2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若向量，的夾角為60°，且||＝2，||＝3，則|2|＝（）A．2 B．14 C．2 D．82．已知，表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．若x＋2y＝4，則2x＋4y的最小值是（）A．4 B．8 C．2 D．44．已知,則的值為()A． B． C． D．5．若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（）A． B．5 C．2 D．106．小金同學在學校中貫徹著“邊玩邊學”的學風，他在“漢諾塔”的游戲中發現了數列遞推的奧妙：有、、三個木樁，木樁上套有編號分別為、、、、、、的七個圓環，規定每次只能將一個圓環從一個木樁移動到另一個木樁，且任意一個木樁上不能出現“編號較大的圓環在編號較小的圓環之上”的情況，現要將這七個圓環全部套到木樁上，則所需的最少次數為（）A． B． C． D．7．兩數1，25的等差中項為（）A．1 B．13 C．5 D．8．在的二面角內，放置一個半徑為3的球，該球切二面角的兩個半平面于A，B兩點，那么這兩個切點在球面上的最短距離為（）A． B． C． D．9．將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數解析式是A． B． C． D．10．已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，AB=1．∠ASC=∠BSC=45°則棱錐S—ABC的體積為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知3a＝2，則32a＝____，log318﹣a＝_____12．函數的值域為______.13．已知角的終邊經過點，則______．14．若角的終邊經過點，則實數的值為_______.15．在中，角所對的邊分別為，下列命題正確的是_____________．①總存在某個內角，使得；②存在某鈍角，有；③若，則的最小角小于．16．設為，的反函數，則的值域為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，三棱錐中，，、、、分別是、、、的中點.（1）證明：平面；（2）證明：四邊形是菱形18．在甲、乙兩個盒子中分別裝有標號為1，2，3，4的四個球，現從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每個球被取出的可能性相等.（1）求取出的兩個球上標號為相同數字的概率；（2）若兩人分別從甲、乙兩個盒子中各摸出一球，規定：兩人誰摸出的球上標的數字大誰就獲勝（若數字相同則為平局），這樣規定公平嗎？請說明理由.19．在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面積為，求邊的長.20．不等式(1)若不等式的解集為或,求的值(2)若不等式的解集為,求的取值范圍21．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，100張獎券為一個開獎單位，每個開獎單位設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，設一張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，可知其概率平分別為．（1）求1張獎券中獎的概率；（2）求1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由已知可得||，根據數量積公式求解即可．【詳解】||．故選A．【點睛】本題考查平面向量數量積的性質及運算，考查了利用數量積進行向量模的運算求解方法，屬于基礎題．2、A【解析】

根據線面垂直的判定與性質、線面平行的判定與性質依次判斷各個選項可得結果.【詳解】選項：由線面垂直的性質定理可知正確；選項：由線面垂直判定定理知，需垂直于內兩條相交直線才能說明，錯誤；選項：若，則平行關系不成立，錯誤；選項：的位置關系可能是平行或異面，錯誤.故選：【點睛】本題考查空間中線面平行與垂直相關命題的辨析，關鍵是能夠熟練掌握空間中直線與平面位置關系的判定與性質定理.3、B【解析】試題分析：由，當且僅當時，即等號成立，故選B．考點：基本不等式.4、C【解析】

根據輔助角公式即可．【詳解】由輔助角公式得所以，選C.【點睛】本題主要考查了輔助角公式的應用：，屬于基礎題．5、B【解析】試題分析：把圓的方程化為標準方程得，所以圓心坐標為半徑，因為直線始終平分圓的周長，所以直線過圓的圓心，把代入直線得；即，在直線上，是點與點的距離的平方，因為到直線的距離，所以的最小值為，故選B.考點：1、圓的方程及幾何性質；2、點到直線的距離公式及最值問題的應用.【方法點晴】本題主要考查圓的方程及幾何性質、點到直線的距離公式及最值問題的應用，屬于難題.解決解析幾何的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題就是利用幾何意義，將的最小值轉化為點到直線的距離解答的.6、B【解析】

假設樁上有個圓環，將個圓環從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數為，根據題意求出數列的遞推公式，利用遞推公式求出數列的通項公式，從而得出的值，可得出結果.【詳解】假設樁上有個圓環，將個圓環從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數為，可這樣操作，先將個圓環從木樁全部套到木樁上，至少需要的次數為，然后將最大的圓環從木樁套在木樁上，需要次，在將木樁上個圓環從木樁套到木樁上，至少需要的次數為，所以，，易知.設，得，對比得，，且，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，，因此，，故選：B.【點睛】本題考查數列遞推公式的應用，同時也考查了利用待定系數法求數列的通項，解題的關鍵就是利用題意得出數列的遞推公式，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.7、B【解析】

直接利用等差中項的公式求解.【詳解】由題得兩數1，25的等差中項為.故選：B【點睛】本題主要考查等差中項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.8、A【解析】

根據題意，作出截面圖，計算弧長即可.【詳解】根據題意，作出該球過球心且經過A、B的截面圖如下所示：由題可知：則，故滿足題意的最短距離為弧長BA，在該弧所在的扇形中，弧長.故選：A.【點睛】本題考查弧長的計算公式，二面角的定義，屬綜合基礎題.9、B【解析】

