重難點06四邊形的存在性目錄考點一：平行四邊形的存在性考點二：梯形存在性技巧技巧方法本節包含兩部分，平行四邊形的存在性及梯形的存在性，常見題型是存在菱形和正方形，根據題目中的條件及特殊的平行四邊形的性質構造等量關系，求出相應的點的坐標；常見的梯形的問題中，經常需要添加輔助線．考察學生的分類討論思想及邏輯思維能力．能力拓展能力拓展考點一：平行四邊形的存在性平行四邊形的問題是近幾年來考試的熱點，考察學生的分類討論的思想．常見的題型是在平面直角坐標系中已知三點和第四點構成平行四邊形，求第四點；或者已知兩點，另外兩點在某函數圖像上，四點構成平行四邊形；利用兩點間的距離公式和平移的思想，結合題目中的條件構造等量關系．1．（2022春·上海青浦·八年級校考期末）如圖，已知點，點，點在軸負半軸上，，點為直線上一點．(1)求直線的解析式；(2)點為平面內任一點，若以點、、、為頂點的四邊形是正方形，求點的坐標；(3)當直線與直線的夾角等于的倍時，直接寫出點的坐標．2．（2022春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，函數的圖象分別交軸、軸于、兩點．過點的直線交軸正半軸于點，且點為線段的中點．(1)求直線的解析式；(2)在直線上找一點，使得，求出點的坐標；(3)若點為坐標平面內任意一點，在坐標平面內是否存在這樣的點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2022春·上海長寧·八年級上海市民辦新世紀中學校考期末）已知，矩形中，，，的垂直平分線分別交、于點、，垂足為．(1)如圖1，連接、．求證四邊形為菱形，并求的長；(2)如圖2，動點、分別從、兩點同時出發，沿和各邊勻速運動一周．即點自停止，點自停止．在運動過程中，①已知點的速度為每秒，點的速度為每秒，運動時間為秒，當、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求的值；②若點、的運動路程分別為、（單位：，），已知、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出與滿足的數量關系式．4．（2022春·上海徐匯·八年級統考期末）在中，，，，點D是AB上的動點，交AC于點E，分別交射線BC、射線AC于點F、G，聯結EF．(1)如圖1，如果點G恰好平分EC，判斷四邊形DEFC的形狀并證明；(2)如圖2，當點F在線段BC的延長線上時，設AD的長為x，梯形DBFE的面積為y，直接寫出y關于x的函數關系及其定義域；(3)當時，求的長．5．（2022春·上海·八年級上海市張江集團中學校考期末）【探究與應用】我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發現有很多結論．例如：在平行四邊形ABCD中，，將△ABC沿直線AC翻折至△AEC，連結DE，則AC∥ED．(1)如圖1，若AD與CE相交于點O，證明以上個結論；(2)如圖2，AD與CE相交于點O，若，，，求△AOC的面積；(3)如果，，當A、C、D、E為頂點的四邊形是正方形時，請畫圖并求出AC的長；(4)如果，，當△AED是直角三角形時，直接寫出BC的長．6．（2022春·上海·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l1經過點A（0，1）、B（2，2）．將直線l1向下平移m個單位得到直線l2，已知直線l2經過點（﹣1，﹣2），且與x軸交于點C．(1)求直線l1的表達式；(2)求m的值與點C的坐標；(3)點D為直線l2上一點，如果A、B、C、D四點能構成平行四邊形，求點D的坐標．7．（2022春·上海·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，函數y＝﹣2x+12的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y軸正半軸于點M，且點M為線段OB的中點．(1)求直線AM的函數解析式；(2)若點C是x軸上一點，且S△AMCS△ABM，求點C的坐標；(3)點P在直線AB上，在坐標平面內是否存在點Q，使四邊形BPMQ是菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．8．（2022春·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學校考期中）如圖，直角坐標平面中，已知點A（，0），點B在第一象限，點B的縱坐標是橫坐標的6倍，且在反比例函數的圖像上，作BC⊥x軸，垂足為點C．