計算機圖形學二維變換第一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五◆齊次坐標◆二維圖形基本幾何變換矩陣◆Cohen-Sutherland直線裁剪算法本章學習目標第二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五本章內容5.1圖形幾何變換基礎5.2二維圖形基本幾何變換矩陣5.3二維復合變換5.4二維圖形裁剪5.5Cohen-Sutherland直線裁剪算法第三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.1圖形幾何變換基礎通過對圖形進行幾何變換，可以由簡單圖形構造復雜圖形。圖形幾何變換是對圖形進行平移變換、比例變換、旋轉變換、反射變換和錯切變換。圖形幾何變換可以分為二維圖形幾何變換和三維圖形幾何變換，而二維圖形幾何變換是三維圖形幾何變換的基礎

。第四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.1圖形幾何變換基礎5.1.1規范化齊次坐標

5.1.2矩陣相乘

5.1.3二維變換矩陣5.1.4二維幾何變換第五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.1.1規范化齊次坐標

為了使圖形幾何變換表達為圖形頂點集合矩陣與某一變換矩陣相乘的問題，引入了規范化齊次坐標。所謂齊次坐標就是用n＋1維矢量表示n維矢量。例如，在二維平面中，點P(x，y)的齊次坐標表示為（wx，wy，w）。類似地，在三維空間中，點P(x，y，z)的齊次坐標表示為（wx，wy，wz，w）。這里，w為任一不為0的比例系數，如果w＝1就是規范化的齊次坐標。二維點P(x，y)的規范化齊次坐標為〔x，y，1〕，三維點P(x，y，z)的規范化齊次坐標為〔x，y，z，1〕。不能寫成下標形式，w和x，w和y，w和z是乘法的關系。定義了規范化齊次坐標以后，圖形幾何變換可以表示為圖形頂點集合的規范化齊次坐標矩陣與某一變換矩陣相乘的形式。第六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五

二維圖形頂點表示為規范化齊次坐標后，其圖形頂點集合矩陣一般為n×3的矩陣，其中n為頂點數，變換矩陣為3×3的矩陣。在進行圖形幾何變換時需要用到線性代數里的矩陣相乘運算。例如，對于n×3的矩陣A和3×3的矩陣B，矩陣相乘公式為：5.1.2矩陣相乘

（5-1）第七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五由線性代數知道，矩陣乘法不滿足交換律，只有左矩陣的列數等于右矩陣的行數時，兩個矩陣才可以相乘。特別地，對于二維變換的兩個3×3的方陣A和B，矩陣相乘公式為：

類似地，可以處理三維變換的兩個4×4的矩陣相乘問題

第八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.1.3二維變換矩陣

用規范化齊次坐標表示的二維基本幾何變換矩陣是一個3×3的方陣，簡稱為二維變換矩陣。從功能上可以把二維變換矩陣T分為4個子矩陣。其中是對圖形進行比例、旋轉、反射和錯切變換；

是對圖形進行平移變換；

是對圖形進行投影變換；

是對圖形進行整體比例變換。

（5-2）第九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五

二維幾何變換的基本方法是把變換矩陣作為一個算子，作用到變換前的圖形頂點集合的規范化齊次坐標矩陣上，得到變換后新的圖形頂點集合的規范化齊次坐標矩陣。連接變換后的新圖形頂點，就可以繪制出變換后的二維圖形

5.1.4二維幾何變換

設變換前圖形頂點集合的規范化齊次坐標矩陣為：

變換后圖形頂點集合的規范化齊次坐標矩陣為：第十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五二維變換矩陣為：則二維幾何變換公式為，可以寫成：

第十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.2二維圖形基本幾何變換矩陣

5.2.1平移變換矩陣5.2.2比例變換矩陣5.2.3旋轉變換矩陣5.2.4反射變換矩陣5.2.5錯切變換矩陣

第十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.2二維圖形基本幾何變換矩陣

二維圖形基本幾何變換是指相對于坐標原點和坐標軸進行的幾何變換，包括平移、比例、旋轉、反射和錯切五種變換。本節以點的二維基本幾何變換為例進行講解。二維坐標點的基本幾何變換可以表示成P’=PT的形式，其中，P為變換前點的規范化齊次坐標點，P’為變換后點的規范化齊次坐標點，T為3×3的變換矩陣。第十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.2.1平移變換矩陣

