切線的作法”.教學難點：切點的確定解決該問題可以設置以下啟發問題：問題1：過P點的直線無數條，任作一條可以嗎？第33頁，課件共48頁，創作于2023年2月問題2：設PA為切線，A為切點，則OA與AP有何關系？問題3：本題轉化為在圓上找一點A，使OA⊥PA，怎樣確定A點？問題4：在ΔOAP中，OP是已知的，要使∠OAP為直角，怎么辦？

評注：上述問題設置：學生不但掌握了切線的作法，而且培養了分析、歸納、綜合等邏輯思維能力。從技術層面而言，可歸結為遞推假設發現突破難點。第34頁，課件共48頁，創作于2023年2月2、舉例歸納突破（從特殊到一半）案例1：“等差數列前n項和”教學難點：求和公式的推導；解決方法：高斯故事，鋼管堆放……案例2：“二元一次不等式表示的平面區域”(必修5)問題1：將點(一1，3)，(2，2)，(3，一1)，(1，一2)，(4，1)，(O，4)代人直線L的方程2x+y-4=0的左邊，其值是大于零?等于零?小于零?問題2：在直角坐標系中畫出這些點和直線L，觀察這些點是否在直線L上或在直線L的哪一側?第35頁，課件共48頁，創作于2023年2月問題3：請你再取一些點試一試，你能得出哪些結論問題4：直角坐標系中，2x+y-4>0，2x+y-4<0表示的圖形是什么?為什么?通過學生的嘗試操作，舉例歸納得出二元一次不等式表示平面上的一個區域，通過師生的共同探究，突破教學中的難點：為什么要分類?這樣分類合理嗎?第36頁，課件共48頁，創作于2023年2月3、操作演示突破案例：“圓周角定理”教學難點：定理的發現；解決方法：教師設置問題：一個圓周角所對應的弧有幾條？一段弧所對應的圓周角有幾個？圓心角有幾個？第37頁，課件共48頁，創作于2023年2月（啟發學生認識二者有某種關系）學生操作：自己畫圖，自己測量教師利用幾何畫板拖動A點，讓學生觀察圓心角和圓周角的變化情況（得到結論：同弧所對的圓周角等于對應圓心角的一半）第38頁，課件共48頁，創作于2023年2月教師啟發：由于有限次的實驗得到的結論不一定可靠，更不能作為定理。我們不能逐一驗證，有無辦法證明？請大家觀察演示，注意圓周角與圓心角有幾種位置關系。從技術層面可歸結為實驗操作演示的觀察突破第39頁，課件共48頁，創作于2023年2月4、類比遷移突破案例：“一元二次不等式的解法”教學難點：三個二次之間的關系解決方法：與三個一次關系類比，借助于圖形……從技術層面可歸結為類比突破、圖形直觀突破、特殊到一般歸納突破。第40頁，課件共48頁，創作于2023年2月案例：二面角概念問題l：你能說出角的定義嗎?你能說出幾種?問題2：兩個半平面之間有“夾角”嗎?你能否類比角的兩種定義分別給它下一個定義?問題3：如何刻畫或度量二面角的“大小”?本例中的難點就是二面角、二面角的平面角概念的形成過程，教師在教學中正是通過類比遷移的方法，將新舊知識聯系起來，使得難點不攻自破，當然這其中還需要輔之于實例演示、圖形觀察、方案論證、聯系生活舉出應用的例子等等。第41頁，課件共48頁，創作于2023年2月5、層層鋪墊策略(階梯式突破）層層鋪墊策略并不是等難點充分暴露時才設法破解，而是采取有目的、有計劃地進行分化、鋪墊、分解等措施緩解問題的難度，使學生有序地度過思維障礙。采用這種方式，有時需要有意設計遞進式教學環節；有時需要因勢利導，旁敲側擊。第42頁，課件共48頁，創作于2023年2月案例1：再將上述推廣到一般從技術層面可歸結特殊到一般歸納突破。從本質上將單調性的定義、等差數列、等比數列的定義也是一種鋪墊第43頁，課件共48頁，創作于2023年2月案例2：鋪墊1：問題：已知A（1，1）和B（2，3），試在X軸上求一點P，使|PA|+|PB|最小.幾何意義

從技術層面可歸結為圖形直觀突破6.提示性策略即在解決問題的過程，教師適當提示解