平行四邊形復(fù)習(xí)一、四邊形與特殊四邊形的關(guān)系四邊形平行四邊形矩形菱形正方形兩組對(duì)邊分別平行有一個(gè)角是直角鄰邊相等鄰邊相等有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角且鄰邊相等性質(zhì)：1。平行四邊形的對(duì)角相等。（鄰角互補(bǔ)）2。平行四邊形的對(duì)邊相等。（且平行）3。平行四邊形的對(duì)角線互相平分。判定：定義：兩組對(duì)邊都平行的四邊形叫平行四邊形1。一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形2。兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形。3。兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形。4。對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。平行四邊形定義：兩組對(duì)邊都平行的四邊形叫平行四邊形ABCDO知識(shí)聯(lián)系：1平行線的性質(zhì)與判定。2。全等三角形（四對(duì)）。

3。等積三角形：⊿ABO，⊿BCO，⊿CDO，⊿DAO矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。1。矩形的四個(gè)角都是直角。2。矩形的對(duì)角線相等。（互相平分）3。軸對(duì)稱、中心對(duì)稱判定：定義判定法：90°+平行四邊形=矩形

1、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。2、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。ABCDO知識(shí)聯(lián)系：1。等腰三角形2。直角三角形菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形。性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)

1。菱形的四條邊都相等。

2。菱形的對(duì)角線互相垂直（平分）且一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

3。軸對(duì)稱圖形判定：定義判定法：一組鄰邊相等+平行四邊形=菱形

1。四條邊都相等的四邊形是菱形。

2。對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。ABCDO知識(shí)聯(lián)系：等腰三角形，直角三角形S=AC·BD正方形定義：一個(gè)角為直角

+一組鄰邊相等

+平行四邊形

=正方形。性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)。

1、正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。

2、正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，

每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

3。軸對(duì)稱圖形判定：1、一組鄰邊相等+矩形=正方形

2、一角為90°+

菱形

=正方形ABCDO知識(shí)聯(lián)系：等腰直角三角形二、幾種特殊四邊形的性質(zhì)

平行四邊形矩形菱形正方形邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行，四條邊都相等對(duì)邊平行，四條邊都相等角對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)

四個(gè)角都是直角對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)

四個(gè)角都是直角對(duì)角線兩條對(duì)角線互相平分兩條對(duì)角線互相平分且相等兩條對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)稱性非軸對(duì)稱

軸對(duì)稱

軸對(duì)稱

軸對(duì)稱三、特殊四邊形的常用判定方法

平行四邊形（1）兩組對(duì)邊分別平行；（2）兩組對(duì)邊分別相等；（3）一組對(duì)邊（4）兩條對(duì)角線互相平分；（5）兩組對(duì)角分別相等矩形

（1）有三個(gè)角是直角；（2）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；(3)兩條對(duì)角線相等的平行四邊形。菱形（1）四條邊都相等；（2）有一組鄰邊相等的平行四邊形；(3)兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形。正方形(2)有一組鄰邊相等的矩形；（3）有一個(gè)角是直角的菱形。平行且相等;

（1）有一個(gè)角是直角的有一組鄰邊相等的平行四邊形；5種識(shí)別方法三個(gè)角是直角四條邊相等一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)1.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形ABCDADBCABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD四、對(duì)角線與特殊四邊形的關(guān)系A(chǔ)BCDDDDDDDDDD3.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDDABC4.對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDCABD原四邊形兩條對(duì)角線連接四邊中點(diǎn)所得四邊形互相垂直矩形相等菱形互相垂直且相等正方形既不互相垂直也不相等平行四邊形順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形一定是平行四邊形，但它是否特殊的平行四邊形取決于它的對(duì)角線是否垂直或者是否相等，與是否互相平分無(wú)關(guān).它的對(duì)角線是否垂直或者是否相等它的對(duì)角線是否垂直或者是否相等五、中點(diǎn)四邊形的形狀六、其他重要定理1.四邊形的內(nèi)角和等于360°.2.n邊形的內(nèi)角和等于(n–2).180°.3.任意多邊形的外角和等于360°.4.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

七、三角形中位線定理如圖，三角形ABC中，AD=DB，AE=EC，則有

；

。DE//BCDE=BC12ABCDE七、鞏固練習(xí)（一）判斷題：1.平行四邊形的對(duì)角線相等；（）2.矩形的四個(gè)角都相等；（）3.菱形的對(duì)角線互相垂直平分；（）4.有一個(gè)角是直角且鄰邊相等的平行四邊形是正方形；（）6.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（）7.對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（）5一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的的四邊形是平行四邊形。（）8、對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形。（）9、兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（）（二）選擇題：(A)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊也平行；(B)一組對(duì)角相等，另一組對(duì)角也相等；1.下面判定四邊形是平行四邊形的方法中，錯(cuò)誤的是（）。C一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等D一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）。A對(duì)角線互相平分B對(duì)角線相等C對(duì)角線平分一組對(duì)角D對(duì)角線互相垂直。3.順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形一定是（）(A)矩形。(B)正方形。(C)菱形。(D)平行四邊形4.下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具備的是（）A對(duì)角相等B鄰角互補(bǔ)C對(duì)角互補(bǔ)D內(nèi)角和是360°6.能夠判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是（）(A)一組對(duì)角相等(B)兩條對(duì)角線互相平分。(C)兩條對(duì)角線互相垂直(D)一對(duì)鄰角的和為180°7.不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（）//(A)AB=CD,AD=BC。(B)BCAD。(C)AB//DC,AD//BC。(D)AB=CD，AD//BC。（三）填空題：相等2.兩條對(duì)角線