平移變換是指將坐標點P(x,y)從位置移動到P‘(x’,y‘)位置的過程，如圖5-1所示。平移變換的坐標表示為：

圖5.1平移變換654321O123456yxPP’TxTy第十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五因此，二維平移變換矩陣為：

式中，Tx，Ty為平移參數。（5-4）相應的齊次坐標矩陣表示為：第十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.2.2比例變換矩陣

比例變換是指坐標點P(x,y)相對于坐標原點O，沿x方向縮放Sx倍，沿y方向縮放Sy倍，得到點P’(x’,y‘)的過程，如圖5-2所示。圖5.2比例變換PP‘sysx第十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五比例變換的坐標表示為：

相應的齊次坐標矩陣表示為：

因此，二維比例變換矩陣為：

式中，Sx，Sy為比例系數

（5-5）第十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五

比例變換可以改變圖形的形狀。當Sx＝Sy且Sx、Sy大于1時，圖形等比放大；當Sx＝Sy且Sx、Sy小于1大于0時，圖形等比縮??；當Sx≠Sy時，圖形發生形變。前面介紹過變換矩陣的子矩陣

是對圖形作整體比例變換，關于這一點可以令Sx＝Sy＝S導出，請注意這里s＝1/S，即s>1時，圖形整體縮??；0<s<1時，圖形整體放大。

第十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.2.3旋轉變換矩陣

旋轉變換是將坐標點P(x,y)相對于坐標原點O旋轉一個角度β（逆時針為正，順時針為負），得到點P‘(x’,y‘)的過程，如圖5-3所示。βPP’α圖5-3旋轉變換對于點，極坐標表示為：第十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五旋轉變換的坐標表示為：

相應的齊次坐標矩陣表示為：

因此，二維旋轉變換矩陣為：(5-6)第二十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五式中，α為旋轉起始角，β為旋轉終止角。式（5-6）為繞原點逆時針旋轉的變換矩陣，若旋轉方向為順時針，β角取為負值。順時針旋轉變換矩陣為：

第二十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.2.4反射變換矩陣反射變換也稱為對稱變換，是將坐標點P(x,y)關于原點或某個坐標軸反射得到

P’(x‘,y’)點的過程。具體可以分為關于原點反射、關于x軸反射、關于y軸反射等幾種情況，如圖5-4所示。（a）關于原點反射（b）關于x軸反射（c）關于y軸反射圖5-4反射變換第二十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五關于原點反射的坐標表示為：

相應的齊次坐標矩陣表示為：因此，關于原點的二維反射變換矩陣為：

（5-7）第二十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五同理可得，關于x軸的二維反射變換矩陣為：同理可得，關于y軸的二維反射變換矩陣為：（5-8）（5-9）第二十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.2.5錯切變換矩陣

錯切變換是將坐標點P(x,y)沿x和y軸發生不等量的變換，得到點P‘(x’,y‘)的過程。如圖5-5所示。

（a）正方形（b）沿+x方向錯切（c）沿-x方向錯切BADCABCDb=0c=1b=0c=-1BACD第二十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五（d）沿+y方向錯切（e）沿-y方向錯切（f）沿+x和+y方向錯切沿x，y方向的錯切變換的坐標表示為：相應的齊次坐標矩陣表示為：圖5-5錯切變換BADCb=1c=0CCDDBBAAb=-1c=0b=1c=1第二十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五因此，沿x，y兩個方向的二維錯切變換矩陣為：其中c、b為錯切參數。

（5-10）第二十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五

的非對角線元素大多為零，如果c和b不為零，則意味著對圖形進行錯切變換，如圖5-5（f）所示。令b＝0可以得到沿x方向的錯切變換，c>0是沿x正向的錯切變換，c<0是沿x負向的錯切變換，如圖5-5（b）和（c）所示。令c＝0可以得到沿y方向的錯切變換，b>0是沿y正向的錯切變換，b<0是沿y負向的錯切變換，如圖5-5（d）和（e）所示。在前面的變換中，子矩陣

