f(x,y)= (x,y)fi(x0,y0

(x-x0)2+(y-(x-x0)2+(y-y)203 常選擇兩條不同路徑求出不同的極限值特別對于limf(x,y),常研究 f(x,xfiyfi

xfiy=kxfi若其依賴于k,則limfx,y)不存在xfiyfi求極限值常按?元函數極限的求法求之.4定義1zf(xy)在P0(x0y0)定義,分別給自變量xy在x0y0處以增量Dx得全增量Dzfx0Dxy0Dyfx0y0 如果極限limDz0則稱zf(xy)在點P0(x0 DDyfi處連續定義2zf(xy)滿足如下條件zf(xy)在P0(x0y0)的某鄰域內有定義limf(x,y)存在 (3)limf(x,y)=f(x0,y0xfiyfi

xfiyfi則稱函數zf(xy)在點P0(x0y0)連續5定義zf(xy f(x,y

( f(x,

x=

y=稱它為zf(xy)在點(x0y0)處對x(對y的偏導數

x=y=

x=y=

,zx

x=x0y=

或

(

,y0

fx(

,

)=Dxfi

f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0

,

)=

f(x0,y0+Dy)-f(x0,y0Dyfi

設u=

yz,

?u=yzxyz-

?x ?u=xyzlnxzyz-1=zyz-1xyzln?u=xyzln yzlny=yzxyzlnxlnz ?(xy)z=x7 設f(x,y)=(x+y)j(x,y),其中j(x,y)在(0,0)連續,求

(0,0)

(0,0)

=limf(0+Dx,0)-fDxfi =lim[(0+Dx)+0]j(0+Dx,0)-0=jDxfi

=limf(0,0+Dy)-f

Dyfi Dyfi 8如果函數zf(xy)在點(xy)Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,Dz=ADx+BDy+o(r

(rfi(Dx)2+(Dy)2其中A、B僅與(Dx)2+(Dy)2r

則稱函數zf(xy)在點(x處可微,ADxBDy稱為函數zf(xy)在點(x處的全微分記作dz,dz=ADx+這函數在D內的可微函數.9zf(uv)具有連續偏導數微全微分dz=?zdu+?z 微 當ujxy),v=yx,y)時,則有全微分

全微分為dz?zdx?z 之和稱為二元函數的微分符合疊加原理.如三元函數ufx,yz),則 設uux,y),vvx,y)在x,y)可微,d(uv)dudv;d(cucdu,c為常數;d(uv)vduudv;d(u)v

(v? 設z=arcsiny,求全微分x 法一全微分形式不變性1-y2xx1-y2xx

ydxd 1-xy x2- 1-xy x2-例例設zarcsiny,求全微分x 法二疊加原理dz

dx

x2 x2-y2?z

-y

1-1-xy2

x2 1-x1-xy

x2x2- x2-dz=xdy x2-判別f(xy)在點(x0y0)是否可微的方法若f(xy)在點(x0y0)不連續或偏導不存在若f(xy)在點(x0y0)的鄰域內連續必可微檢查Dz-fxx0y0Dxfyx0y0(Dx)2+((Dx)2+(Dy)2Dz-fxx0y0Dxfyx0y0Dy]r無窮小(即極限為0)?若為0,則可微,否則不可微例f(x,y)=f(x,y)=

x2+y2?x2+x2+y2=函數f(xy)的偏導數是否存在函數f(xy)的偏導數是否連續函數f(xy)是否可微(1)f(0,0)limf(0Dx,0)fDxfi

(Dx)2

Dxfi1(Dx)2=

同樣

所以函數f(xy)0.偏導數存在函數函數fx,y)(x2+y21x2+,x2+y2?x2+y2=ffx(0,0)=fy(0,0)=Dz=f(0+Dx,0+Dy)-frfi

=[(Dx)2+(Dy)2r

(Dx)2+(Dy)2[fx(0,0)Dx+fy(Dx)2+(Dx)2+(Dy)2=limrsin1=rfi r2于是Dz-fx(0,0)Dxfy(0,0)Dyo(rf(0,0)=x函數fx,y)(x2+y2)1x2f(0,0)=x函數fx,y)(x2+y2)1x2+,x2+y2?f(0,0)=yx2+y2=f(xy)在原點(0,0)可微(2當x2y20時f(x,y)=2x -2 x2+ x2+ x2+特別是當yx時,limf(x,x)=lim(2x

-1

1)不存在xfi

xfi

2 2即fx(xy)在原點(0,0)不連續同理可證,fy(xy)同理可證,fy(xy)在原點(0,0)也不連續

x24+y

(x,

?

(x,y)=證明xyfi(0,0)時,f(xy)的極限不存在問在點(0,0)處函數f(xy)是否連續?是否存在

x2 xfi0x4yfi

2=+xfi+y=kx2fi

x4+(kx2)2

故當xyfi(0,0)時,f(xy)的極限不存在(2在點(0,0)處函數f(xy)不連續在點(0,0)處全微分不存在例

x2

(x,

f(

4+y

(x,y)=證明xyfi(0,0)時,f(xy)的極限不存在問在點(0,0)處函數f(xy)是否連續?是否存在(2)f(0,0)limf(0Dx,0f Dxfi (0+Dx)4+02-

同樣

fy(0,0)=Dxfi

=0,函數f(x,y)在點(0,0)處 fyy(x, ??z=?2z=(x, 定理求偏導數與次序無關定理如果函數zf(xy)fxyxy)與fyxxy)在區域D內連續fxyfxy(x,y)=fyx(x,例設ue-x

, x

1 x解

=-e-

+(e-y

=-

y

y-siny?2z=e-x[-

cos

-1

x

x)-

x

x

令x2,y并代入上式π

1 π

)e解

?z=(e-d

cosx)(-x例設u例設u , x.π π π

(-π2xe-xcosπx)

