高等數學基本要求：熟悉函數的基本性質、反函數、基本初等函數；掌握函數的性質、復合函數、初等函數。重點：

函數的性質、反函數。難點：

初等函數第一章

函數第一節

函數的基本概念第二節

函數的性質第三節

反函數第四節初等函數第一節

函數的基本概念一、函數的定義定義設D是由數組成的集合.如果對于每個數x∈D，變量y按照一定的法則f總有確定的數值和它對應，那么將對應法則f稱為在D上x到y的一個函數，記作y=f(x)，x稱為自變量,y稱為因變量，D稱為函數的定義域.當x取x0∈D時，與x0對應的y的數值稱為函數在點x0處的函數值，記作f(x0).當x取遍D中的一切數時，對應的函數值集合M={y|y=f(x)，x∈D}稱為函數的值域.二、函數的表示法1.表格法將自變量的值與對應的函數值列成表格表示兩個變量的函數關系的方法.如三角函數表、常用對數表以及經濟分析中的各種統計報表等.2.圖像法用圖像表示兩個變量的函數關系的方法.如圖1-1所示.3.解析法用一個等式表示兩個變量的函數關系的方法.例如y=x+3，y=lg(x+2)等.下面我們介紹幾種常用的解析法表示的函數.(1)分段函數在定義域的不同范圍內用不同的解析式表示的函數稱為分段函數.

分段函數仍然是一個函數，而不是幾個函數.(2)隱函數如果自變量與因變量的對應關系是用一個方程F(x，y)=0確定的，這種函數稱為隱函數.例如x2+y2=r2，x+y=exy等，相應地，我們將前面討論的函數稱為顯函數.(3)參數方程所確定的函數在許多實際問題中，變量x與y之間的函數關系還可以用含某一參數的方程組來確定，如其中t為參數.像這樣的函數稱為由參數方程所確定的函數.【例1】【解】三、函數的定義域

要使解析式有意義，我們通常考慮以下幾點：(1)分式的分母不能為零；(2)偶次根式的被開方數必須為非負數；(3)對數式中的真數必須大于零；(4)冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數考慮各自的定義域；(5)若函數表達式是由幾個數學式子組成，則其定義域應取各部分定義域的交集；(6)分段函數的定義域是各個定義區間的并集．【解】(1)若使函數有意義，則x2+2x+1≠0，即(x+1)2≠0.即x≠-1.所以函數的定義域為(-∞，-1)∪(-1，+∞).(2)若使函數有意義，則解得1＜x≤2或-2≤x＜-1.所以函數的定義域為［-2，-1)∪(1，2］.(3)若使函數有意義，則所以函數的定義域為(-1，+∞).(4)是分段函數.若使函數有意義，則將分段表達式的定義域合在一起，可得該分段函數的定義域.所以函數的定義域為［0，+∞）【例2】求下列函數的定義域：第二節

函數的性質一、奇偶性定義1設函數的定義域D關于原點對稱.如果對于任意的x∈D,f(-x)=-f(x)，那么f(x)為奇函數；如果對于任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那么f(x)為偶函數.否則f(x)為非奇非偶函數.奇函數的圖像關于原點對稱，如圖1-4所示;偶函數的圖像關于y軸對稱，如圖1-5所示.

在判斷函數的奇偶性時，一定要先考慮函數的定義域是否關于原點對稱.若不關于原點對稱，則為非奇非偶函數。【例1】判斷下列函數的奇偶性.

【解】(1)因為f(x)的定義域D=(-∞，+∞)是關于原點對稱的

區間，又因為對于任意的x∈(-∞，+∞)，

都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函數.二、單調性定義2若對于區間D內任意的兩點x1，x2，當x1＜x2時，恒有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在區間D上單調增加，區間D稱為單調增區間；如果恒有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在區間D上單調減少，區間D稱為單調減區間.單調增函數圖像沿x軸正向上升，如圖1-6所示；單調減函數圖像沿x軸正向下降，如圖1-7所示.【例2】證明f(x)=x2在區間［0，+∞)上是單調遞增函數，在區間(-∞，0)上是單調遞減函數.【證明】設x1、x2∈［0，+∞)，且x1＜x2.則因為x1、x2∈［0，+∞)，且x1＜x2，所以所以f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)=x2在區間［0，+∞)上是單調遞增函數.設x1、x2∈(-∞，0)，且x1＜x2，則因為x1、x2∈(-∞，0)，x1＜x2，所以x1+x2＜0，x1-x2＜0.所以f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)=x2在區間(-∞，0)上是單調遞減函數.三、有界性定義3設函數f(x)的定義域為D，數集XD.如果存在數K1，使得

f(x)≤K1對任意x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有上界，K1稱為函數f(x)在X上的一個上界，如果存在數K2，使得

f(x)≥K2對任意x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有下界，K2稱為函數f(x)在X上的一個下界，如果存在正數M，使得

|f(x)|≤M對任意x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就稱函數f(x)在X上無界；這就是說，如果對于任何正數M,總存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那么函數f(x)在X上無界.【例3】就函數f(x)=sinx在(-∞，+∞)內來說，數1是它的一個上界，數-1是它的一個下界(當然，大于1的任何數也是它的上界，小于-1的任何數也是它的下界).又

|sinx|≤1對任一實數x都成立，故函數f(x)=sinx在(-∞，+∞)內是有界的.這里M=1

(當然也可取大于1的任何數作為M而使|f(x)|≤M成立).四、周期性定義4設函數f(x)的定義域為D.對于任意的x∈D，存在不為零的數T，使f(x+T)=f(x)，那么f(x)為D上的周期函數.T稱為函數的一個周期，并且nT(n為非零整數)也是它的周期.平時，我們把函數的最小正周期稱為函數的周期.【例4】函數y=sinx和y=cosx都是以2π為周期的周期函數.y=sinx和y=cosx的圖像分別如圖1-8，圖1-9所示.