第二十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五

上面討論的五種變換給出的都是點變換的公式，對于線框模型，圖形的變換實際上都可以通過點變換來完成。例如直線段的變換可以通過對兩個頂點坐標進行變換，連接新頂點得到變換后的新直線；多邊形的變換可以通過對每個頂點進行變換，連接新頂點得到變換后的新多邊形來實現。曲線的變換可通過變換控制多邊形的控制點并重新畫線來完成。符合下面形式的坐標變換稱為二維仿射變換（AffineTransformation）。（5-11）第二十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五變換后的坐標x’和y’都是變換前的坐標x和y的線性函數。參數aij是由變換類型確定的常數。仿射變換具有平行線變換成平行線，有限點映射到有限點的一般特性。平移、比例、旋轉、反射和錯切五種變換都是二維仿射變換的特例，任何一組二維仿射變換總可表示為這五種變換的組合。因此，平移、比例、旋轉、反射的仿射變換保持變換前后兩直線間的角度、平行關系和長度之比不改變。第三十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五復習：設變換前圖形頂點集合的規范化齊次坐標矩陣為：

變換后圖形頂點集合的規范化齊次坐標矩陣為：第三十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五二維變換矩陣為：則二維幾何變換公式為，可以寫成：

第三十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五二維平移變換矩陣為：

二維比例變換矩陣為：

二維旋轉變換矩陣為：順時針旋轉變換矩陣為：

第三十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五關于原點的二維反射變換矩陣為：

關于x軸的二維反射變換矩陣為：關于y軸的二維反射變換矩陣為：第三十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.3二維復合變換5.3.1復合變換原理5.3.2相對于任一參考點的二維幾何變換5.3.3相對于任意方向的二維幾何變換第三十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.3.1復合變換原理復合變換是指圖形做了一次以上的基本幾何變換，是基本幾何變換的組合形式，復合變換矩陣是基本幾何變換矩陣的組合。其中，T為復合變換矩陣，T1,T2…Tn為單次基本幾何變換矩陣。值得注意是：進行復合變換時，需要注意矩陣相乘的順序。由于矩陣乘法不滿足交換律，因此通常T1T2≠T2T1，在復合變換中，矩陣相乘的順序不可交換。通常先計算出，再計算第三十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.3.2相對于任一參考點的二維幾何變換

前面已經定義，二維基本幾何變換都是相對于坐標原點進行的平移、比例、旋轉、反射和錯切五種變換，但在實際應用中常會遇到參考點不在坐標原點的情況。相對于任一參考點的變換方法為首先將參考點平移到坐標原點，對坐標原點進行二維基本幾何變換，然后再將參考點平移回原位置。

例1一個由頂點P1（10，10），P2（30，10）和P3（20，25）所定義的三角形，如圖5-6所示，相對于點Q（10，25）逆時針旋轉30°，求變換后的三角形頂點坐標。第三十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五P1P2P3Q

圖5-6示例圖第三十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五第一步Q點平移至坐標原點，如圖5-7所示。QP3P1P2圖5-7平移

變換矩陣為：第三十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五第二步三角形相對于坐標原點逆時針旋轉30°，如圖5-8所示。P1P2P3Q

圖5-8旋轉

變換矩陣為：第四十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五P1P2P3Q第三步參考點Q平移回原位置，如圖5-9所示。變換矩陣為：圖5-9反平移第四十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五圖形變換后的頂點的規范化齊次坐標矩陣等于變換前的規范化齊次坐標矩陣乘以變換矩陣。而所以P1（17.5，12.01），P2（34.82，22.01）P3（18.66，30）。第四十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.3.3相對于任意方向的二維幾何變換二維基本幾何變換是相對于坐標軸進行的平移、比例、旋轉、反射和錯切五種變換，但在實際應用中常會遇到變換方向不與坐標軸重合的情況。相對于任意方向的變換方法為首先對任意方向做旋轉變換，使變換方向與坐標軸重合，然后對坐標軸進行二維基本幾何變換，最后做反向旋轉變換，將任意方向還原回原來的位置。第四十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五例2圖5-10所示三角形相對于軸線y=kx+b作反射變換，求每一步相應的變換矩陣。y=kx+b（0，b）