= e例設z1fxyyjxy)且f,jx導數,

?2z

=-

f(xy)

xf(xy)y+yj(x+y)?2z

- f(xy)x+

f(xy)

yf￠(xy)

+j(x+y)+yj(x+(((zf(uvuj(t),v=y(t的情形dz=?zdu+?zdv. ?udt ?vdt推 如zf(uvw),uu(tvv(tww(tdz= du+ dv+ ddz稱為全導數(?稱鏈dzf(u,vujx,yv=yx,y)的情形

zf(ux,y),其中ujx,y的情形?z= ?z= ?u 設z=f(x2-y2,xy),其中f具有連續二階偏導數 試 解

=2

yf￠?2z=2x

(-2y)

x]

+y[2 (-2y)+2 xf

+2(x2-y2)f

+xy22+F(xy0yf(xdy=-Fx(x, Fy(x,

(Fy(x,y)?F(xyz0zz(xy?z=-Fx(x,y,z) ?z=-Fy(x,y,z) Fz(x,y, Fz(x,y,由三個變量兩個方程所構成的方程組G(x,u,v)= G(x,u,v)= u=u(x),v=v(求dudv求法后?舉例說明)dxdx由所構成的方程組

F(x,y,u,v)=G(x,y,u,v)=確定隱函數兩個二元函數uuxyvvx.?x?y?x 例設yy(xzz(x)

z=f(x,y)g(x,F(x,y,z)=所確定f,gF具有連續的偏導數dy,dzdx對各方程兩邊求全微分

d(uv)=vdu+dz=g(fxdx+fydy)+ (gxdx+gydy)=(gfx+fgx)dx+(gfy+fgy)dyFxdx+Fydy+Fzdz=0解方程組gf

+fgy)dy-dz=-(gfx+fgxFydy+Fzdz=- dy=-Fx+Fz(fgx+gfx)Fy+Fz(fgy+gfydz=-Fy(fgx+gfx)+Fx(fgy+gfy)Fy+Fz(fgy+gfyz=例設xeucosv,yeuz=和.試求 和. ?z=?z?u+?z =v?u+u ?u ?v 分別將xeucosv和yeusinv兩邊對x1=eu?ucosv-eusinv

解出?u0=

u

sinv+eucosv

lPrba 如果極限limf(PlPrbaPfi =rfi

f(x+Dx,y+Dy)-f(x,r在點P沿方向l的方向導數 記 ,?f=limf(x+Dx,y+Dy)-f(x, rfi 方向導數的計 充分條定理設zf(xy)在點P(xy)處可微,則函數?f=

=?f,?fl

其中a、b分別為方向l與x軸、y軸正向的夾角 其中l0(cosa,cosb)為l的單位向量 定義設函數z=f(xy)在點P(xy)可偏導向量?f,?f

?y為函數zf(xy)在點P(xy) 梯度(gradient),gradfx,ygradf(x,y)=?f,?f=

+?f

?f=?fcosa+?fcosb=gradf(x,y)(cosa,cosb?l

?f

a=gradf(x,y)l0=Prj

Prjab=l?x?y

|a 結論函數在某點的梯度是這樣?個向量,它的方向與取得最?方向導數的方向?致?它的模|gradf(x,y)

?f ?f x=x(t設空間曲線的方程y=y(t t?=z(ttt0曲線上?點M(x0y0z0則曲線在該點的x-x0=y-y0=z-z0x(t y(t z(tx(t0y(t0z(t0兩個曲?G(x,y,z)=G(x,y,z)=z=z(確定了隱函數z=z(

x-x0=y-y0=z- ( ( x=(

yyx)表?

x-x0=y-y0=z- ( (1(x-x0)+(x0)(y-y0)+z(x0)(z-z0)=設曲?Σ的方程為Fx,yz0 F(x,y,z)=?S x設曲?Σ的方程為Fx,yz0的情形曲?在M(x0,y0,z0)處的法向量:所以曲?Σ上在點M+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=x- y- z- 曲?方程形為zfx,y)令Fx,yz)fx,yFx=fx Fy=fy,Fz=-

n=(fx,fy,-或x- =y- =z-z0 -定理f(xy)在點(x0y0)具有偏導數,且在(x0取極值fx(x0,y0)= fy(x0,y0)=,駐點注駐 極值注定理設函數zf(xy在點(x0y0)的某鄰域內連續fx(x0,y0)=令fxxx0y0

fy(x0,y0)=fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C則f(xy在點(x0y0)處是否取得極值的條件如下ACB20有極值ACB20沒有極值ACB20時可能有極值也可能無極值求函數zf(xy)極值的一般步驟

f(x,y)=解方程組 fy(x,y)=第二步對于每?個駐點(x0A、B、C第三步定出ACB2的符號f(xyz)達到最?(小)值的問題稱為條先從附加條件jxyz)0解出?個變量代入f(xyz)中以消去?個變量后成為無條件極值 L(x,y,z,l)=f(x,y,z)+lj(x,y,?? 其底部所占的區域為Dx,y)x2y2xy￡75},小?的高度函數為hx,y)75x2y2xy.設M(x0,y0)為區域D上?點,問h(x,y)在該點的最?值為g(x0y0),試寫出g(x0y0)的表達式.的g(x,y)達到最?值的點.試確定攀巖起點的位置.解(1)由梯度的?何意義知,h(xy)在點M(x0處沿梯度gradhxy)(xy)y02x0x02y0 (y0-(y0-2x0)2+(x-2y g(x0,y0)==5x2+5y2-8xy00 (2)令fxy)g2xy5x25y28由題意,f(xy)x2y2