1.2.2組合第一課時組合的概念及組合數公式第一章計數原理學習導航學習目標重點難點

重點:利用組合數公式求值.難點:組合的含義的理解.新知初探?思維啟動1.組合(1)一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素__________,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.(2)如果兩個組合中的元素__________,那么不管元素的順序如何,都是相同組合,只有當兩個組合中的元素__________時,才是不同的組合.合成一組完全相同不完全相同做一做1.有下列實際問題:①三人互相握手的次數;②三人抬水,每兩人抬一次的不同抬法;③三點不共線,可確定直線的條數.其中屬于組合問題的有(

)A.①②

B.①③C.②③

D.①②③答案:D所有不同組合1做一做答案:21

190題型一組合的概念

判斷下列問題是組合問題還是排列問題:(1)設集合A＝{a,b,c,d,e},則集合A的子集中含有3個元素的有多少個?例1(2)某鐵路線上有5個車站,則這條線上共需準備多少種車票?多少種票價?(3)3人去干5種不同的工作,每人干一種,有多少種分工方法?(4)把3本相同的書分給5個學生,每人最多得1本,有幾種分配方法?【解】

(1)因為本問題與元素順序無關,故是組合問題.(2)因為甲站到乙站,與乙站到甲站車票是不同的,故是排列問題,但票價與順序無關,甲站到乙站,與乙站到甲站是同一種票價,故是組合問題.(3)因為一種分工方法是從5種不同的工作中取出3種,按一定次序分給3個人去干,故是排列問題.(4)因為3本書是相同的,無論把3本書分給哪三人,都不需考慮他們的順序,故是組合問題.【名師點評】

區分排列與組合問題,關鍵是利用排列與組合的定義,組合是“只選不排、并成一組,與順序無關”.只要兩個組合中的元素完全相同,則不論元素的順序如何,都是相同的組合.只有當兩個組合中的元素不完全相同時,才是不同的組合.變式訓練1.判斷下列問題是排列問題,還是組合問題.(1)從1,2,3,…,9這九個數字中任取3個,組成一個三位數,這樣的三位數共有多少個?(2)從1,2,3,…,9這九個數字中任取3個,然后把這三個數字相加得到一個和,這樣的和共有多少個?(3)從a,b,c,d這四名學生中選2名學生,去完成同一件工作有多少種不同的選法?(4)5個人規定相互通話一次,共通了多少次電話?(5)5個人相互各寫一封信,共寫了多少封信?解:(1)當取出3個數字后,如果改變三個數字的順序,會得到不同的三位數,此問題不但與取出元素有關,而且與元素的安排順序有關,是排列問題.(2)取出3個數字之后,無論怎樣改變這三個數字之間的順序,其和均不變,此問題只與取出元素有關,而與元素的安排順序無關,是組合問題.(3)2名學生完成的是同一件工作,沒有順序,是組合問題.(4)甲與乙通一次電話,也就是乙與甲通一次電話,無順序區別,為組合問題.(5)發信人與收信人是有區別的,是排列問題.例2【名師點評】

有關組合數的計算問題,一般先用組合數的兩個性質化簡,再用組合數公式的乘積形式計算,但當組合數中含有字母時,要確定字母的范圍,這往往是解題的關鍵.變式訓練題型三簡單的組合應用題

一個口袋內裝有大小相同編號不同的7個白球和1個黑球.(1)從口袋內取出3個球,共有多少種取法?(2)從口袋內取出3個球,使其中含有1個黑球,有多少種取法?(3)從口袋內取出3個球,使其中不含黑球,有多少種取法?例3【思路點撥】

先判斷是不是組合問題,再用組合數公式寫出結果,最后求值.【名師點評】

解簡單的組合應用題,要首先判斷它是不是組合問題,即取出的元素是“合成一組”還是“排成一列”,其次要看這件事是分類完成還是分步完成.變式訓練3.盒子中放有編號為1,2,3,4,5的形狀和大小完全相同的5個白球和5個黑球,從中任意取出3個,則取出球的編號互不相同的方法種數為________.答案:80備選例題方法技巧1.組合與排列的異同:組合與排列的相同點是“從n個元素中任意取出m個元素”,不同點:組合“不管元素的順序合成一組”,而排列要求