2021年山西省長治市襄垣縣第二中學高一數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（

）

A．＝

B．＋＝C．－＝

D．＋＝

參考答案：C略2.已知向量a=(3,2),b=(x,4)，且a∥b,則x的值為A.6

B.-6

C.

D.參考答案：A3.直線截圓所得劣弧所對的圓心角為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略4.在區間（0，3]上隨機取一個數x，則事件“0≤log2x≤1”發生的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】CF：幾何概型．【分析】首先求出滿足不等式的x范圍，然后根據幾何概型的公式，利用區間長度比求概率．【解答】解：在區間（0，3]上隨機取一個數x，則事件“0≤log2x≤1”發生的x范圍為[1，2]，所以由幾何概型的公式得到概率為；故選C．5.《算法統宗》是明朝程大位所著數學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數為上一層的兩倍，共有381盞燈，則該塔中間一層燈的盞數是（

）A.24 B.48 C.12 D.60參考答案：A由題意可知寶塔從上至下每層的燈盞數構成公比為2的等比數列，設等比數列的首項為，則有，解得．∴該塔中間一層（即第4層）的燈盞數為．選A．6.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是 A． B． C． D．

參考答案：A7.已知{an}是公差不為0的等差數列，且an≥0；又定義bn=+

(1≤n≤2003)，則{bn}的最大項是（

）（A）b1001

（B）b1002

（C）b2003

（D）不能確定的參考答案：B8.下列各組函數中，表示同一個函數的是A．與

B．與C．與

D．與參考答案：D

9.已知函數是冪函數，若f（x）為增函數，則m等于（）A. B.－1 C.1 D.或1參考答案：C【分析】根據冪函數的定義與性質，即可求出m的值．【詳解】函數f（x）=（3m2-2m）xm是冪函數，則3m2-2m=1，解得m=1或m=-，又f（x）為增函數，則m=1滿足條件，即m的值為1．故選：C．【點睛】本題考查了冪函數的定義與性質的應用問題，是基礎題．10.若函數的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25，則可以是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義在R上的函數f(x)，滿足，則f(3)=_____.參考答案：－112.在等式的括號中，填寫一個銳角，使得等式成立，這個銳角是．參考答案：40°【考點】兩角和與差的正弦函數；同角三角函數基本關系的運用．【分析】先假設所填角為α，再由同角函數的基本關系將正切轉化為正余弦函數的比值，再由兩角和與差的正弦公式和正弦函數的二倍角公式可得答案．【解答】解：設所填角為αcosα（1+tan10°）=cosα（）=cosα=1∴cosα===cos40°∴α=40°故答案為：40°13.給出下列命題：①函數是奇函數；②存在實數x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，則tanα＜tanβ；④是函數的一條對稱軸；⑤函數的圖象關于點成中心對稱．其中正確命題的序號為．參考答案：①④【考點】余弦函數的圖象；正弦函數的圖象．【分析】利用誘導公式、正弦函數和余弦函數性質以及圖象特征，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論．【解答】解：①函數=﹣sinx，而y=﹣sinx是奇函數，故函數是奇函數，故①正確；②因為sinx，cosx不能同時取最大值1，所以不存在實數x使sinx+cosx=2成立，故②錯誤．③令α=，β=，則tanα=，tanβ=tan=tan=，tanα＞tanβ，故③不成立．④把x=代入函數y=sin（2x+），得y=﹣1，為函數的最小值，故是函數的一條對稱軸，故④正確；⑤因為y=sin（2x+）圖象的對稱中心在圖象上，而點不在圖象上，所以⑤不成立．故答案為：①④．14.已知集合．若，則實數組成的集合是_______________________________.參考答案：15.函數部分圖象如圖所示,為圖象的最高點,、為圖象與軸的交點,且為正三角形.的終邊經過點，則=

=

．參考答案：16.如上圖，中，，，．在三角形內挖去半圓（圓心在邊上，半圓與相切于點，與交于），則圖中陰影部分繞直線旋轉一周所得旋轉體的體積為

．

參考答案：略17.（5分）給出以下命題：①若函數y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，則a=；②函數y=是奇函數；③函數y=sinx+sin|x|的值域是；④當a＞1，n＞0時，總存在x0，當x＞x0時，就有logax＜xn＜ax．其中正確命題個數為

．參考答案：1考點： 命題的真假判斷與應用．專題： 函數的性質及應用；簡易邏輯．分析： ①由周期公式T=求得a值判斷；②由sinx≠1可知函數的定義域不關于原點對稱判斷；③分x≥0和x＜0求出函數的值域判斷；④由函數的增減性的快慢說明④正確．解答： ①若函數y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，則a=±，故①不正確；②函數y==sinx（sinx≠1），不是奇函數，故②不正確；③當x≥0時，函數y=sinx+sin|x|=2sinx，值域為，當x＜0時，函數y=sinx+sin|x|=sinx﹣sinx=0．綜上可得，函數y=sinx+sin|x|的值域是，故③不正確；④當a＞1，n＞0時，總存在x0，當x＞x0時，有1ogax＜xn＜ax，命題④正確．∴只有④正確．故答案為：1．點評： 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了基本初等函數的性質，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數．（Ⅰ）證明：y=f（x）在R上是增函數；（Ⅱ）當a=2時，方程f（x）=﹣2x+1的根在區間（k，k+1）（k∈Z）內，求k的值．參考答案：【考點】二分法求方程的近似解；函數單調性的判斷與證明．【專題】計算題；函數思想；定義法；函數的性質及應用．【分析】（Ⅰ）根據單調性的定義即可證明；（Ⅱ）令g（x）=f（x）+2x﹣1，判斷出函數g（x）是R上的增函數，求出函數的零點區間，即可求出k的值．【解答】（Ⅰ）證明：∵x∈R，設x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=a﹣﹣a+=，∵x1＜x2，且a＞1，∴．又，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）為增函數．（Ⅱ）解：令g（x）=f（x）+2x﹣1，當a=2時，由（Ⅰ）知，函數f（x）是R上的增函數，∴函數g（x）是R上的增函數且連續，又g（0）=f（0）﹣1=﹣1＜0，g（1）=＞0，所以，函數g（x）的零點在區間（0，1）內，即方程f（x）=﹣2x+1的根在區間（0，1）內，∴k=0．【點評】本題考查了函數的單調性的判斷，以及函數零點存在定理得應用，屬于中檔題．19.如圖，已知兩條公路AB，AC的交匯點A處有一學校，現擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，在兩公路旁M，N（異于點A）處設兩個銷售點，且滿足，（千米），（千米），設.（1）試用表示AM，并寫出的范圍；（2）當為多大時，工廠產生的噪聲對學校的影響最小（即工廠與學校的距離最遠）.（注：）參考答案：（1）因為，在中，，因為，所以，.（2）在中，,所以，當且僅當，即時，取得最大值36，即取得最大值6．所以當時，工廠產生的噪聲對學校的影響最小．

20.定義在R上的單調遞增函數，對任意都有（1）求證：為奇函數；（2）若對任意恒成立，求實數k的取值范圍.參考答案：解：（1）證明：（），①令，代入①式，得，即令，代入①式，得，又，則有，即對任意成立.所以是奇函數.（2）解：∵為增函數且為奇函數∴恒成立即恒成立即設令，∴（）∵對稱軸，∴∴21.已知函數（1）用定義證明在上單調遞增；（2）若是上的奇函數，求的值；（3）若的值域為D，且，求的取值范圍參考答案：（1）解:

設且

則

即

在上單調遞增

（2）是上的奇函數

即