2022-2023學年河南省駐馬店市高二下學期期中數學試題一、單選題1．等比數列的前項和為，且，，成等差數列，若，則A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【詳解】試題分析：由數列為等比數列，且成等差數列，所以，即，因為，所以，解得：，根據等比數列前n項和公式．【解析】1．等比數列通項公式及前n項和公式；2．等差中項．2．已知能夠被15整除，則的一個可能取值是（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】D【分析】利用二項展開式寫出，由展開式可知需要能被15整除，結合選項可得答案.【詳解】,75能夠被15整除，要使原式能夠被15整除，則需要能被15整除，將選項逐個檢驗可知的一個可能取值是，其他選項均不符合題意，故選：D3．已知，若直線：與直線：平行，則它們之間的距離為（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據題意結合兩直線平行求得，再代入兩平行線間距離公式運算求解.【詳解】若直線：與直線：平行，則，解得或，當時，直線：與直線：平行；當時，直線：與直線：平行；綜上所述：若直線與直線平行，則或.∵，則，此時直線：，直線：，故直線、之間的距離.故選：A.4．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個關于同余的問題．現有這樣一個問題：將正整數中能被3除余1且被2除余1的數按由小到大的順序排成一列，構成數列，則（

）A．55 B．49 C．43 D．37【答案】A【分析】由條件寫出通項公式，即可求解.【詳解】正整數中既能被3除余1且被2除余1的數，即被6除余1，那么，有.故選：A5．設拋物線的焦點為F，準線為l，P是拋物線上位于第一象限內的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根據幾何圖形，結合拋物線的定義的性質，即可判斷.【詳解】依題意，，，，又，，則為等邊三角形，有，故選：B6．我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題，在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積）（

）A．寸 B．2寸 C．寸 D．3寸【答案】C【分析】由題意求得盆中水的上地面半徑，代入圓臺體積公式求得水的體積，除以盆口面積得答案．【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為18寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．積水深9寸，水面半徑為寸，則盆中水的體積為（立方寸）．平地降雨量等于（寸．故選：C．7．已知定義域為的函數的導函數為，且，若，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定不等式構造函數，借助導數確定函數的單調性，再解不等式作答.【詳解】令，，因為，則，因此函數在上單調遞減，則，解得，所以的解集為.故選：C8．意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，8，13，…該數列的特點是：前兩個數都是1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列稱為“斐波那契數列”，若是“斐波那契數列”，則的值為（

）.A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】由已知數列的特點依次求出，，，的值，發現這些數依次為，進而可求出答案【詳解】由題設可知，斐波那契數列為：其特點為：前兩個數為1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，由此可知：，，，，，則.故選：B.二、多選題9．袋中裝有除顏色外完全相同的3個紅球和6個白球，從袋中一次抓出2個球，記事件A=“兩球同色”，事件B=“兩球異色”，事件C=“至少有一紅球”，則（

）A．事件A與事件B是對立事件 B．事件A與事件B是相互獨立事件C． D．【答案】ACD【分析】由對立事件的定義可判斷A選項；利用獨立事件的定義可判斷B選項；由古典概型的概率公式求解判斷C選項；利用組合計數原理結合古典概型的概率公式可判斷D選項．【詳解】對于A選項，由對立事件的定義可知，事件A、B互為對立事件，A對；對于B選項，，，，顯然，故B不正確；對于C選項，，，所以，故C正確；對于D選項，，故D正確，故選：ACD．10．函數f(x)＝b（x-a）2（x-b）的圖象可以是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首先根據解析式確定零點類型，再結合圖象，判斷選項.【詳解】由函數解析式可知，是不變號零點，是變號零點，A.由圖可知，變號零點是0，則，則，不成立，故A錯誤；B.由圖可知，變號零點小于0，不變號零點為0，則，此時，當，，當，，當時，，滿足圖象，故B正確；C.由圖可知，，，當時，，當時，，當時，，滿足圖象，故C正確；D.由圖可知，，，當時，，與圖象不符，所以D錯誤.故選：BC11．在平行六面體中，已知，則下列說法錯誤的是（

）A．為中點，為中點，則與為異面直線B．線段的長度為C．為中點，則平面D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【分析】利用棱臺的定義判斷A，利用空間向量的數量積運算律求解B,利用線面平行的判定定理判斷C，利用線面角的定義判斷D.【詳解】對于A，如圖，連接，為中點，為中點，由圖可知，且設則重合，即與相交，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以所以,故B錯誤；因為為中點，連接交于點，再連接，則在中，，平面，平面,所以平面，C正確；對于D:在平行六面體中，四邊形是菱形，則,又,所以，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，過點作于點，平面平面，平面所以平面，所以直線與平面所成角為，，所以,所以，所以，故D錯誤；故選:ABD.12．已知直線l：y=kx+m與橢圓交于A，B兩點，點F為橢圓C的下焦點，則下列結論正確的是（