第三節

反函數定義在函數的定義中，按關系式

y=f(x)，x∈A，y∈B

(1-1)x是自變量，y是因變量(函數).在關系式y=f(x)中，反過來，將y看成自變量，x看成因變量(函數)，即對每一個y∈B，按y=f(x)都有確定的x值與之對應，稱x是y的反函數，在求反函數的表達式時，可將關系式y=f(x)看成一個方程式，從中將x解出，寫作

x=φ(y)，y∈B

(1-2)這就是反函數的表達式.習慣上自變量的記號取作x，故將(1-2)中x，y記號對換(對應關系不變)，得

y=φ(x)，x∈B

(1-3)它仍是y=f(x)的反函數.若將φ記為f-1，則(1-3)可寫為

y=f-1(x)，x∈B

(1-4)【例】求下列函數的反函數y=f-1(x)：【解】(1)從y=ex+3中解出x.取自然對數得lny=x+3，解得x=lny-3，再將x與y對換，得所求反函數為(2)從

中解出x.由(x-1)y=x+1，整理后得x(y-1)=1+y，解出x=y+1y-1，將x與y對換，得所求反函數為(3)從

中解出x，由于

即解得

，因ex＞0，故舍去負號，即得將x與y對換，得所求反函數為第四節初等函數一、基本初等函數我們把常數函數y=c(c為常數)、冪函數y=xα(α為實數)、指數函數y=ax(a＞0，a≠1，a為常數)、對數函數y=logax(a＞0，a≠1，a為常數)、三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數.

為了便于以后的學習，現將幾種常見的基本初等函數的定義域、值域、圖像和性質列表如表1-1（見課本P9-P12）二、復合函數定義1若函數y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定義域中,則變量y通過變量u與變量x建立了對應關系,這個對應關系稱為y是x的復合函數,u是中間變量,x是自變量,通常將

y=f(u),u=g(x)合并寫成

y=f［g(x)］

不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;復合函數也可以由兩個以上的函數經過復合構成.【例1】指出下列函數的復合過程:【解】(1)y=cos2x是由y=u2,

u=cosx復合而成的.(2)y=x2+2x是由y=u,

u=x2+2x復合而成的.【例2】【解】三、初等函數定義2基本初等函數(常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數)經過有限次的加、減、乘、除(分母不為零)的四則運算，以及有限次的復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數，叫做初等函數.如果一個函數必須用幾個式子表示，那么它就不是初等函數，例如函數f(x)=就不是初等函數，我們將這樣的函數，叫做非初等函數.【例3】已知(1)f(2x-1)=x2;

(2)【解】(1)令2x-1=t，解出

由題設，得由于函數關系與變量的記號t無關，將變量的記號t換成x，得所求函數為(2)令

由題設，得將變量的記號t換成x，得所求函數

函數關系與變量的記號無關，例如，

是同一函數.【例4】試設置中間變量，將復合函數y=lnsinx/2分解成若干個簡單函數.【解】由內層依次到外層，層層設置中間變量，即令于是，函數y=lnsinx/2可寫成其中u，v是中間變量.熟悉函數的基本性質、反函數、基本初等函數；掌握函數的性質、復合函數、初等函數。第一章小結高等數學第二章

極限與連續第一節

數列的極限第二節函數的極限第三節無窮小與無窮大第五節兩個重要極限第六節函數的連續性第四節函數極限的運算法則第七節連續函數的性質基本要求：了解復合函數的連續性、初等函數的連續性；熟悉極限的基本理論及定義，極限存在準則，閉區間上連續函數的性質；掌握兩個重要極限、無窮小的比較、等價無窮小代換、連續函數的定義及運算、函數間斷點的類型。重點：

函數的性質；極限的性質、四則運算法則；無窮小階的比較；兩個重要極限。難點：

函數在某點處的左、右極限；利用等價無窮小代換求極限；用兩個重要極限求極限。一.數列極限的定義數列是整標函數:注意：

數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取第一節

數列的極限問題:意味著什么?如何用數學語言定量地刻劃它.定義1定義2注意:用定義”驗證數列極限，關鍵是如何由任意給定的尋找N

？具體方法：例1證例2證注:例3證證綜合之，故二.數列極限的運算法則【例5】【例6】求下列極限一.函數在有限點處的極限第二節函數的極限一般地有定義1幾何解釋:單側極限:例如,左極限右極限定理左右極限存在但不相等,例1證例2解左右極限存在且相等,用定義”驗證函數極限:關鍵是如何由尋找

？具體方法：證證證問題:如何用數學語言刻劃兩個“無限趨近”.二.函數在無窮遠處的極限定義2定理1幾何解釋:用定義”驗證函數極限:關鍵是如何由尋找

？具體方法：證證證定義1

一.無窮小及其性質第三節無窮小與無窮大定理1（一般極限與無窮小的關系）定理2解解

二.無窮小階的比較極限不同,反映了趨向于

0的“快慢”程度不同.觀察各極限定義2常用等價無窮小定理3證證畢定理4(乘積因子等價無窮小代換定理

)ⅰⅱ證ⅰⅱ證畢三.無窮大及其性質定義3性質（無窮大與無窮小的關系）注意:無窮大量無界量（證明略）【例4】解答下列各題：定義4第四節函數極限的運算法則(1)1第五節兩個重要極限證(證畢(2)證證畢【例1】求下列極限：第六節函數的連續性一、函數的增量二、函數的連續第七節連續函數的性質一、連續函數的和、差、積、商的連續性(四則運算)性質1(復合函數的連續性)性質2極限符號可以進入到連續函數的函數符號內，它對求復合函數的極限是很有用的.（證明略）二、復合函數的連續性一般結論：三.初等函數的連續性性質3：初等函數在其定義域區間上連續.基本初等函數：

常值函數、冪函數、指數函

其定義域區間上都連續.