的四邊形是矩形。互相平分且相等3.兩條對(duì)角線

的平行四邊形是菱形。

互相垂直4.兩條對(duì)角線

的四邊形是菱形。互相垂直平分5.兩條對(duì)角線

的矩形是正方形。互相垂直6.兩條對(duì)角線

的菱形是正方形。相等7.兩條對(duì)角線

的平行四邊形是正方形。互相垂直并相等8.兩條對(duì)角線

的四邊形是正方形。互相垂直平分并相等1.兩條對(duì)角線

的平行四邊形是矩形。9.如圖(1)，ABCD中，∠1=∠B=50°,則∠2=

。ABCD12(1)11.若四邊形ABCD為平行四邊形，請(qǐng)補(bǔ)充條件_________________使得四邊形ABCD為菱形.AB=BC

ADBCADBC或AC⊥BD12.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為菱形，并說(shuō)明理由。解：添加的條件

__________AC＝BD我想到：三角形中位線定理12.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為

矩形，并說(shuō)明理由。解：添加的條件

__________AC⊥BD我想到：三角形中位線定理12.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為

正方形

，并說(shuō)明理由。解：添加的條件

__________AC＝BD我想到：三角形中位線定理且AC⊥BD13.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2和5，P是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是

.2.5我想到：平行四邊形被對(duì)角線分成的四個(gè)三角形面積相等.例題選講1已知：如圖，□ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn).求證：四邊形EBFD為平行四邊形.

你還有其他方法嗎？比較哪種方法更簡(jiǎn)單？已知：如圖，DC//EF//AB，DA//GH//CB，圖中有多少平行四邊形？

我能行1已知：如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD和CB的中點(diǎn).求證：EF=AB

我能行2已知：如圖，ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，且AE=CG，BF=DH．求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

我能行3已知：如圖，

ABCD中，E,F分別是對(duì)角線上兩點(diǎn)，且AE＝CF．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．

我能行4例1：已知：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，ABCD且∠1=∠2

。

求證：四邊形ABCD是矩形例題選講2練習(xí)：已知:如圖,AC與BD是矩形ABCD的兩條對(duì)角線，ＡＥ＝ＣＧ＝ＢＦ＝ＤＨ．求證：四邊形EFGH是矩形思考：證明兩條線段相等常用哪些方法？

1.

如圖，已知平行四邊形ABCD中，DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,求證：BE=DF綜合應(yīng)用方法一：∵DE⊥AC,BF⊥AC∴DE∥BF,∠DEA=∠BFC=90。∵四邊形ABCD是平行四邊形∴DA=BC,DA∥BC∴∠DAE=∠BCF

在AED和CBF中∵∠DEA=∠BFC=90,∠DAE=∠BCF,DA=BC∴△AED≌△CBF(A.A.S.)∴DE=BF∵DE∥BF∴四邊形DEBF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）∴BE=DF(平行四邊形的對(duì)邊相等）方法二：連接BD，交AC于O點(diǎn)∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OD=OB，OA=OC∵DE⊥AC,BF⊥AC∴∠DEA=∠BFC=90。∵DA∥BC∴∠DAE=∠BCF∵DA=BC∴△AED≌△CFB(A.A.S.)∴AE=CF∴OE=OF∴四邊形DEBF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∴BE=DF(平行四邊形的對(duì)邊相等）O2。如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中點(diǎn)，EF⊥BD于F，求證：DF＝BF。ABCDEF注意：在已知條件中有直角三角形及斜邊的中點(diǎn)時(shí)，常利用斜邊的中線是斜邊的一半這條性質(zhì)。證明：∵ΔBCF、ΔACE是等邊三角形∴∠BCF＝∠ACE=60°即∠1＋∠3=∠2＋∠3=60°CB＝CF、CA＝E∴∠1=∠2∴ΔBAC≌ΔFEC（SAS）∴AB＝EF

∵ΔABD是等邊三角形∴AB＝AD∴AD＝EF

同理可證：ΔBAC≌ΔBDF∴DF＝AE∴四邊形DAEF是平行四邊形

F

E

D

B

C

2

3

13.已知：以三角形ABC的三邊為邊，在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即ΔABD、ΔBCE、ΔACF（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形。A（2）請(qǐng)猜測(cè)當(dāng)ΔABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？當(dāng)∠BAC等于150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形。（3）請(qǐng)猜測(cè)當(dāng)ΔABC滿足什么條件時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在？當(dāng)∠BAC等于60°時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在。3.已知：以三角形ABC的三邊為邊，在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即ΔABD、ΔACE、ΔBCF（1）四邊形DAEF是什么四邊形？說(shuō)明理由。

F

ED

A

B

CAD

OF

BC證明：1）∵四邊形ABCD是正方形對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O∴∠BOE＝∠AOF、BO＝AO

又∵AG⊥BE∴∠1+∠3＝90°

又∵AC⊥BD∴∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠2∴ΔAFO≌ΔBEO∴OE=OFEG4.已知：正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于F。求證：OE=OF123練習(xí)題做在練習(xí)本上如圖,已知點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且AE平分∠