2024屆黑龍江省齊齊哈爾市“四校聯盟”高三數學第一學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．正項等比數列中的、是函數的極值點，則（）A． B．1 C． D．22．已知雙曲線，為坐標原點，、為其左、右焦點，點在的漸近線上，，且，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．已知集合，則等于（）A． B． C． D．4．已知非零向量，滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解:5．已知函數，其中，記函數滿足條件：為事件，則事件發生的概率為A． B．C． D．6．3本不同的語文書，2本不同的數學書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數學書的概率是（）A． B． C． D．7．已知角的終邊經過點,則A． B．C． D．8．已知六棱錐各頂點都在同一個球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．9．幻方最早起源于我國，由正整數1，2，3，……，這個數填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數的和相等，這個正方形數陣就叫階幻方．定義為階幻方對角線上所有數的和，如，則（）A．55 B．500 C．505 D．505010．設，是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A． B． C． D．11．“是函數在區間內單調遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．函數的對稱軸不可能為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數列中，，則________．14．設實數，滿足，則的最大值是______.15．的展開式中的系數為__________．16．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則的最小值為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點P，Q分別為，的中點.求證：（1）PQ平面；（2）平面.18．（12分）已知正數x，y，z滿足xyzt（t為常數），且的最小值為，求實數t的值.19．（12分）已知函數，其中.（Ⅰ）若，求函數的單調區間；（Ⅱ）設.若在上恒成立，求實數的最大值.20．（12分）以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，已知曲線，曲線（為參數），求曲線交點的直角坐標.21．（12分）第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的《固體廢物污染環境防治法（修訂草案）》中，提出推行生活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中．為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關法規宣傳普及的關系，對某試點社區抽取戶居民進行調查，得到如下的列聯表．分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計已知在抽取的戶居民中隨機抽取戶，抽到分類意識強的概率為．（1）請將上面的列聯表補充完整，并判斷是否有的把握認為居民分類意識的強弱與政府宣傳普及工作有關？說明你的理由；（2）已知在試點前分類意識強的戶居民中，有戶自覺垃圾分類在年以上，現在從試點前分類意識強的戶居民中，隨機選出戶進行自覺垃圾分類年限的調查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數為，求分布列及數學期望．參考公式：，其中．下面的臨界值表僅供參考22．（10分）已知函數，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據可導函數在極值點處的導數值為，得出，再由等比數列的性質可得.【題目詳解】解：依題意、是函數的極值點，也就是的兩個根∴又是正項等比數列，所以∴.故選：B【題目點撥】本題主要考查了等比數列下標和性質以應用，屬于中檔題.2、D【解題分析】

根據，先確定出的長度，然后利用雙曲線定義將轉化為的關系式，化簡后可得到的值，即可求漸近線方程.【題目詳解】如圖所示：因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以漸近線方程為.故選：D.【題目點撥】本題考查根據雙曲線中的長度關系求解漸近線方程，難度一般.注意雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.3、C【解題分析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【題目詳解】因為，，所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法，屬于基礎題.4、C【解題分析】

根據向量的數量積運算，由向量的關系，可得選項.【題目詳解】，，∴等價于，故選：C.【題目點撥】本題考查向量的數量積運算和命題的充分、必要條件，屬于基礎題.5、D【解題分析】

由得，分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系，由圖可知，.6、D【解題分析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件．計數后可求得概率．【題目詳解】3本不同的語文書編號為，2本不同的數學書編號為，從中任意取出2本，所有的可能為：共10個，恰好都是數學書的只有一種，∴所求概率為．故選：D.【題目點撥】本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計數計算概率．7、D【解題分析】因為角的終邊經過點,所以,則,即.故選D．8、D【解題分析】

由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結合球的性質，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【題目詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以，在直角中，因為，所以，設外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【題目點撥】本題主要考查了正棱錐的幾何結構特征，以及外接球的表面積的計算，其中解答中熟記幾何體的結構特征，熟練應用球的性質求得球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.9、C【解題分析】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數的和相等，可得，即得解.【題目詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數的和相等，所以階幻方對角線上數的和就等于每行（或每列）的數的和，又階幻方有行（或列），因此，，于是．故選：C【題目點撥】本題考查了數陣問題，考查了學生邏輯推理，數學運算的能力，屬于中檔題.10、B【解題分析】

設過點作的垂線，其方程為，聯立方程，求得，，即，由，列出相應方程，求出離心率.【題目詳解】解：不妨設過點作的垂線，其方程為，由解得，，即，由，所以有，化簡得，所以離心率．故選：B.【題目點撥】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關系等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題．11、C【解題分析】，令解得當，的圖像如下圖當，的圖像如下圖由上兩圖可知，是充要條件【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數圖像的畫法.12、D【解題分析】

