地址：中山北路28號江蘇商廈7樓咨詢電話線、平面、簡單幾何體——空間向量及其運算高考要求1理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘2了解空間向量的基本定理.3掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì).4理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念5握空間向量平行、垂直的條件及三個向量共面及四點共面的條件知識點歸納1．空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空間的一個平移就是一個向量⑵向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量⑶空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示2．空間向量的運算空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算：;;運算律：⑴加法交換律：⑵加法結(jié)合律：⑶數(shù)乘分配律：3平面向量共線定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量．向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使＝λ4共線向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．5．共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數(shù)λ，使＝λ推論：如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式．其中向量叫做直線的方向向量6空間直線的向量參數(shù)表示式：或，中點公式．7．向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：．通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的8．共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使推論：空間一點位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使所以｜｜=2或，即B、D間的距離為2或例3在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于點E，求證：（1）BD1⊥平面ACB1；（2）BE=ED1證明：（1）我們先證明BD1⊥AC∵=++，=+，∴·=（++）·（+）=·+·=·－·=||2－||2=1－1=0∴BD1⊥AC同理可證BD1⊥AB1，于是BD1⊥平面ACB1（2）設(shè)底面正方形的對角線AC、BD交于點M，則==，即2=∴,四點共面，所以，D1B與平面ACB1之交點E，就是D1B與MB1的交點由2=知，∽，D1E∶EB=2∶1∴BE=ED1點評：利用空間向量可以解決立體幾何中的線線垂直、線線平行、四點共面、求長度、求夾角等問題例4如圖，點A是△ABD所在平面外一點，G是△BCD的重心，求證：分析：想方設(shè)法把向量逐步用有關(guān)的向量的表示，直至用它們表示為止證明：∵ 例5下列命題中不正確的命題個數(shù)是①若A、B、C、D是空間任意四點，則有+++=；②||－||=|+|是、共線的充要條件③若、共線，則與所在直線平行④對空間任意點O與不共線的三點A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），則P、A、B、C四點共面A1 B2 C3 D4解：易知只有①是正確的，對于④，若O平面ABC，則、、不共面，由空間向量基本定理知，P可為空間任一點，所以P、A、B、C四點不一定共面答案：C例6A是△BCD所在平面外一點，M、N分別是△ABC和△ACD的重心，若BD=4，試求MN的長解：連結(jié)AM并延長與BC相交于E，連結(jié)AN并延長與CD相交于E，則E、F分別是BC及CD的中點（－）=（－）=∴=||=||=BD=點評：本題的關(guān)鍵是利用重心這一特殊位置逐步進行轉(zhuǎn)化小結(jié)：1若表示向量1，2，…，n的有向線段終點和始點連結(jié)起來構(gòu)成一個封閉折圖形，則1＋2＋3＋…＋n=2應(yīng)用向量知識解決幾何問題時，一方面要選擇恰當?shù)幕蛄?，另一方面要熟練地進行向量運算3空間中的任何一個向量都可以用不共面的三個向量線性表示，這三個向量也稱為一個基底在證明兩個向量平行、垂直或求其夾角時，往往把它們用同一個基底來表示，從而實現(xiàn)解題的目的4要用向量法解題，所涉及判斷位置或長度或所成角的向量，一般應(yīng)能用關(guān)系明確的向量表示，或較容易用坐標表示，否則應(yīng)考慮用其它方法來解練習1在以下四個式子中正確的有①+·，②·（·），③（·），④|·|=||||A1個 B2個 C3個 D0個解析：根據(jù)數(shù)量積的定義，·是一個實數(shù)，+·無意義實數(shù)與向量無數(shù)量積，故·（·）錯，|·|=|||||os〈，〉|，只有（·）正確答案：A2設(shè)向量、、不共面，則下列集合可作為空間的一個基底的是A{+，－，} B{+，－，}C{+，－，} D{++，+，}解析：由已知及向量共面定理，易得+，－，不共面，故可作為空間的一個基底，故選C答案：C3在平行六面體ABCD—A′B′C′D′中，向量、、是A有相同起點的向量 B等長的向量C共面向量 D不共面向量解析：∵－==，∴、、共面答案：C，則下列式子中與相等的是A－++ B++C－+ D－－+解析：=+=+（+）=－+=－+，故選A答案：A5O、A、B、C為空間四個點，又、、為空間的一個基底，則AO、A、B、C四點共面，但不共線 BO、A、B、C四點不共線CO、A、B、C四點中任意三點不共線 DO、A、B、C四點不共面解析：由基底意義，、、三個向量不共面，但A、B、C三種情形都有可能使、、共面只有D才能使這三個向量不共面，故應(yīng)選D答案：D6已知四邊形ABCD中，=－2，=5+6－8，對角線AC、BD的中點分別為E、F，則=_____________解析：∵=++，=++，兩式相加，得2=（+）+（+）+（+）∵E是AC的中點，故+=同理，+=∴2=+=（－2）+（5+6－8）=6+6－10∴=3+3－5答案：3+3－57已知+3與7－5垂直，且－4與7－2垂直，則〈，〉=_______解析：由條件知（+3）·（7－5）=7||2－15||2+16·=0，及（－4）·（7－2）=7||2+8||2－30·=0兩式相減得46·=23||2，∴·=||2代入上面兩個式子中的任意一個，即可得到||=||∴cos〈，〉===∴〈，〉=60°答案：60°8試用向量證明三垂線定理及其逆定理已知：PO、PA分別是平面α的垂線和斜線，OA是PA在α內(nèi)的射影，α，求證：⊥PA⊥OA證明：設(shè)直線上非零向量，要證⊥PA⊥OA，即證·=0·=0∵α，·=0，∴·=·（+）=·+·=·∴·=0·=0，即⊥PA⊥OA點評：向量的數(shù)量積為零是證明空間直線垂直的重要工具在應(yīng)用過程中，常需要通過加、減法對向量進行轉(zhuǎn)換，當然，轉(zhuǎn)換的方向是有利于計算向量的數(shù)量積9在空間四邊形ABCD中，求證：·+·+·=0證法一：把拆成+后重組，·+·+·=（+）·+·+·=·+·+·+·=·（+）+·（+）=·+