、反三角函數在

函數、對數函數、三角函數

注意：1.初等函數僅在其定義域區間上連續,例如：函數在這些孤立點的空心鄰域內沒有定義，

因此在這些孤立點無法討論其連續性

.在其定義域內不一定連續

.又如：函數在0

點的空心鄰域內沒有定義，因此在

0點無法討論其連續性；【例1】解【例2】(i)(ii)四、

閉區間上連續函數的性質性質4（有界性）注意:

若區間是開區間,或閉區間內有間斷點,則結論不一定成立.（證明略）性質4（最值性）注意:

若區間是開區間,或閉區間內有間斷點,則結論不一定成立.（證明略）性質5（介值定理）Mmab幾何解釋:證再由性質3,證畢Mmab證【例3】第二章小結了解復合函數的連續性、初等函數的連續性；熟悉極限的基本理論及定義，極限存在準則，閉區間上連續函數的性質；掌握兩個重要極限、無窮小的比較、等價無窮小代換、連續函數的定義及運算、函數間斷點的類型。高等數學第三章導數與微分第一節導數的概念第二節函數的求導法則第三節

高階導數第四節

相關變化率第五節

函數的微分基本要求：了解導數的概念及意義，微分形式的不變性；熟悉微分的定義，導數概念與微分概念的聯系與區別；掌握復合函數、隱函數及含參數方程所確定函數的求導運算。重點：導數概念、函數的可導性與連續性的關系；復合函數求導的鏈式法則；隱函數求導；由參數方程所確定的函數的導數；函數可微性與可導性的關系。難點：導數與微分在幾何和物理上的應用。一、問題的提出1.自由落體運動的瞬時速度問題取極限得第一節導數的概念如圖,

如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.極限位置即2.切線問題割線的極限位置——切線位置二、導數的定義定義1其它形式即2.右導數:單側導數1.左導數:定義2例1解關于導數的說明：步驟:例1解三、求導數舉例例2解更一般地例如,例3解例4解例5解四、導數的幾何意義切線方程為法線方程為切線方程為法線方程為切線方程為法線方程為例1解根據導數的幾何意義知,所求切線的斜率為所求切線方程為法線方程為五、函數可導性與連續性的關系

另一方面，一個函數在某點連續卻不一定在該點可導。例如,0一、函數和、差、積、商的求導法則定理第二節函數的求導法則證(3)證(1)、(2)略.例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解同理可得二、復合函數的求導法則定理即因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量求導,乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則)證推廣例5解例6解例7解例8解例9解三、隱函數的導數隱函數求導法則:用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.例10解解得例11解所求切線方程為例12解四、反函數的求導法則定理即反函數的導數等于直接函數導數的倒數.證于是有例13解同理可得例14解特別地五、由參數方程所確定的函數的導數由復合函數及反函數的求導法則得例15解

所求切線方程為例16解例17解基本求導法則與導數公式一、高階導數的概念定義第三節高階導數記作三階導數的導數稱為四階導數,二階和二階以上的導數統稱為高階導數.二階導數的導數稱為三階導數,二、高階導數求法舉例例1解例2解例3解第四節相關變化率一、微分的定義實例:正方形均勻金屬薄片受熱后面積的改變量.第五節函數的微分定義定理證(1)必要性(2)充分性例1解二、微分的幾何意義幾何意義:(如圖)MNT）PQ三、微分的運算求法:計算函數的導數,乘以自變量的微分.1.基本初等函數的微分公式3.復合函數的微分法則2.函數和、差、積、商的微分法則例2解例3解微分形式的不變性例5解例4解四、微分在近似計算中的應用

1.計算函數增量的近似值例6解函數的近似計算例7解常用近似公式證明例8解第三章小結了解導數的概念及意義，微分形式的不變性；熟悉微分的定義，導數概念與微分概念的聯系與區別；掌握復合函數、隱函數及含參數方程所確定函數的求導運算。高等數學第四章中值定理與導數的應用第一節

中值定理第二節

洛必達法則第三節

函數單調性的判定法第四節

函數的極值及其求法第五節函數的最大值和最小值第六節曲線的凹凸性與拐點第七節

函數圖形的描繪基本要求：熟悉微分中值定理；掌握洛必達法則、函數的單調性與曲線的凹凸性、函數極值、最值的求法；了解函數圖形的描繪。重點：洛比達法則；函數單調性、凹凸性的判定；函數極值、最值的求法。難點：微分中值定理及其應用；描繪函數的圖形（包括漸近線）。核心是拉格朗日中值定理，羅爾定理是它的特例，柯西中值定理是它的推廣。微分中值定理導數與應用的橋梁微分學的理論基礎第一節

中值定理則至少存在一點一、羅爾定理（iii）f(a)=f(b).設函數f(x)滿足：證:f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m.則f(x)在[a,b]上恒為常數，因此f(x)0，定理1（羅爾定理）