）A．當時，，使得B．當時，，C．當時，，使得D．當時，，【答案】BCD【分析】對于A，將直線的方程與橢圓方程聯立，求出的取值范圍，可求得的取值范圍，可判斷A選項；求出線段中點的軌跡方程，可求得的取值范圍，可判斷B選項；將直線的方程與橢圓方程聯立，利用弦長公式結合可求得的取值范圍，可判斷C選項；求出線段中點的軌跡方程，可求得的最小值，可判斷D選項.【詳解】在橢圓中，，，，由題意可得，上焦點記為，對于A選項，設點、，聯立可得，，由韋達定理可得，，，所以，，故A錯誤；對于B選項，設線段的中點為，由題意可得，兩式作差可得，因為直線的斜率存在，則，所以，，整理可得，又因為，消去可得，其中，所以，，所以，，故B正確；對于C選項，當時，直線的方程為，即，聯立可得，，解得，由韋達定理可得，，，同理，所以，，因為，所以，當時，，使得，故C正確；對于D選項，設線段的中點為，由B選項可知，，即，即，由可得，故點的橫坐標的取值范圍是，而點到直線的距離為，由可得，當且僅當點時，取最小值，故D正確.故選：BCD【點睛】方法點睛:圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略:(1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍;(2）利用已知參數的范圍，求新的參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系;(3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍;(4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍;(5）利用求函數值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍.三、填空題13．已知直線與曲線相切，則m的值為______．【答案】1【分析】求出函數的導數，設切點為，利用導數的幾何意義求出切點坐標，代入切線方程，即可求得答案.【詳解】由題意，可得，直線與曲線相切，設切點為，則，則，即切點為，將該點坐標代入，可得，故答案為：114．某校高二學生一次數學診斷考試成績（單位：分）服從正態分布，從中抽取一個同學的數學成績，記該同學的成績為事件，記該同學的成績為事件，則在事件發生的條件下事件發生的概率______．（結果用分數表示）附參考數據：；；．【答案】【分析】計算出和，然后利用條件概率公式可得出的值.【詳解】由題意可知，，事件為，，，所以，，，由條件概率公式得，故答案為.【點睛】本題考查條件概率的計算，同時也考查了正態分布原則計算概率，解題時要將相應的事件轉化為正態分布事件，充分利用正態密度曲線的對稱性計算，考查計算能力，屬于中等題.15．函數的最小值為______．【答案】0【分析】求出函數定義域，對分段去絕對值，當時，分析函數的單調性；當時，利用導數分析函數的單調性并求最小值，即可得到的最小值．【詳解】解：函數的定義域為．當時，，此時函數在上為減函數，當時，，則，所以在上單調遞增，在上是連續函數，當時，單調遞減，當時，單調遞增．當時取得最小值為．故答案為：0．16．已知函數，數列滿足，給出下列兩個條件：①函數是遞減函數；②數列是遞減數列.試寫出一個滿足條件②但不滿足條件①的函數的解析式：__________.【答案】（答案不唯一，均可）【分析】若函數是遞減函數，則恒成立，由此可得不是遞減函數的條件為，后結合任意，函數，，可得滿足題意的的范圍.【詳解】若函數是遞減函數，則在恒成立.則.則若在上不是遞減函數，可得；數列是遞減數列，等價于對任意，函數，，又，，則在上單調遞減.則可使滿足：，則取即可滿足②，不滿足①.故答案為：（答案不唯一，均可）四、解答題17．已知函數，.(1)若為的極小值點，求的值；(2)若的圖象在點處的切線方程為，求在區間上的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，根據導數判斷極值情況，進而確定參數值；（2）求導，根據導數的幾何意義可得切線方程，進而確定參數值及最值情況.【詳解】（1），則，為的極小值點，，解得或，當時，，令，解得，單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增此時是的極小值點；當時，，令，解得或，單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增此時是的極大值點，不成立；所以；（2）在上，，在上，，又，，解得，，，，令，解得或，單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增，，，，所以函數在區間上的最大值為．18．已知數列，滿足：，，.(1)求證：數列是等比數列；(2)若___________（從下列三個條件中任選一個），求數列的前項和.①；②；③.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因為，所以，所以，又因為，所以數列是首項為1公比為的等比數列；（2）由（1）知，又因為，所以數列為常數列.若選條件①或③，均可得，所以，所以.若選②，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以.19．已知四棱錐中，平面，，，，，．