利用三角函數圖像平移原則，結合誘導公式，即可求解.【詳解】函數的圖象向右平移個單位長度得到．故選B．【點睛】本題考查三角圖像變換，誘導公式，熟記變換原則，準確計算是關鍵，是基礎題.10、C【解析】如圖所示,由題意知,在棱錐SABC中,△SAC,△SBC都是等腰直角三角形,其中AB=1,SC=4,SA=AC=SB=BC=1.取SC的中點D,易證SC垂直于面ABD,因此棱錐SABC的體積為兩個棱錐SABD和CABD的體積和,所以棱錐SABC的體積V=SC·S△ADB=×4×=.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、42.【解析】

由已知結合指數式的運算性質求解，把化為對數式得到，代入，再由對數的運算性質求解.【詳解】∵，∴，由，得，∴.故答案為：，.【點睛】本題考查指數式與對數式的互化，考查對數的運算性質，屬于基礎題.12、【解析】

由反三角函數的性質得到，即可求得函數的值域.【詳解】由，則，，又，，即，函數的值域為.故答案：.【點睛】本題考查反三角函數的性質及其應用，屬于基礎題.13、【解析】由題意，則.14、.【解析】

利用三角函數的定義以及誘導公式求出的值.【詳解】由誘導公式得，另一方面，由三角函數的定義得，解得，故答案為.【點睛】本題考查誘導公式與三角函數的定義，解題時要充分利用誘導公式求特殊角的三角函數值，并利用三角函數的定義求參數的值，考查計算能力，屬于基礎題.15、①③【解析】

①中，根據直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形分類討論，得出必要一個角在內，即可判定；②中，利用兩角和的正切公式，化簡得到，根據鈍角三角形，即可判定；③中，利用向量的運算，得到，由于不共線，得到，再由余弦定理，即可判定．【詳解】由題意，對于①中，在中，當，則，若為直角三角形，則必有一個角在內；若為銳角三角形，則必有一個內角小于等于；若為鈍角三角形，也必有一個角小于內，所以總存在某個內角，使得，所以是正確的；對于②中，在中，由，可得，由為鈍角三角形，所以，所以，所以不正確；對于③中，若，即,即，由于不共線，所以，即，由余弦定理可得，所以最小角小于，所以是正確的．綜上可得，命題正確的是①③．故答案為：①③．【點睛】本題以真假命題為載體，考查了正弦、余弦定理的應用，以及向量的運算及應用，其中解答中熟練應用解三角形的知識和向量的運算進行化簡是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．16、【解析】

求出原函數的值域可得出其反函數的定義域，取交集可得出函數的定義域，再由函數的單調性可求出該函數的值域.【詳解】函數在上為增函數，則函數的值域為，所以，函數的定義域為.函數的定義域為，由于函數與函數單調性相同，可知，函數在上為增函數.當時，函數取得最小值；當時，函數取得最大值.因此，函數的值域為.故答案為：.【點睛】本題考查函數值域的求解，考查函數單調性的應用，明確兩個互為反函數的兩個函數具有相同的單調性是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】

（1）根據等腰三角形的性質，證得,由此證得平面.（2）先根據三角形中位線和平行公理，證得四邊形為平行四邊形，再根據已知,證得，由此證得四邊形是菱形.【詳解】解（1）因為，是的中點，所以因為，是的中點，所以又，平面，平面所以平面（2）因為、分別是、的中點所以且同理且所以且，即四邊形為平行四邊形又，所以所以四邊形是菱形.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查證明四邊形是菱形的方法，考查等腰三角形的性質以及三角形中位線的性質，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）（2）這樣規定公平，詳見解析【解析】

（1）利用列舉法求得基本事件的總數，利用古典概型的概率計算公式，即可求解；（2）利用古典概型及其概率的計算公式，求得的概率，即可得到結論.【詳解】由題意，設從甲、乙兩個盒子中各取1個球，其數字分別為x、y.用表示抽取結果，可得，則所有可能的結果有16種，（1）設“取出的兩個球上的標號相同”為事件A，則，事件A由4個基本事件組成，故所求概率.（2）設“甲獲勝”為事件B，“乙獲勝”為事件C，則，.可得，即甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率也是，所以這樣規定公平.【點睛】本題主要考查了古典概型的概率的計算及應用，其中解答中認真審題，利用列舉法求得基本事件的總數是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題題.19、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理實現邊角轉化，逆用兩角和的正弦公式，進行化簡，最后可求出角的大小；（2）利用面積公式結合，可以求出的值，再利用余弦定理可以求出邊的長.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，，故，，，代入，并兩邊同除以，得：，即，因為在中，，所以，故，又由可得，所以，同樣由得：.（2）因為的面積為，所以，又由（1）得：，所以，，又，所以，.由余弦定理得：所以.【點睛】本題考查了了正弦定理的應用，考查了面積公式，考查了利用余弦定理求邊長，考查了數學運算能力.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據一元二次不等式的解和對應一元二次方程根的關系，求得的值.（2）利用一元二次不等式解集為的條件列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】（1）由于不等式的解集為或，所以，解得.（2）由于不等式的解集為，故，解得.故的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解與對應一元二次方程根的關系，考查一元二次不等式恒成立問題的求解策略，屬于基礎題.21、（1）（2）【解析】

（1）1張獎券中獎包括中特