圖5-10原始圖形第四十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五第一步將點（0，b）平移至坐標原點，如圖5-11所示。圖5-11平移變換矩陣為：第四十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五第二步將軸線y=kx繞坐標原點順時針旋轉β角(β=arctank)，落于x軸上，如圖5-12所示。。變換矩陣為：圖5-12旋轉第四十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五第三步三角形相對x軸作反射變換，如圖5-13所示。。變換矩陣為：圖5-13反射第四十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五第四步將軸線y=kx逆時針旋轉β角(β=arctank)，如圖5-14所示。變換矩陣為：圖5-14反旋轉第四十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五圖5-15反平移第五步將軸線平移回原來的位置，如圖5-15所示。。變換矩陣為：第四十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.4二維圖形裁剪5.4.1圖形學中常用的坐標系5.4.2窗口和視區及窗視變換5.4.3窗視變換矩陣第五十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.4.1圖形學中常用的坐標系

計算機圖形學中常用的坐標系有用戶坐標系、觀察坐標系、設備坐標系和規格化設備坐標系等。1.用戶坐標系（UserCoordinate，UC)

用戶定義原始圖形所采用的坐標系稱為用戶坐標系。用戶坐標系通常根據應用的需要可以選擇直角坐標系、圓柱坐標系、球坐標系以及極坐標系等等。圖5-16所示為常用的二維和三維用戶直角坐標系。第五十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5-16二維和三維用戶坐標系2.觀察坐標系(ViewCoordinate，VC)

依據觀察窗口的方向和形狀在用戶坐標系中定義的坐標系稱為觀察坐標系，觀察坐標系用于指定圖形的哪一部分可以輸出范圍。第五十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5-17觀察坐標系3.設備坐標系(DeviceCoordinate，DC)

顯示器等圖形輸出設備自身都有一個坐標系稱為設備坐標系，也稱為屏幕坐標系。設備坐標系是二維坐標系，原點位于屏幕左上角，x軸垂直向右，y軸垂直向下，基本單位為像素。

5-18設備坐標系5-19規格化設備坐標系第五十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五4.規格化設備坐標系(NormalizedDeviceCoordinate，NDC)

規格化設備坐標系是將設備坐標系規格化到[0.0，0.0]到[1.0，1.0]的范圍內而定義的坐標系。規格化設備坐標系獨立于具體輸出設備。一旦圖形變換到規格化設備坐標系中，只要作一個簡單的乘法運算即可映射到具體的設備坐標系中。由于規格化設備坐標系能統一用戶各種圖形的顯示范圍，故把用戶圖形變換成規格化設備坐標系中的統一大小標準圖形的過程叫作圖形的邏輯輸出。把規格化設備坐標系中的標準圖形送到顯示設備上輸出的過程叫作圖形的物理輸出。有了規格化設備坐標系后，圖形的輸出可以在抽象的顯示設備上進行討論，因而這種圖形學又稱為與具體設備無關的圖形學。第五十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期五5.4.2窗口和視區及窗視變換在觀察坐標系中定義的確定顯示內容的區域稱為窗口。顯然此時窗口內的圖形是用戶希望在屏幕上輸出的，窗口是裁剪圖形的標準參照物。在設備坐標系中定義的輸出圖形的區域稱為視區。視區和窗口的大小可以不相同。一般情況下，用戶把窗口內感興趣的圖形輸出到屏幕上相應的視區內。在屏幕上可以定義多個視區，用來同時顯示不同的窗口內的圖形信息，圖5-20定義了3個窗口內容用于輸出，圖5-21的屏幕被劃分為3個視區，對3個窗口內容進行