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)線段上是否存在一點M，使得平面？若存在，請指出點M的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在點M，理由見解析【分析】（1）求出相關線段的長，建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，求得平面的一個法向量，根據空間角的向量求法，即可求得答案；（2）假設存在滿足條件的點M，表示出其坐標，利用向量的垂直列出方程，根據方程解的情況可得出結論.【詳解】（1）因為，BC⊥AB，所以AD⊥AB．又因為，，所以．因為平面，平面，平面，所以．又，所以．以A為坐標原點，以所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．所以，，．設平面的法向量為，則，即，得，令，可得平面的一個法向量為．設直線與平面所成的角為，，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．另解：如圖，連接AC．因為，BC⊥AB，所以AD⊥AB．因為，，所以．因為BC⊥AB，所以．因為平面，平面，平面，平面，所以．因為，所以，．所以，．設點C到平面的距離為h，由，得，即，解得．設直線與平面所成的角為，，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．（2）不存在點M，理由如下：假設存在滿足條件的點M（如圖）．可設，，所以，所以．又由（1）知為平面的一個法向量，所以，即，無解．所以線段PB上不存在滿足條件的點M．另解：不存在點M，理由如下：假設存在滿足條件的點M，由平面，平面，平面，得，且，因為平面，平面，所以．因為，且，平面，平面，所以平面．又平面，所以．若存在滿足條件的點M，則點M必與點B重合．又與不垂直，所以線段上不存在滿足條件的點M．20．區塊鏈技術被認為是繼蒸汽機、電力、互聯網之后，下一代顛覆性的核心技術．區塊鏈作為構造信任的機器，將可能徹底改變整個人類社會價值傳遞的方式，2018年至2022年五年期間，中國的區塊鏈企業數量逐年增長，居世界前列．現收集我國近5年區塊鏈企業總數量相關數據，如表：年份20182019202020212022編號x12345企業總數量y（單位：千個）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根據表中數據判斷，與（其中e＝2.71828…為自然對數的底數），哪一個回歸方程類型適宜預測未來幾年我國區塊鏈企業總數量？（給出結果即可，不必說明理由）(2)根據（1）的結果，求關于的回歸方程；（結果精確到小數點后第三位）附：線性回歸方程中，，參考數據：，，，(3)為了促進公司間的合作與發展，區塊鏈聯合總部決定進行一次信息化技術比賽，邀請甲、乙、丙三家區塊鏈公司參賽，比賽規則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，請通過計算說明，哪兩個公司進行首場比賽時，甲公司獲得“優勝公司”的概率最大？【答案】(1)適宜(2)(3)甲公司獲得“優勝公司”的概率最大【分析】（1）根據增加速度逐漸變快即可得解；（2）對兩邊取自然對數，得，轉化為線性相關，再利用最小二乘法求出線性回歸方程，再轉化為關于的回歸方程即可；（3）對于首場比賽的選擇分A：甲與乙先賽；B：甲與丙先賽；C：丙與乙先賽，三種情況討論，分別求出對應概率，即可得出結論.【詳解】（1）根據表中數據可知增加的速度逐漸變快，所以回歸方程適宜預測未來幾年我國區塊鏈企業總數量；（2）對兩邊取自然對數，得，令，得,由于，，，則，，∴關于的回歸直線方程為，則關于的回歸方程為；（3）對于首場比賽的選擇有以下三種情況：A：甲與乙先賽；B：甲與丙先賽；C：丙與乙先賽，由于在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，則甲公司獲勝的概率分別是，，，由于，∴甲與丙兩公司進行首場比賽時，甲公司獲得“優勝公司”的概率最大．21．過點的動直線與雙曲線交于兩點，當與軸平行時，，當與軸平行時，．(1)求雙曲線的標準方程；(2)點是直線上一定點，設直線的斜率分別為，若為定值，求點的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據與坐標軸平行的情況可得雙曲線上的點的坐標，代入雙曲線方程即可求得結果；（2）方法一：由三點共線可整理得到，代入雙曲線方程可整理得到，結合兩點連線斜率公式可化簡得到，根據為常數可構造方程求得，進而得到點坐標，驗證可知符合題意；方法二：設，與雙曲線方程聯立可得一元二次方程，根據該方程的根可化簡得到，同理可得，由此可化簡得到，由為常數可構造方程求得點坐標，驗證可知當直線斜率為和斜率不存在時依然滿足題意，由此可得結論.【詳解】（1）由題意可知：雙曲線過點，，將其代入方程可得：，解得：，雙曲線的標準方程為：.（2）方法一：設，點與三點共線，，（其中，），，，又，整理可得：，當時，，，不合題意；當時，由得：，設，則，，若為定值，則根據約分可得：且，解得：；當時，，此時；當時，為定值.方法二：設，直線，由得：，為方程的兩根，，則，由得：，由可得：，同理可得：，則，若為定值，則必有，解得：或或，又點在直線上，點坐標為；當直線斜率為時，坐標為，若，此時；當直