(1)求直線AB的表達式；(2)如果點E在第一象限的反比例函數圖像上，點F在直線AB上，使四邊形BCEF為平行四邊形，請分別求出點E和點F的坐標．9．（2022春·上海·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，函數的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y軸的正半軸于點M，且點M為線段OB的中點．(1)求直線AM的函數解析式．(2)如果在直線AM上有一點P，使得，請求出點P的坐標．(3)在坐標平面內是否存在點N，使以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有點N的坐標；若不存在，請說明理由．10.直線與坐標軸分別交與點A、B兩點，點P、Q同時從O點出發，同時到達A點，運動停止．點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿運動．（1）直接寫出A、B兩點的坐標；（2）設點Q的運動時間為秒，△OPQ的面積為，求出與之間的函數關系式．（3）當時，求出點P的坐標，并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標．11.如圖所示，平面直角坐標系中，O是坐標原點，正比例函數y=kx（x為自變量）的圖像與雙曲線交于點A，且點A的橫坐標為．（1）求k的值；（2）將直線y=kx（x為自變量）向上平移4個單位得到直線BC，直線BC分別交x軸、y軸于B、C，如點D在直線BC上，在平面直角坐標系中求一點P，使以O、B、D、P為頂點的四邊形是菱形．12.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，將一個30°角的頂點P放在AB邊上滑動，保持30°角的一邊平行于BC，且交邊AC于點E，30°的另一邊交射線BC于點D，連ED．（1）如圖，當四邊形PBDE為等腰梯形時，求AP長；（2）四邊形PBDE有可能為平行四邊形嗎．若可能，求出PBDE為平行四邊形時，AP的長，若不可能，說明理由；（3）若點D在BC邊上（不與B、C重合），試寫出線段AP的取值范圍．13．（上海八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中,直線經過點且與直線：平行，直線與軸、軸分別交于點B、C．（1）求直線l1的表達式及其與軸的交點D的坐標；（2）判斷四邊形ABCD是什么四邊形？并證明你的結論；（3）若點E是直線AB上一點，平面內存在一點F，使得四邊形CBEF是正方形，求點E的坐標，請直接寫出答案.14．（上海八年級期中）如圖，平面直角坐標系中，直線經過點、，點是第一象限的點且，過點作軸，垂足為，．（1）求直線的解析式和點的坐標；（2）試說明：；（3）若點是直線上的一個動點，在軸上存在另一個點，且以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標．15．（上海八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知一次函數的圖像與軸相交于點，與軸相交于點．（1）求點坐標和點坐標；（2）點是線段上一點，點為坐標原點，點在第二象限，且四邊形為菱形，求點坐標；（3）在（2）的條件下，點為平面直角坐標系中一點，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有滿足條件的點坐標．考點二：梯形存在性梯形的分類討論題多見于各類壓軸題中，由于這類題目都與圖形的運動有關，需要學生有一定的想象力、分析力和運算力．梯形的主要特征是兩底平行，特殊梯形又可分為等腰梯形和直角梯形兩大類．常見題型為在直角坐標平面內已知三點求第四點，抓住梯形兩底平行的特征，對應的一次函數的解析式的k相等而b不相等．若是等腰梯形，常需添設輔助線，過上底的兩個頂點作下底的垂線，構造兩個全等的直角三角形．若是直角梯形，則需連接對角線或過上底的一頂點作下底的高構造直角三角形．1．（2022春·上海·八年級專題練習）在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＞AD，AB＝8cm，BC＝18cm，CD＝10cm，點P從點B開始沿BC邊向終點C以每秒3cm的速度移動，點Q從點D開始沿DA邊向終點A以每秒2cm的速度移動，設運動時間為t秒．(1)求四邊形ABPQ為矩形時t的值；(2)若題設中的“BC＝18cm”