（i）在閉區間[a,b]上連續；（ii）在開區間(a,b)內可導；所以對于任一點

(a,b)，(1)若M=m，使由(i)知:都有f()=0；否則f(x)必恒為常數。則M和m之中至少有一個不等于f(a)，

設在點(a,b)處，函數f(x)取得最大值f()=M，都有f(x)

f()，即f(

x)

f(

)0.由條件(ii)，f(x)在點可導，于是，當x>0時，從而，(2)若M

m，不妨設M

f(a)，即最大值M不是端點處的函數值。則對一切x(a,b)，同理,當x<0時,有因導數存在,所以OABCabxy幾何解釋:注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結論可能不成立.如圖1(b)如圖1(a),函數f(x)=x,0≤x＜10,x=1它在閉區間［0,1］上不連續；圖1如圖1(c)，函數f(x)=x2，在閉區間［0,1］上端點處函數值不相等.例1證由介值定理即為方程的小于1的正實根.矛盾,二、拉格朗日中值定理（分析）要證即只需證：以下作輔助函數，利用羅爾定理給出證明.

定理2(拉格朗日定理)設函數f(x)滿足：

（i）在閉區間[a,b]上連續；則至少存在一點(a,b)，使（ii）在開區間(a,b)內可導，令由羅爾定理知，至少存在一點使得即該公式對a<b及a>b均成立。證明或幾何解釋:若令f(a)=f(b)，

則結論成為f

()=0。可見,羅爾定理是拉格朗日定理的特例。公式可寫成下列形式:拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.

推論1

設函數f(x)在區間I上可導，且f

(x)0，則f(x)在I上為常數。

證在I內任取兩點x1和x2，不妨設x1<x2.顯然，f(x)在[x1,x2]上連續,在(x1,x2)內可導，由拉格朗日定理知，至少存在(x1,x2)，使得由條件知f

()=0，從而f(x2)=f(x1).例2證由上式得

定理3（柯西中值定理）（i）在[a,b]上連續；注：柯西定理是拉格朗日定理的推廣.因為g(x)=x時,柯西定理的結論恰是拉格朗日定理的結論.則至少存在一點

(a,b)，使

（ii）在(a,b)內可導，且g

(x)0，三、柯西中值定理設f(x)及g(x)滿足:1.型未定式.定理1如果函數f(x)和g(x)滿足(1)當x→a時，f(x)→0，g(x)→0，(2)在點a的去心鄰域內可導，即f′(x)，g′(x)存在，且g′(x)≠0,(3)極限存在(或為無窮大)，則第二節

洛必達法則顯然，當x→a時，ξ→a.于是上式兩端取極限，即得則在區間［a,x］(或［x,a］)上，f(x)與g(x)滿足柯西定理條件.因此有f(a)=g(a)=0，則f(x)和g(x)在點a處連續.設x為點a鄰域內的任意一點.若x＞a(或x＜a）證條件(1)未給出函數f(x)，g(x)在x=a處是否有定義.為此，我們補充定義該定理的意義是，當滿足定理3.2.1的條件時，“”型不定式的極限可以化為之比的極限(同一自變量變化過程)，從而為求極限化難為易提供了新的途仍是“”型不定式，并且f′(x),g′(x)像f(x)，g(x)一樣滿足定導數徑.如果x→a時，理的條件，則仍可繼續使用洛必達法則，即推論

如果把定理3.2.1中的a換為∞，其他條件不變，則有例3求解：例4求解：是“”不定式且滿足定理3.2.1的條件，因此例5求解:

原式是“”不定式且滿足洛必達法則條件，故例6求解:

原式是“”型不定式，且滿足洛必達法則條件，但求導以后的分式仍是“”

型不定式且滿足洛必達法則條件，故可繼續運用洛必達法則化簡2.型未定式

定理2如果f(x)，g(x)滿足(1)當x→a時，f(x)→∞，g(x)→∞(2)在點a的去心鄰域內可導，即f′(x)，g′(x)存在，且g′(x)≠0，(3)極限存在(或為無窮大)，則推論

如果把定理中的a換為∞，其他條件不變，則定理和推論的證明從略.如果f′(x)和g′(x)像f(x)，g(x)一樣滿足定理條件，則可使用洛必達法則.繼續例7求解:

原式是“”型不定式，滿足定理條件，故例8求

解:原式是“”型不定式，且滿足定理條件，故定理3.3.1設函數斜率為正曲線上升斜率為負曲線下降在上連續,在內可導，（1）若在內則在內單調增加；（2）若在內則在內單調減少.第三節

函數單調性的判定法證應用拉氏定理,得這個定理說明了可以利用導數的符號來判定函數的增減性.(3)上述點將定義域分為若干個開子區間；討論函數增減性步驟稱滿足的點為的駐點.（1）確定函數的定義域；（2）找出不存在的點以及的駐點；（4）判斷每個開區間內的符號，即可確定

在該區間的單調性.例1討論函數的單調性.解

的定義域為令得駐點將定義域分為三個開區間，列表3.3.1討論，由

在各小區間中的正、負號知：

在和內單調增加,在(-1,1)內單調減少.例2解單調區間為例3證明當時，證明令因故只要證明函數

當時,是單調增加,而當時單調減少即

可.由，得駐點為當時，所以單調增加，故即當時，單調減少，即亦有故時，

極大值和極小值統稱為函數的極值，極大、極小值設函數f(x)在點x0的某個鄰域內有定義一、函數極值的定義

定義1）若當時，恒有，則稱是

的一個極大值，此時稱為的極大值點：2）若當時，恒有，則稱是

的一個極小值，此時稱為的極小值點：點統稱為函數的極值點.第四節

函數的極值及其求法需要說明的是，對同一個函數來說，有時它在某一點的極大值可能會小于另一點的極小值，如圖3.3.3.雖然f(x1)是函數的極大值，f(x4)是極小值，但是注：函數的極值是一個局部概念，因此，一個定義在[a，b]上函數的在[a，b]上可以有許多極值，且極大值有可能小于極小值。DECOBA二、函數極值的判定和求法定理1(必要條件)注意:例如,不存在的點。(iii)若在x0的兩側，f

