《概率論與數理統計》試卷A（考試時間：90分鐘；考試形式：閉卷）（注意：請將答案填寫在答題專用紙上，并注明題號。答案填寫在試卷和草稿紙上無效）一、單項選擇題(本大題共20小題，每小題2分，共40分)1、A，B為二事件，則A、B、C、D、2、設A，B，C表示三個事件，則表示A、A，B，C中有一個發生B、A，B，C中恰有兩個發生C、A，B，C中不多于一個發生D、A，B，C都不發生3、A、B為兩事件，若，，，則成立A、B、C、D、4、設A，B為任二事件，則A、B、C、D、5、設事件A與B相互獨立，則下列說法錯誤的是A、與獨立B、與獨立C、D、與一定互斥6、設離散型隨機變量的分布列為X012P0.30.50.2其分布函數為，則A、0B、0.3C、0.8D、17、設離散型隨機變量的密度函數為，則常數A、B、C、4D、58、設～，密度函數，則的最大值是A、0B、1C、D、9、設隨機變量可取無窮多個值0,1,2,…,其概率分布為，則下式成立的是A、B、C、D、10、設服從二項分布B(n,p),則有A、B、C、D、11、獨立隨機變量，若X～N(1,4)，Y～N(3,16)，下式中不成立的是A、B、C、D、X123p1/2c1/412、設隨機變量的分布列為：則常數c=A、0B、1C、D、13、設～,又常數c滿足,則c等于A、1B、0C、D、-114、已知,則=A、9B、6C、30D、3615、當服從()分布時,。A、指數B、泊松C、正態D、均勻16、下列結論中，不是隨機變量與不相關的充要條件。A、B、C、D、與相互獨立17、設～且，則有A、B、C、D、18、設分別是二維隨機變量的聯合密度函數及邊緣密度函數，則是與獨立的充要條件。A、B、C、與不相關D、對有19、設是二維離散型隨機變量，則與獨立的充要條件是A、B、C、與不相關D、對的任何可能取值20、設的聯合密度為，若為分布函數，則A、0B、C、D、1二、計算題(本大題共6小題，每小題7分，共42分)若事件A與B相互獨立，。求：和設隨機變量，且。求已知連續型隨機變量的分布函數為，求和。設連續型隨機變量的分布函數為求：（1）常數A和B；（2）落入（-1，1）的概率；（3）的密度函數5、某射手有3發子彈，射一次命中的概率為，如果命中了就停止射擊，否則一直獨立射到子彈用盡。求：（1）耗用子彈數的分布列；（2）；（3）6、設的聯合密度為，求：（1）邊際密度函數；（2）；(3）與是否獨立三、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)設，是來自正態總體的樣本，下列三個估計量是不是參數的無偏估計量，若是無偏估計量，試判斷哪一個較優？，，。2、設。為的一組觀察值，求的極大似然估計。概率論與數理統計試卷答案及評分標準一、單項選擇題(本大題共20小題，每小題2分，共40分)題號12345678910答案BDCDDDDCAD題號11121314151617181920答案CCBBBDCDDB二、計算題(本大題共6小題，每小題7分，共42分)解：∵A與B相互獨立∴………（1分）………（1分）………（1分）又………（1分）………（2分） ………（1分）解：………（5分）………（2分）3、解：由已知有………（3分）則：………（2分）………（2分）4、解：(1)由，有：解之有：，………（3分）(2)………（2分）(3)………（2分）X123P2/32/91/95、解：(1)………（3分）(2)………（2分）(3)∵∴………（2分）6、解：(1)∵∴同理：………（3分）(2)同理：………（2分）(3)∵∴與獨立………（2分）三、應用題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)解：∵同理：∴為參數的無偏估計量………（3分）又∵同理：，且∴較優………（6分）解：的似然函數為：………（3分）解之有：………（6分）一、(共30分,每題5分)1、設事件A與B相互獨立，,求.解：因為事件A與B相互獨立，所以…….2分由，得…….2分…….1分2、三人獨立地去破譯一份密碼，他們譯出的概率分別為.求能將此密碼譯出的概率.解：…….5分3、設隨機變量的分布律為-10120.1250.250.250.375求的分布律，并計算.1250.250.3750.375解：……….3分……….2分4、設隨機變量服從參數為的泊松分布，且已知求.解：，…….2分…….2分所以，得.…….1分5、為檢查某食用動物含某種重金屬的水平，假設重金屬的水平服從正態分布均未知，現抽取容量為25的一個樣本，測得樣本均值為186，樣本標準差為10，求的置信度為0.95的置信區間.解：總體均值的置信度為0.95的置信區間為……….2分即…….2分所求置信區間為（181.8722，190.1278）…….1分6、某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖.包得的袋裝糖重量當機器正常時，其均值公斤，標準差公斤.某日開工后為檢驗包裝機是否正常，隨機地抽取它所包裝的糖9袋，稱得平均重量為0.511公斤，問這天包裝機工作是否正常？（取顯著水平）解：由題意設……….1分拒絕域為……….1分由于，……….2分即2.2>1.96,拒絕原假設，認為這天包裝機工作不正常.……….1分