由條件利用余弦函數的圖象的對稱性，得出結論．【題目詳解】對于函數，令，解得，當時，函數的對稱軸為，，.故選：D.【題目點撥】本題主要考查余弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

設等比數列的公比為,再根據題意用基本量法求解公比,進而利用等比數列項之間的關系得即可.【題目詳解】設等比數列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為：1【題目點撥】本題主要考查了等比數列基本量的求解方法,屬于基礎題.14、1【解題分析】

根據目標函數的解析式形式，分析目標函數的幾何意義，然后判斷求出目標函數取得最優解的點的坐標，即可求解．【題目詳解】作出實數，滿足表示的平面區域，如圖所示：由可得，則表示直線在軸上的截距，截距越小，越大.由可得，此時最大為1，故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查線性規劃知識的運用，考查學生的計算能力，考查數形結合的數學思想．15、3【解題分析】

分別用1和進行分類討論即可【題目詳解】當第一個因式取1時，第二個因式應取含的項，則對應系數為：；當第一個因式取時，第二個因式應取含的項，則對應系數為：；故的展開式中的系數為.故答案為：3【題目點撥】本題考查二項式定理中具體項對應系數的求解，屬于基礎題16、.【解題分析】.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）取的中點D，連結，.根據線面平行的判定定理即得；（2）先證，，和都是平面內的直線且交于點，由（1）得，再結合線面垂直的判定定理即得.【題目詳解】（1）取的中點D，連結，.在中，P，D分別為，中點，，且.在直三棱柱中，，.Q為棱的中點，，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【題目點撥】本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.18、t＝1【解題分析】

把變形為結合基本不等式進行求解.【題目詳解】因為即，當且僅當，，時，上述等號成立，所以，即，又x，y，z＞0，所以xyzt＝1．【題目點撥】本題主要考查基本不等式的應用，利用基本不等式求解最值時要注意轉化為適用形式，同時要關注不等號是否成立，側重考查數學運算的核心素養.19、（Ⅰ）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）求出函數的定義域以及導數，利用導數可求出該函數的單調遞增區間和單調遞減區間；（Ⅱ）由題意可知在上恒成立，分和兩種情況討論，在時，構造函數，利用導數證明出在上恒成立；在時，經過分析得出，然后構造函數，利用導數證明出在上恒成立，由此得出，進而可得出實數的最大值.【題目詳解】（Ⅰ）函數的定義域為.當時，.令，解得（舍去），.當時，，所以，函數在上單調遞減；當時，，所以，函數在上單調遞增.因此，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（Ⅱ）由題意，可知在上恒成立.（i）若，，，，構造函數，，則，，，.又，在上恒成立.所以，函數在上單調遞增，當時，在上恒成立.（ii）若，構造函數，.，所以，函數在上單調遞增.恒成立，即，，即.由題意，知在上恒成立.在上恒成立.由（Ⅰ）可知，又，當，即時，函數在上單調遞減，，不合題意，，即.此時構造函數，.，，，，恒成立，所以，函數在上單調遞增，恒成立.綜上，實數的最大值為【題目點撥】本題考查利用導數求解函數的單調區間，同時也考查了利用導數研究函數不等式恒成立問題，本題的難點在于不斷構造新函數來求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于難題.20、【解題分析】

利用極坐標方程與普通方程、參數方程間的互化公式化簡即可.【題目詳解】因為，所以，所以曲線的直角坐標方程為.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得，所以（舍），所以，所以曲線的交點坐標為.【題目點撥】本題考查極坐標方程與普通方程，參數方程與普通方程間的互化，考查學生的計算能力，是一道容易題.21、（1）有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關系．見解析（2）分布列見解析，期望為1．【解題分析】

（1）由在抽取的戶居民中隨機抽取戶，抽到分類意識強的概率為可得列聯表，然后計算后可得結論；（2）由已知的取值分別為，分別計算概率得分布列，由公式計算出期望．【題目詳解】解：（1）根據在抽取的戶居民中隨機抽取戶，到分類意識強的概率為，可得分類意識強的有戶，故可得列聯表如下：分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計因為的觀測值，所以有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關系．（2）現在從試點前分類意識強的戶居民中，選出戶進行自覺垃圾分類年限的調查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數為，則0，1，2，3，故，，，，則的分布列為．【題目點撥】本題考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列和數學期望．考查學生的數據處理能力和運算求解能力．22、（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解題分析】試