(x)不變號，

定理2（第一充分條件）設f(x)在x0（x0可除外）可導，x0為f(x)的駐點或使f

(x)(i)若當x<x0時，f

(x)>0；則

f(x0)

是f(x)的極大值；(ii)

若當x<x0時，f

(x)<0；則

f(x0)

是f(x)的極小值；則f(x0)不是極值。當x>x0時，f

(x)>0，當x>x0時，f

(x)<0，求極值的步驟:例1解列表討論極大值極小值定理3（第二種充分條件）設函數在處具有二階導數且則（1）當時，在點處取極大值；（2）當時，在點處取極小值；

注意,當函數在點處具有二階導數且則在點處處可能具有極值，也可能沒有極值.

例如,函數但在

處不取極值.而函數但

在處取得極小值

例2解例3解注意:函數的不可導點,也可能是函數的極值點.上面所研究的函數的極值總是在可能取極值的點(駐點或不可導點)的鄰域內進行討論，因而是一個局部性的概念.本目是研究函數在某個區間上的最大值或最小值的問題.這是與函數的極值有關但涉及整個區間的整體性問題.第五節函數的最大值和最小值閉區間上的連續函數一定可以取得最大值與最小值(統稱為最值).可以證明，如果函數在開區間內取得最值，那么這個最值也一定是函數的一個極值.由于連續函數取得極值的點只可能是該函數的駐點或不可導點，并且函數的最值也可能在區間的端點上取得，因此求函數最值的方法是：首先找出函數在區間內所有的駐點和不可導點，其次計算出它們及端點的函數值，最后將所有這些函數值加以比較，其中最大(小)者就是函數在該區間上的最大(小)值.在區間［－8,］上例1求函數的最大值與最小值.解

,令（x）=0，

解得駐點

x=－1.又f(x)有不可導點，它們均在(－8,)內，因為比較后即知，函數的最大值點是，最大值為f(－1)=f()=，函數的最

小值點是左端點x=－8,最小值為f(－8)=－2.例2有一塊邊長為a的正方形鐵片，在每一個角上各剪去一個邊長為x的小正方形，用剩下的部分做成一個開口盒子.問：剪去的正方形邊長x為多少時，所做盒子容積最大?解

由于小正方形邊長為x，故做成的小盒子底邊長為a－2x,高為x,因此容積為：V(x)=(a－2x)2·x,(0＜x＜.令V′(x)=0，得駐點x1=及x2=.由于當x2=時，表示鐵皮完全被剪去，容積為零，應舍去，故V(x)在開區間

(0,)內只有唯一駐點x1=.另一方面，根據問

題特點可以判斷V(x)一定有最大值，故當

x=時，V(x)取得最大值，最大值為由§3.4曲線的凹凸性和函數作圖3.函數作圖1.曲線彎曲的方向——凹凸性2.曲線的漸進線一、曲線的凹凸性及其判別方法

在上一節我們利用一階導數研究了曲線的上升和下降.但僅僅知道這些，還不能準確地描繪函數的圖形，例如下圖中的兩條曲線弧，雖然它們都是上升的，但圖形卻有明顯的不同，第六節曲線的凹凸性與拐點ACB是向下凹的曲線弧，而ADB是向下凸的曲線弧，它們的凹凸性不同，也就是說ACB和ADB的彎曲方向是不同的.進一步如果過曲線上每一點作曲線的切線，還可以看到ACB上任一點作切線后，弧總在切線之下，而

ADB上任一點作切線后，弧在切線之上，因此，我們有下面的（（（（（（

定義1設函數y=f(x)在區間［a,b］上連續，在(a,b)內可導，如果y=f(x)的圖形位于每一點切線的上方，則稱曲線y=f(x)在［a,b］上是向下凸的;如果y=f(x)的圖形位于每一點切線的下方，則稱曲線y=f(x)在(a,b)上是向下凹的.一條連續曲線上，向下凸的曲線弧和向下凹的曲線弧的分界點稱為曲線的拐點.

不難看出，當曲線y=f(x)在某區間是凸的，當自變量x由小變大時，其切線斜率是增加的，即f′(x)是一個增函數.所以f′(x)的導數即f″(x)在此區間內應取正值.對曲線y=f(x)為凹的部分有相反的結論，因此，我們可以利用函數的二階導數來決定函數對應曲線的凹凸性和求曲線的拐點.定理

設函數f(x)在(a,b)內有二階導數.若對任意的x∈(a,b),有f″(x)＞0，則f(x)在(a,b)內是下凸的，若對任意的x∈(a,b)有f″(x)＜0,則f(x)在(a,b)內下凹.

本定理證明要用到泰勒中值定理，此處從略.例如函數f(x)=x4,f″(x)=12x2,它在(－∞,+∞)內是凸函數；而函數f(x)=x3,f″(x)=6x,因此它在(－∞，0)內是凹的，而在(0，+∞)內是凸的.點(0，0)為曲線y=x3的拐點.

