4.4數學歸納法激趣誘思知識點撥平面內有n(n≥2)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一

激趣誘思知識點撥數學歸納法的定義一般地,證明一個與正整數n有關的命題,可按下列步驟進行:歸納奠基→證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立歸納遞推→以當“n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立”為條件,

推出“當n=k+1時命題也成立”只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.這種證明方法叫做數學歸納法.微思考數學歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1?提示:不一定.如證明n邊形的內角和為(n-2)·180°,第一個值n0=3.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測用數學歸納法證明等式例1(1)用數學歸納法證明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“從k到k+1”左端增乘的代數式為

.

(1)解析:令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),則f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),答案:2(2k+1)探究一探究二探究三素養形成當堂檢測即當n=k+1時等式也成立.由①②可得對于任意的n∈N*等式都成立.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測反思感悟用數學歸納法證明恒等式時,應關注以下三點:(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;(3)證明n=k+1時結論也成立,要設法將待證式與歸納假設建立聯系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測綜上所述,對于任何n∈N*,等式都成立.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測歸納—猜想—證明

計算結果,猜想Sn的表達式,并用數學歸納法進行證明.可以看出,上面表示四個結果的分數中,分子與項數n一致,分母可用項數n表示為3n+1.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測下面我們用數學歸納法證明這個猜想.所以,當n=k+1時猜想也成立.根據(1)和(2),可知猜想對任何n∈N*都成立.4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測反思感悟(1)“歸納—猜想—證明”的一般環節

(2)“歸納—猜想—證明”的主要題型①已知數列的遞推公式,求通項或前n項和.②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數值是否存在.③給出一些簡單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對任意正整數n都成立的一般性命題.4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測變式訓練2數列{an}滿足Sn=2n-an(Sn為數列{an}的前n項和),先計算數列的前4項,再猜想an,并證明.4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測下面證明猜想正確:(1)當n=1時,由上面的計算可知猜想成立.(2)假設當n=k時猜想成立,4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測用數學歸納法證明不等式

分析:按照數學歸納法的步驟證明,由n=k到n=k+1的推證過程可應用放縮技巧,使問題簡單化.4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測即當n=k+1時,命題成立.由(1)和(2)可知,命題對所有的n∈N*都成立.4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測由(1)和(2)知原不等式在n≥2,n∈N*時均成立.4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測反思感悟用數學歸納法證明不等式的關鍵點(1)先湊假設,作等價變換;(2)瞄準當n=k+1時的遞推目標,有目的地放縮、分析直到湊出結論.4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測用數學歸納法比較大小

解:(1)當n=1或n=2時,Pn=Qn.(2)當n≥3時(以下再對x進行分類).①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn.②若x=0,則Pn=Qn.③若x∈(-1,0),則P3-Q3=x3<0,所以P3<Q3.P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4<Q4.猜想n≥3時,P3<Qn.4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測證明:(ⅰ)當n=3時,已經證明了P3<Q3.(ⅱ)假設Pk<Qk(k≥3),則Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk即當n=k+1時,不等式成立.所以當n≥3,且x∈(-1,0)時,Pn<Qn.4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測方法點睛(1)利用數學歸納法比較大小,關鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個量的大小關系,猜測出證明的方向,再用數學歸納法證明結論成立.(2)本題除對n的不同取值會有Pn與Qn之間的大小變化,變量x也影響Pn與Qn的大小關系,這就要求我們在探索大小關系時,不能只顧“n”,而忽視其他變量(參數)的作用.4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測n=1成立時,左邊計算所得的項是(

)A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析:當n=1時,左邊=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正確.答案:C4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測2.用數學歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數式是(

)A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)解析:當n=k時,左邊是共有2k+1個連續自然數相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當n=k+1時,左邊共有2k+3個連續自然數相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數式是(2k+2)+(2k+3).故選C.答案:C4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)4.4數學歸納法-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊課件(共25張PPT)數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件數學歸納法人教A版高中數學選擇性必修第二冊課件探究一探究二探究三素養形成當堂檢測4.