(時間120分鐘，總分值150分)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，總分值60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的)1．觀看一列算式：1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，…，那么式子3?5是第()A．22項 B．23項C．24項 D．25項解析：兩數(shù)和為2的有1個，和為3的有2個，和為4的有3個，和為5的有4個，和為6的有5個，和為7的有6個，前面共有21個，3?5為和為8的第3項，所以為第24項．答案：C2．用反證法證明命題“eq\r(2)＋eq\r(3)是無理數(shù)〞時，假設(shè)正確的選項是()A．假設(shè)eq\r(2)是有理數(shù) B．假設(shè)eq\r(3)是有理數(shù)C．假設(shè)eq\r(2)或eq\r(3)是有理數(shù) D．假設(shè)eq\r(2)＋eq\r(3)是有理數(shù)解析：應對結(jié)論進行否認，那么eq\r(2)＋eq\r(3)不是無理數(shù)，即eq\r(2)＋eq\r(3)是有理數(shù)．答案：D3．△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求證：a<b.證明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，畫線局部是演繹推理的()A．大前提 B．小前提C．結(jié)論 D．三段論解析：由題意知，該推理中的大前提為：三角形中大角對大邊；小前提為：∠A<∠B；結(jié)論為a<b，應選B.答案：B4．設(shè)a>0，b>0，那么以下不等式中不恒成立的是()A．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4 B．a(chǎn)3＋b3≥2ab2C．a(chǎn)2＋b2＋2≥2a＋2bD.eq\r(|a－b|)≥eq\r(a)－eq\r(b)解析：∵a>0，b>0，對于A，(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥2eq\r(ab)·2eq\r(\f(1,ab))＝4，故A恒成立；對于B，a3＋b3≥2ab2，取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，那么B不成立；對于C，a2＋b2＋2－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故C恒成立；對于D，假設(shè)a<b，那么eq\r(|a－b|)≥eq\r(a)－eq\r(b)恒成立，假設(shè)a≥b，那么eq\r(|a－b|)≥eq\r(a)－eq\r(b)?a－b≥a＋b－2eq\r(ab)?2b－2eq\r(ab)≤0?b≤eq\r(ab)，由于a≥b>0，明顯b≤eq\r(ab)成立．答案：B5．觀看以下各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，那么a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199解析：記an＋bn＝f(n)，那么f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過觀看不難發(fā)覺f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，那么f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案：C6．觀看以下各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，那么72015的末兩位數(shù)字為()A．01 B．43C．07 D．49解析：∵75＝16807,76＝117649,77＝823543，78＝5764801，…∴7n(n∈Z，且n≥5)的末兩位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為4，記7n(n∈Z，且n≥5)的末兩位數(shù)為f(n)，那么f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)，∴72015與73的末兩位數(shù)相同，均為43.答案：B7．將平面對量的數(shù)量積運算與實數(shù)的乘法運算相類比，易得以下結(jié)論：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通過類比得到的結(jié)論正確的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：平面對量的數(shù)量積的運算滿意交換律和安排律，不滿意結(jié)合律，故①③正確，②錯誤；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，從而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④錯誤．答案：B8．a(chǎn)>0，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推廣為x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，那么a的值為()A．n2 B．nnC．2n D．22n－2解析：由x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)＝x＋eq\f(22,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)＝x＋eq\f(33,x3)≥4，…，可推廣為x＋eq\f(nn,xn)≥n＋1，故a＝nn.答案：B9．來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，剛好碰在一起．他們除懂本國語言外，每人還會說其他三國語言中的一種．有一種語言是三個人會說的，但沒有一種語言四人都懂，現(xiàn)知道：①甲是人，丁不會說日語，但他倆能自由交談；②四人中沒有一個人既能用日語交談，又能用法語交談；③乙、丙、丁交談時，不能只用一種語言；④乙不會說英語，當甲與丙交談時，他能做翻譯．