一般而言，若f′(x)在(a,b)內連續，除個別點外，f″(x)不變號，f(x)在(a,b)內凹凸性不變.由于可導函數f(x)的凸(凹)區間是其導數f′(x)的單調增(減)區間，所以，若(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點，x0必是導數f′(x)單調增區間與單調減區間的分界點，反之亦然.我們有下面的關于求曲線拐點的定理：二、曲線的拐點定理2設函數f(x)在點x0處二階可導，則點(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點的必要條件為f″(x0)=0.

但使f″(x0)=0的點(x0,f(x0))不一定是拐點.例如f(x)=x4,它在(－∞，+∞)上是凸的，雖有f″(0)=0,但點(0，0)不是曲線的拐點.如果f(x)在點x0處的二階導數不存在，點(x0,f(x0))仍可能是曲線的拐點.如點(0，0)是y=的拐點，但f″(0)不存在.(見例3.4.2).

可見，曲線拐點的橫坐標，可能是使f″(x)=0的點，也可能是使f″(x)不存在的點.找到曲線上的這些點后，我們可用下面的充分條件判別其是否為拐點.

定理

設函數y=f(x)在區間(a,b)內有二階導數f″(x)，若x0是(a,b)內一點當f″(x)在x0處左、右兩側不同號時，點(x0,

f(x0))是y=f(x)的一個拐點.(2)當f″(x)在點x0處左、右兩側同號時，點(x0,

f(x0))不是y=f(x)的拐點.例1討論曲線y=x4－2x3+1的凹凸性并求其拐點.解:函數的定義域為(－∞,+∞)，一、二階導數為y′=4x3－6x2,y″=12x2－12x=12x(x－1).令y″=0,解得x1=0,x2=1，它們把定義域分為三個部分：(－∞,0),(0,1),(1,+∞).在(－∞,0)內,y″＞0，y=x4－2x3+1下凸；在(0,1)內，y″＜0,y=x4－2x3+1下凹；在(1,+∞)內，y″＞0,y=x4－2x3+1下凸.

當x=0時，y=1,點(0,1)是曲線的拐點.x=1時，y=0,點(1，0)也是曲線的拐點.例2求曲線的拐點.解:函數y=在(－∞,+∞)內連續，當x≠0時當x=0時，y′,y″都不存在.二階導數y″在(－∞,+∞)內沒有零點，在x=0處不連續.但x=0把(－∞,+∞)分成兩個區間(－∞,0)和(0，+∞)，在(－∞,0)內y″＞0,曲線下凸，在(0，+∞)內y″＜0,曲線下凹.當x=0時，y=0,故(0，0)是曲線的一個拐點.一、描繪函數圖形的一般步驟我們給出利用導數和極限描繪函數圖形的一般方法和步驟，該方法本質上仍是描點作圖.(1)求出函數y=f(x)的定義域，確定圖形的范圍；(2)討論函數的奇偶性和周期性，確定圖形的對稱性和周期性；(3)討論漸近線，確定圖形的變化趨勢；第七節

函數圖形的描繪(4)計算函數的一階導數f′(x)和二階導數f″(x)；(5)求函數的間斷點、駐點、不可導點和拐點，將這些點由小到大，從左到右插入定義域內，得到若干個子區間；(6)列表討論函數在各個子區間內的增減性、凸凹性、極值點和拐點；(7)求曲線上的一些特殊點，如與坐標軸的交點等，有時還要求出一些輔助點上的函數值，然后根據(8)中的表格描點繪圖.例1

作函數的圖形.解:函數的定義域是(－∞,+∞)，該函數是偶函數,可先作出函數在［0,+∞）的圖形.又,故y=0是水平漸近線.令y′=0,得駐點x1=0,令y″=0得點根據上述結果，列表討論曲線的升降，凹凸、極值點和拐點等.表1再令x=1,f(1)=e－1≈0.37,得輔助點(1，0.37).根據以上討論，先作出函數在y軸之右的圖形，再利用對稱性，即得曲線圖形如下圖例2作出函數的圖形.解:函數的定義域是(－∞,1)∪(1,+∞).由例3.4.3，函數有豎直漸近線x=1及斜漸近線又令y′=0得駐點x1=－1,x2=3.但當x=1時，y′,y″不存在.x1=－1,x2=3及不可導點x=1將定義域分成四個子區間，(－∞,－1),(－1,1),(1,3),(3,+∞),列表討論.表2補充輔助點,描點繪圖如下：極小-0（0，1）1-0--0++0-0+++拐點(0,0)拐點(1,-1)二、曲線的漸近線.

為了比較準確地描繪曲線在平面上無限伸展的趨勢，應對曲線的漸近線進行討論.例如雙曲線當自變量x無限趨近于0時，第一象限的一支無限向上延伸，同時無限靠近y軸，而第三象限的另一支曲線則無限向下延伸，同時也無限靠近y軸；當x無限遠離原點時，兩支曲線分別沿x軸的兩個方向無限延伸，同時無限靠近x軸.因此，對曲線來說，我們可以借助y軸(直線x=0)和x軸(直線y=0)來研究它無限伸展的趨勢.這樣的直線就是所謂的曲線的漸近線.圖定義

如果動點M沿曲線y=f(x)無限遠離坐標原點時，M與某一條直線L的距離趨于零，則稱直線L是曲線y=f(x)的一條漸近線.并且若,則稱直線y=A是曲線的水平漸近線；若，則稱直線x=a是曲線的豎直漸近線或垂直漸近線;若,則稱直線y=ax+b是曲線的斜漸近線.或且例3求曲線的漸近線.解:由于，所以x=1是曲線的豎直漸近線；又故是曲線的斜漸近線.該曲線沒有水平漸近線.熟悉微分中值定理；掌握洛必達法則、函數的單調性與曲線的凹凸性、函數極值、最值的求法；了解函數圖形的描繪第四章小結高等數學第五章不定積分第一節

