解的簡單迭代法第一頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五問題:由求，然而是否是g(x)定義域上的值?定義4簡單迭代法(3.2)稱為適定的；法(3.2)稱為收斂的。當?shù)?3.2)收斂時,極限點又是g(x)的連續(xù)點,則的解也稱的不動點。的不動點。稱為則也可理解成：是映射，若滿足。g(x)把定義域的每個x映成了g(x)，因此保持有界,若迭代序列且全在g(x)定義域內(nèi),則若進一步有則簡單迭代迭代公式注:適定是收斂必要條件，即不適定則一定不收斂。第二頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五說明兩點：分別就下列四種情況說明幾何意義：(1)中的產(chǎn)生。（2）何時收斂,何時發(fā)散。幾何意義求x=g(x)的根求的根迭代法收斂迭代法不收斂從點的直線交y=x于點出發(fā),作平行于x軸作平行于y軸的直線交y=g(x)于點過該點即依次進行下去得到且第三頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五1.簡單迭代法(2)給定滿足2.收斂定理定理3(1)方法步驟:(壓縮不動點定理或壓縮映象定理)若迭代函數(shù)g(x)滿足使有則（收斂程度）（收斂速度）分析:結(jié)論(1)中有唯一根,因此想到根的存在性定理,連續(xù)條件。(3.4)實際是第四頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五證明：若等號成立,則表示a是根或者b是根,[a,b]上已有根存在了,對于一般情況,由根的存在定理，在上至少存在一個根即在[a,b]上至少存在一個根即定理3(壓縮不動點定理或壓縮映象定理)若迭代函數(shù)g(x)滿足使有則從而下證唯一性，為在[a,b]上另一根,則設(shè)由條件(1)知適定的，另外第五頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五又（導(dǎo)數(shù)的定義）＃證明：注：(1)從定理的結(jié)論3知，L越小收斂越快，L叫做漸進收斂因子。第六頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五(2)定理3不是必要條件,如上不滿足定理3的條件（2），實際上是解，只要取在0附近，把（－1，1）縮小使可以滿足。(3.4)式的條件較難驗證，常采用導(dǎo)數(shù)來代替。即有推論1：推論1定理3中（3.4）可用下式替代證明：只證因＃思考：不成立時結(jié)論是否成立？不一定因此該推論是充分條件但不是必要條件。若不成立時,則需要判斷(3.4)。注：第七頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五定理4（局部收斂定理）有則由產(chǎn)生的序列收斂于且有誤差估計：證明：實際計算中往往只在根因此有局部收斂定理4：鄰近討論，＃說明：定理中的條件是充分但非必要條件。見定理3的注（2）。第八頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五推論2若在不動點處可微，而且則存在當時，由產(chǎn)生的序列收斂于且證明：任取由知存在，成立即由定理4得證。＃(3.7)式的條件較難驗證,常采用導(dǎo)數(shù)來代替。即有推論2：第九頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五在一定條件下，迭代是高價收斂的。有定理5：定理5（高階收斂定理）若在不動點鄰近有直至階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足則簡單迭代法：是局部收斂的，且收斂階為分析：已知條件有各階導(dǎo)數(shù)均為0,因此用泰勒展開公式。證明：由推論2，簡單迭代法是局部收斂的。下證收斂階為＃第十頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五3用簡單迭代法求值（舉例）：例用簡單迭代法求的近似值。解：設(shè)則所以,求的近似值轉(zhuǎn)化為求方程的正根，方程：以為迭代函數(shù)，以為初始近似得到迭代序列：取作為的近似值，得：下證序列收斂于只要證滿足定理3，即證在某個區(qū)間上滿足定理3的條件。取區(qū)間為列出等價第十一頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五取區(qū)間為在上滿足定理3。則迭代法收斂。即1.4142157就是近似值。第十二頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五4迭代函數(shù)g(x)的選取方法選取的g(x)必須滿足:(1)兩方程同解；(2)迭代序列收斂于其根。兩種選g(x)的方法:存在，為含根區(qū)間,使得設(shè)為正常數(shù),試用形如作迭代函數(shù).選取使得對于某正實數(shù)成立.且存在常數(shù)作為迭代函數(shù).則簡單迭代法收斂于的根特別,使得(§5牛頓迭代法的變形)第十三頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五2)假設(shè)已知此時不能作為迭代函數(shù),若的反函數(shù)容易求出,可用作為迭代函數(shù).?因為與同根.此時可用求解的根且該迭代法收斂于例

求在上的根.解:在上有根.方程與等價.但故不能用作為迭代函數(shù).然而的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在上滿足所以可用作迭代函數(shù)求的根.第十四頁，共十五頁，編輯于2023年，星期五5迭代結(jié)束條件1)根據(jù)實際問題需要定出解的誤差界由定出迭代次數(shù)2)用相鄰兩次近似值有多少位有效數(shù)字相同,判斷是否停機.注:(1)編程序時,要注意結(jié)束條件.(2)定出的不準確,因為計算中有舍入誤差，故使迭代次數(shù)比計算的要大。

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