針對他們懂的語言，正確的推理是()A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析題目和選項，由①知，丁不會說日語，排解B選項；由②知，沒有人既會日語又會法語，排解D選項；由③知乙、丙、丁不會同一種語言，排解C選項，應選A.答案：A10．如圖，圓周上按順時針方向標有1,2,3,4,5五個點．一只青蛙按順時針方向繞圓從一個點跳到另一點．假設(shè)它停在奇數(shù)點上，那么下一次只能跳一個點；假設(shè)停在偶數(shù)點上，那么跳兩個點．該青蛙從5這點跳起，經(jīng)2018次跳后它將停在的點是()A．1 B．2C．3 D．4解析：青蛙第一次跳后停留在1點，其次次跳后停在2點，第三次跳后停在4點，第四次跳后又停在1點，以此類推，循環(huán)下去．∵2018＝3×672＋2，∴2018次跳后將停在2點．答案：B11．設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，那么△ABC的內(nèi)切圓半徑為r＝eq\f(2S,a＋b＋c).將此結(jié)論類比到空間四周體：設(shè)四周體S-ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，體積為V，那么四周體的內(nèi)切球半徑為r＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4)B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)解析：設(shè)四周體的內(nèi)切球的球心為O，那么球心O到四個面的距離都是r，所以四周體的體積等于以O(shè)為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．那么四周體的體積為V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，∴r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).答案：C12．下面的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茨調(diào)和三角形〞，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的．eq\f(1,1)eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,20)eq\f(1,5)……第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為eq\f(1,n)(n≥2)，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如eq\f(1,1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)，…，那么第10行第4個數(shù)(從左往右數(shù))為()A.eq\f(1,360) B.eq\f(1,504)C.eq\f(1,840) D.eq\f(1,1260)解析：依題意，結(jié)合所給的數(shù)陣，歸納規(guī)律可知第8行的第一個數(shù)、其次個數(shù)分別等于eq\f(1,8)，eq\f(1,7)－eq\f(1,8)，第9行的第一個數(shù)、其次個數(shù)、第三個數(shù)分別等于eq\f(1,9)，eq\f(1,8)－eq\f(1,9)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－\f(1,8)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)－\f(1,9)))，第10行的第一個數(shù)、其次個數(shù)、第三個數(shù)、第四個數(shù)分別等于eq\f(1,10)，eq\f(1,9)－eq\f(1,10)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)－\f(1,9)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)－\f(1,10)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－\f(1,8)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)－\f(1,9)))))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)－\f(1,9)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)－\f(1,10)))))＝eq\f(1,840).答案：C二、填空題(本大題共4小題，每題5分，總分值20分．把答案填寫在題中的橫線上)13．在△ABC中，D為BC的中點，那么eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，將命題類比到三棱錐中去得到一個類比的命題為________________．答案：在三棱錐A-BCD中，G為△BCD的重心，那么eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))14．用火柴棒擺“金魚〞，如下圖：依據(jù)上面的規(guī)律，第n個“金魚〞圖需要火柴棒________根．解析：由圖形的變化規(guī)律可以看出，后一個圖形比前一個圖形多6根火柴棒，第一個圖形為8根，可以寫成a1＝8＝6＋2.又a2＝14＝6×2＋2，a3＝20＝6×3＋2，…所以可以猜想，第n個“金魚〞圖需要火柴棒的根數(shù)為6n＋2.答案：6n＋215．觀看以下式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推想出一個一般性結(jié)論：對于n∈N＋，1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴歸納可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.答案：n216．如圖，圓環(huán)可以看作線段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×eq\f(R＋r,2).