不定積分的概念與性質第二節

換元積分法第三節

分部積分法第四節

有理函數的不定積分基本要求：了解積分表的使用；熟悉不定積分的概念；掌握不定積分的運算。

重點：不定積分的基本性質、基本積分公式；兩類換元積分法和分部積分法。

難點：原函數和不定積分的概念；有理函數的不定積分。一、原函數與不定積分通過對求導和微分的學習，我們可以從一個函數y＝f(x)出發，去求它的導數f'(x)

那么，我們能不能從一個函數的導數f’(x)出發，反過來去求它是哪一個函數(原函數)的導數呢?定義1

已知f(x)是定義在某區間上的一個函數，如果存在函數F(x)，使得在該區間上的任何一點x處都有F'(x)＝f(x)，那么稱函數F(x)為函數f(x)在該區間上的一個原函數。第一節

不定積分的概念與性質例1求下列函數的一個原函數：⑴f(x)＝2x⑵f(x)＝cosx解：⑴∵(x2)'＝2x∴x2是函數2x的一個原函數⑵∵(sinx)'＝cosx∴sinx是函數cosx的一個原函數這里為什么要強調是一個原函數呢?因為一個函數的原函數不是唯一的。例如在上面的⑴中，還有(x2＋1)'＝2x，

(x2－1)'＝2x

所以x2、x2＋1、x2－1、x2＋C(C為任意常數)都是函數f(x)＝2x的原函數。定理

設F(x)是函數f(x)在區間I上的一個原函數，C是一個任意常數，那么，⑴F(x)＋C也是f(x)

在該區間I上的原函數⑵f(x)該在區間I上的全體原函數可以表示為F(x)＋C證明：⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x)∴F(x)＋C也是f(x)的原函數⑵略

這說明函數f(x)如果有一個原函數F(x)，那么它就有無窮多個原函數，它們都可以表示為F(x)＋C的形式。定義2

函數f(x)的全體原函數叫做函數f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx，其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量。求函數f(x)的不定積分就是求它的全體原函數，因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C

其中C是任意常數，叫做積分常數。例2求下列不定積分⑴∫x5dx⑵∫sinxdx解：⑴∵是x5的一個原函數∴⑵∵－cosx是sinx的一個原函數∴二、不定積分的幾何意義

設F(x)是函數f(x)的一個原函數，則曲線y＝F(x)稱為f(x)的一條積分曲線，曲線y＝F(x)＋C表示把曲線y＝F(x)上下平移所得到的曲線族。因此，不定積分的幾何意義是指由f(x)的全體積分曲線組成的積分曲線族。例4求斜率為2x且經過點(1,0)的曲線。解：設所求曲線為y＝f(x)，則f’(x)＝2x，故y＝x2＋C，∵曲線過點(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C，解得C＝－1，因此，所求曲線為y＝x2－1。三、不定積分的基本公式由于積分運算是求導運算的逆運算，所以由基本求導公式反推，可得基本積分公式四、不定積分的性質⑴[∫f(x)dx]'＝f(x)

該性質表明，如果函數f(x)先求不定積分再求導，所得結果仍為f(x)⑵∫F'(x)dx＝F(x)＋C

該性質表明，如果函數F(x)先求導再求不定積分，所得結果與F(x)相差一個常數C⑶∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx(k為常數)

該性質表明，被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號的前面⑷∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx

該性質表明，兩個函數的和或差的不定積分等于這兩個函數的不定積分的和或差說明：冪函數的積分結果可以這樣求，先將被積函數的指數加1，再把指數的倒數放在前面做系數。[注意]

不能認為arcsinx＝－arccosx，他們之間的關系是arcsinx＝π／2－arccosx例7求∫(9x2＋8x)dx解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx

＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C例8求∫3xexdx直接積分法對被積函數進行簡單的恒等變形后直接用不定積分的性質和基本積分公式即可求出不定積分的方法稱為直接積分法。運用直接積分法可以求出一些簡單函數的不定積分。第二節

換元積分法

一、第一類換元積分法(湊微分法)

如果被積函數的自變量與積分變量不相同，就不能用直接積分法。例如求∫cos2xdx，被積函數的自變量是2x，積分變量是x。這時，我們可以設被積函數的自變量為u，如果能從被積式中分離出一個因子u’(x)來，那么根據∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C就可以求出不定積分。這種積分方法叫做湊微分法。例2求∫2sin2xdx解：設u＝2x，則du＝2dx∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu

＝－cosu＋C＝－cos2x＋C注意：最后結果中不能有u，一定要還原成x。解：設u＝x2＋1，則du＝2xdx

解：設u＝x2，則du＝2xdx

設u＝cosx，則du＝-sinxdx例5例4

當計算熟練后，換元的過程可以省去不寫。例求∫sin3xcosxdx

解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝sin4x＋C例6例7二、第二類換元積分法例如，求，把其中最難處理的部分換元，令則原式＝，再反解x＝u2＋1，得dx＝2udu，代入這就是第二換元積分法。

(1)如果被積函數含有，可以用x＝asint換元。

(2)如果被積函數含有，可以用x＝atant換元。例8例9

(3)如果被積函數含有，可以用x＝asect換元。例10例11以下結果可以作為公式使用：考察函數乘積的求導法則：

[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)兩邊積分得

u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx于是有∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx或表示成∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)這一公式稱為分部積分公式。第三節

