千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦《材料力學》i截面的幾何性質習題解附錄I截面的幾何性質習題解

[習題I-1]試求圖示各截面的陰影線面積對x軸的靜積。

（a）

解：)(24000)1020()2040(3

mmyAScx=+??=?=

（b）

解：)(422502

65

)6520(3mmyAScx=?

?=?=；

（c）

解：)(280000)10150()20220(3

mmyAScx=-??=?=

（d）

解：)(520000)20220()40100(3

mmyAScx=-??=?=

[習題I-2]試積分辦法求圖示半圓形截面向x軸的靜矩，并確定其形心的坐標。

解：用兩條半徑線和兩個同心圓截出一微分面積如圖所示。

dxxddA?=)(θ；微分面積的縱坐標：θsinxy=；微分面積對x軸的靜矩為：θθθθθdxdxxdxxdydxxdydAdSx?=??=??=?=sinsin)(2

半圓對x軸的靜矩為：'

3

2)]0cos(cos[3]cos[]3[sin3300300

2

rrxddxxSrr

x=

--?=-?=?=??

πθθθπ

π

由于cxyAS?=，所以cyrr??=232132ππ

34r

yc=[習題I-3]試確定圖示各圖形的形心位置。

（a）解：

習題I-3(a):求門形截面的形心位置

矩形Li—

BiAiYciAiYciYc離頂邊

上400208000￥

1601280000左15020300075225000?

右

15020300075225000…

14000

1730000

Ai=Li*Bi

Yc=∑AiYci/∑Ai

>

(b)

解：習題I-3(b):求L形截面的形心位置

矩形LiBiAiYci(

AiYci

YcXciAiXciXc下

160

10

1600

5

…

8000

80

128000

左901090055。

49500

54500

2500

，

57500

23

132500

53

Ai=Li*Bi

Yc=∑AiYci/∑Ai

Xc=∑AiXci/∑Ai

250000

重復加的矩形

10102500全圖上圖+下圖-重復圖=497500

解：12

4

aIx=

、

12

4

aIy=

0=xyI（yx,為形心主慣性軸）

1202212122sin2cos2244

41aaaIIIIIIxyyxyxx=-++=--++=αα

1202212122sin2cos2244

41

aaaIIIIIIxyyxyxy=--+=+--+=αα

0002cos2sin2

11=-=+-=

ααxyy

xyxIIII

結論：

1、過正方形形心的一對互相垂直的軸，它們的慣性矩相等，它們的慣性積為零；

2、過正方形形心的一對互相垂直的軸，繞形心轉動之后，慣性矩、慣性積保持不變。[習題I-20]確定圖示截面的形心主慣性軸的位置，并求形心主慣性矩。

。

（a）

解：截面的形心主慣性軸與豎直矩形的形心主慣性軸重合。

)

(5.575146666)402400(202212]40200)2402400(40202221[4323mmIx=?-??+???-+??=)

(6.183146666203202212]40200)2202200(20220121[4323mmIy=??+???-+??=)(2592000002]40200)220

2200()2402400([4mmIxy-=???-?--=

3164.16

.1813466665.575146666)

259200000()2(22tan0=--?-=

--=

y

xxyIIIα

'47523164.1arctan200==α

'242600=α

Ix$

IyIxy

-0Ix0=7

$

-0

Iy0=

2

24)(2

12

0xy

yxy

xyxIIIIIII+-±

+=

(b)

解：以20號槽鋼（圖I）的下邊緣為x軸，左邊緣為y軸，建立坐標系。8號槽鋼編號為圖II。則組合截面的形心計算如下：

習題I-20(b)長度單位:cm

？

圖形

AiXciYciAiXciAiYciXcYc

I,1064

II16·

-15

全圖；

習題I-20（b）

圖

形

Aiiabi-

Ixci'

Iyci'IxciIyciIxciyci'Ixciycitan2a0a0Ix0Iy0）

I

19811650

、

II

—

全

圖

`

22962490

@

[習題21]試用近似法求習題I-4所示截面的

x

I，并與該題得出的精確值相比較。已矩該截面的半徑mm

r100

=。

解：圓的方程為：

2

2

2100

=

+y

x

把y軸的半徑10等分，即mm

10

=

δ。過等分點，作x軸的平行線。從下往上，每個分塊的中點的y坐標與x坐標如下表所示。

習題I-21

iy

ix

ia

δ

iixaδ2

55102496915151022245425251060515435351011475184545101808383555510252637365651032107227575103720588858510380600595

95

10

2818055近似解i

ii

xxaIδ∑==

10

1

2

精確解16

10014159.3164

4

?=

?=rIxπ誤差(%)

[習題I-22]試證實：直角邊長度為a的等腰三角形，對于平行于直角邊的一對形心軸之慣性積肯定值為72

4

aIxy

=（提醒：最容易的證法是利用慣性積的平行移軸公式，并利用一對互相垂直的坐標軸中有一為截面的對稱軸時，其慣性積為零的特征。）

解:b

ybhz)

(-=

24

)(22

220220

0hbydyybbhydyzdzd