所以圓環(huán)的面積等于以線段AB＝R－r為寬，以AB中點繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×eq\f(R＋r,2)為長的矩形面積．請你將上述想法拓展到空間，并解決以下問題：在平面直角坐標系xOy中，假設(shè)將平面區(qū)域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0<r<d)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是________．解析：平面區(qū)域M的面積為πr2，由類比學問可知：平面區(qū)域M繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于以半徑為r的圓為底面，以圓心為O、半徑為d的圓的周長2πd為高的圓柱的體積，所以旋轉(zhuǎn)體的體積V＝πr2×2πd＝2π2r2d.答案：2π2r2d三、解答題(本大題共6小題，總分值70分．解容許寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題總分值10分)畫出圖形，可知凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，…，請歸納猜想凸n(n>3，n∈N＋)邊形對角線的條數(shù)f(n)，并證明所得結(jié)論．解：由題意得當n＝4時，f(4)＝2＝eq\f(4×1,2)；當n＝5時，f(5)＝5＝eq\f(5×2,2)；當n＝6時，f(6)＝9＝eq\f(6×3,2)；…，由此猜想f(n)＝eq\f(nn－3,2)，即凸n(n>3，n∈N＋)邊形有eq\f(nn－3,2)條不同的對角線．證明：由于凸n(n>3，n∈N＋)邊形中從每一個頂點動身的對角線有(n－3)條，所以從全部的頂點動身的對角線有n(n－3)．又每條對角線都被數(shù)了兩次，所以凸n(n>3，n∈N＋)邊形的對角線的條數(shù)為eq\f(nn－3,2).18．(本小題總分值12分)△ABC的三條高分別為ha，hb，hc，r為內(nèi)切圓半徑，且ha＋hb＋hc＝9r，求證：該三角形為等邊三角形．證明：設(shè)三角形三邊分別為a，b，c，故只需證a＝b＝c.由于ha＝eq\f(2S,a)，hb＝eq\f(2S,b)，hc＝eq\f(2S,c)，其中S為△ABC的面積，所以ha＋hb＋hc＝2Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c))).又由于S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，ha＋hb＋hc＝9r，所以(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))＝9.所以a2b＋a2c＋b2a＋b2c＋c2a＋c2b－6abc＝0.將上式分解因式，得a(b－c)2＋b(c－a)2＋c(a－b)2＝0.由于a>0，b>0，c>0，所以(b－c)2＝(c－a)2＝(a－b)2＝0.所以a＝b＝c.∴該三角形為等邊三角形．19．(本小題總分值12分)如下圖，設(shè)SA，SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點，求證：AC與平面SOB不垂直．證明：假設(shè)AC⊥平面SOB，由于直線SO在平面SOB內(nèi)．所以SO⊥AC.由于SO⊥底面圓O，所以SO⊥AB.由于AB∩AC＝A，所以SO⊥平面SAB.所以平面SAB∥底面圓O，這明顯與平面SAB與底面圓O相交沖突，所以假設(shè)不成立，即AC與平面SOB不垂直．20．(本小題總分值12分)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N＋)，試利用三段論形式證明：(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.證明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.故eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列．(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提)又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論)21．(本小題總分值12分)數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和且Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)，a1＝1，(1)設(shè)bn＝an＋1－2an(n∈N＋)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)設(shè)cn＝eq\f(an,2n)(n∈N＋)，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列．證明：(1)∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2，兩式相減，得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n∈N＋)．即an＋2＝4an＋1－4an.變形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)．∵bn＝an＋1－2an(n∈N＋)，∴bn＋1＝2bn.∵a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，∴S2＝4a1＋2＝6，即a2＝5.∴b1＝a2－2a1＝5－2＝3.∴bn＝3·2n－1.由此可知，數(shù)列{bn}是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列．(2)∵cn＝eq\f(an,2n)(n∈N＋)，∴cn＋1－cn＝eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(an＋1－2an,2n＋1)＝eq\f(bn,2n＋1)，將bn＝3·2n－1代入，得cn＋1－cn＝eq\f(3,4)(n∈N＋)．又c1＝eq\f(a1,2)＝eq\f(1,2)，由此可知，數(shù)列{cn}是首項