概率論與數理統計B班級姓名學號第2頁二、（共18分,每題6分)1、設隨機變量和相互獨立，概率密度分別為求:（1）（2）（3）.解：（1）….2分（2）….2分（3）因為量和相互獨立，所以.….2分2、已知隨機變量，，求：與的協方差.解：….3分….3分3、設是來自正態總體的一個樣本，且已知隨機變量服從自由度為2的分布，求的值.解：因為且相互獨立，.所以，，，….2分，，且相互獨立.….2分由分布的定義，得，所以，.….2分三、（共18分,每題6分)1、設總體現隨機抽取容量為36的一個樣本，求樣本均值落入（50.8，53.8）之間的概率.解：，……….2分==….3分……….1分2、設隨機變量的分布函數為求：（1）A,B的值；（2）.解：（1）由連續型隨機變量分布函數的連續性，得，，即解得……….3分（2）……….3分

概率論與數理統計B試題班級姓名學號第3頁3、箱子中有一號袋1個，二號袋2個.一號袋中裝1個紅球，2個黃球，二號袋中裝2個紅球，1個黃球，今從箱子中任取一袋，從中任取一球，結果為紅球，求這個紅球是從一號袋中取得的概率.解：設={從箱子中取到i號袋}，B={抽出的是紅球}……….2分……….1分……….3分四、（8分）設隨機變量具有密度函數求（1）常數A；（2）X的分布函數.（1）因為……….2分所以得……….2分（2）=……….4分五、（8分）某箱裝有100件產品，其中一、二、三等品分別為60、30、10件，現從中隨機抽取一件，記求的聯合分布律.解：設分別表示抽到一、二、三等品，，，的聯合分布律為X2X101010.30.60.0……….8分（每個2分）六、（10分）設隨機變量和的聯合概率密度為求邊緣概率密度；（2）判斷隨機變量和是否獨立.解：（1）……….1分……….2分……….1分……….2分因為，所以隨機變量和不獨立.…..….4分七、（8分）設是總體的一個樣本，為一相對應的樣本觀測值，總體的概率密度為求參數的矩估計和極大似然估計.解：（1）矩估計，…….2分由得…….2分（2）似然函數對數似然函數…….2分令，得參數的極大似然估計量為…….2分《概率論與數理統計》期末試題填空題（每小題3分，共15分）設事件僅發生一個的概率為0.3，且，則至少有一個不發生的概率為__________.答案：0.9解：即所以.設隨機變量服從泊松分布，且，則______.答案：解答：由知即解得，故設隨機變量在區間上服從均勻分布，則隨機變量在區間內的概率密度為_________.答案：解答：設的分布函數為的分布函數為，密度為則因為，所以，即故另解在上函數嚴格單調，反函數為所以設隨機變量相互獨立，且均服從參數為的指數分布，，則_________，=_________.答案：，解答：，故.設總體的概率密度為.是來自的樣本，則未知參數的極大似然估計量為_________.答案：解答：似然函數為解似然方程得的極大似然估計為.單項選擇題（每小題3分，共15分）1．設為三個事件，且相互獨立，則以下結論中不正確的是（A）若，則與也獨立.（B）若，則與也獨立.（C）若，則與也獨立.（D）若，則與也獨立.（）答案：（D）.解答：因為概率為1的事件和概率為0的事件與任何事件獨立，所以（A），（B），（C）都是正確的，只能選（D）.SASABC2．設隨機變量的分布函數為，則的值為（A）.（B）.（C）.（D）.（）答案：（A）解答：所以應選（A）.3．設隨機變量和不相關，則下列結論中正確的是（A）與獨立.（B）.（C）.（D）.（）

答案：（B）解答：由不相關的等價條件知，應選（B）.4．設離散型隨機變量和的聯合概率分布為若獨立，則的值為（A）.（A）.（C）（D）.（）答案：（A）解答：若獨立則有YXYX，故應選（A）.5．設總體的數學期望為為來自的樣本，則下列結論中正確的是（A）是的無偏估計量.（B）是的極大似然估計量.（C）是的相合（一致）估計量.（D）不是的估計量.（）答案：（A）解答：，所以是的無偏估計，應選（A）.（7分）已知一批產品中90%是合格品，檢查時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.05，一個次品被誤認為是合格品的概率為0.02，求（1）一個產品經檢查后被認為是合格品的概率；（2）一個經檢查后被認為是合格品的產品確是合格品的概率.解：設‘任取一產品，經檢驗認為是合格品’‘任取一產品確是合格品’則（1）（2）.（12分）從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是2/5.設為途中遇到紅燈的次數，求的分布列、分布函數、數學期望和方差.解：的概率分布為即的分布函數為.（10分）設二維隨機變量在區域上服從均