分部積分法例1求∫xexdx解:令u(x)＝x，v'(x)＝ex

則原式為∫u(x)·v'(x)dx的形式∵(ex)'＝ex∴v(x)＝ex，由分部積分公式有∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C例2求∫xcos2xdx解：令u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，則v(x)＝sin2x

于是∫xcos2xdx＝xsin2x－∫sin2xdx

＝xsin2x＋cos2x＋C

有時，用分部積分法求不定積分需要連續使用幾次分部積分公式才可以求出結果。例3求∫x2e-2xdx解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，則v(x)＝于是由此可見：作一次分部積分后，被積函數中冪函數的次數可以降低一次。如果所得到的積分式還需要用分部積分法解，那么，可以再用分部積分公式做下去。為了簡化運算過程，下面介紹:分部積分法的列表解法例4求∫x2sinxdxx2sinx

求導↓+↓積分

2x--cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx

[分部積分法的列表解法]例5求∫x2sinxdxx2sinx求導↓↓積分2x-cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx＋∫2xcosxdx＝-x2cosx＋2xsinx-∫2sinxdx求導↓

２↓積分-sinx＝-x2cosx＋2xsinx＋2cosx＋C求導↓

０↓積分+cosx

＋－

－＋＋例6求∫xlnxdxxlnx

求導↓↓積分

1?這說明把lnx放在右邊用分部積分法解不下去。把lnx放在左邊用分部積分法解：

lnxx

求導↓+↓積分

-[一般原則]對數函數、反三角函數、冪函數應放在左邊，指數函數、三角函數應放在右邊。有些單獨一個函數的不定積分也要用分部積分法解。例7求∫lnxdxlnx1

求導↓+↓積分

-x=xlnx－∫dx=xlnx－x＋C例8求∫arcsinxdxarcsinx

1

求導↓+↓積分

-x例91

求導↓↓積分

x例10求∫exsin3xdx解：∫exsin3xdx＝exsin3x－3∫excos3xdx

＝exsin3x－3excos3x－9∫exsin3xdx移項得∫exsin3xdx＝ex(si3nx－3cos3x)＋C有理函數的定義有理函數是指分子、分母都是多項式的分式函數，形如第四節

有理函數的不定積分真分式的部分分式分解設分子的次數為n，分母的次數為m。當n＜m時，該分式稱為真分式；當n≥m時，該分式稱為假分式。假分式可以寫成多項式與真分式的和。這里主要講解真分式的部分分式分解。例1 分解成部分分式解：因為分母含有(x－1)的三重因式，所以設一、一般有理函數的不定積分等式右邊通分后得比較等式兩邊分子各項的系數得Ａ＋Ｂ＝1解得：Ａ＝－1

－3Ａ－2Ｂ＋Ｃ＝0Ｂ＝23Ａ＋Ｂ－Ｃ＋Ｄ＝0Ｃ＝1

－Ａ＝1Ｄ＝2這種方法稱為待定系數法幾種簡單分式的積分法一、例2二、1.當分子不含一次項時因為分母中p2-4q＜0，所以分母可以配方成(x-m)2+n2，再進一步，還可以化成例3例42.當分子含有一次項時，可將分子湊成分母的導數與另一常數之和再分別積分。例5分母可以因式分解的有理函數1.若被積函數是假分式，先把它分解成一個多項式與一個真分式之和,2.對于真分式，先將分母因式分解，再用待定系數法化為部分分式之和,3.對每個最簡分式分別求不定積分。

例6再如前面舉過的例子求例7二、三角函數有理式的不定積分例7對三角函數有理式的不定積分，雖然采用“萬能代換”后都能化為有理函數的不定積分，從而一定能夠“積出”，但是，并不是說所有三角函數有理式的積分都必須用這樣的方法來計算.有時候用其他方法積分反而更簡便.例8【解】了解積分表的使用；熟悉不定積分的概念；掌握不定積分的運算。第五章小結高等數學第六章定積分第一節定積分的概念與性質第二節

微積分學基本定理第三節

定積分的換元法和分部積分法第四節

廣義積分基本要求：了解反常積分的審斂法；熟悉定積分的概念、幾何意義、微積分的基本公式；掌握定積分的運算。重點：定積分的定義；牛頓-萊布尼茨公式；定積分的換元積分法與分部積分法。難點：積分上限函數及其求導方法；廣義積分的計算。一、引入定積分概念的兩個實例設函數y=f(x)在區間[a,b]上非負、連續.由直線x=a、x=b、Y=0及曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形,其中曲線弧稱為曲邊.

如何計算其面積？abxyoy=f(x)x=bx=a第一節定積分的概念與性質1.

曲邊梯形的面積解決步驟:1)

分割.在區間[a,b]中任意插入n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)

近似.在第i

個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積得],[1iixx-3)求和.4)取極限.令則曲邊梯形面積元素法1化整為零2以直代曲

(以常代變)3積零為整yxoy=f(x)ab.分法越細，越接近精確值1.

曲邊梯形的面積f(i)元素法4取極限yxoy=f(x)令分法無限變細ab..分法越細，越接近精確值1化整為零2以直代曲

(以常代變)3積零為整f(i)元素法4取極限yxoy=f(x)令分法無限變細....分法越細，越接近精確值1化整為零2以直代曲

(以常代變)3積零為整f(i)S

=.Sab2.變速直線運動的路程

已知物體直線運動的速度v=v(t)是時間t的連續函數,且v(t)>0,計算物體在時間段[T1,T2]內所經過的路程S.

(1)分割:T1=t0<t1<t2<***

<tn-1<tn=T2,Dtititi+1;(2)近似:物體在時間段[ti1,ti]內所經過的路程近似為Siv(i)Dti(ti1