專題：平面向量的概念知識梳理1．向量的定義:既有大小又有方向的量叫做向量。例如：力，速度。2．表示方法：用有向線段來表示向量.有向線段的長度表示向量的大小,用箭頭所指的方向表示向量的—? 方向。用小寫字母a,b…或用AB,BC,??表示。注意：我們用有向線段表示向量，而不能認為向量就是一個有向線段。3?模:向量的長度叫向量的模，記作問或|AB].向量不能比較大小,但向量的模可以比較大小。4．零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向不確定。注意：0和0是不同，0是一個數字,0代表一個向量，不要弄混.5?單位向量：長度為1個長度單位的向量叫做單位向量.a0=-°a注意：單位向量不是只有一個，有無數多個,如果把它們的起始點重合，終止點剛好可以構成一個單位圓。6．共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規定零向量與任何向量共線。注意:由于向量可以進行任意的平移，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量平行向量和共線向量是一個意思，對于兩個非零向量a,b，若存在非零常數九使a=九b是a〃b的充要條件.7．相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等的向量。練習:★判斷下列命題的真假1、平行向量的方向一定相同的。 (X)解：有可能方向相反.TOC\o"1-5"\h\z2、與零向量相等的向量必定是零向量. (V)3、零向量與任意的向量方向都相同。 (V4、向量就是一條有向的線段。 (X ?—?—?—? ?―?\o"CurrentDocument"5、若m=n,n=k，則m=ko (V)—? —?6、 若a=b,，則a—b=°. (X解：注意區分°和零向量。

典例精講例1(★)下列說法正確的是(D)A、 數量可以比較大小，向量也可以比較大小.B、 方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C、 向量的大小與方向有關.D、 向量的模可以比較大小。解析：任何都向量不能比較大小，模可以比較大小例2(★★)給出下列六個命題：兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同;若Ia1=1bI，則a=b；③若AB③若AB=DC，則四邊形ABCD是平行四邊形;平行四邊形ABCD中,一定有AB=DC； ?—?—?—? ?—?若m=n，n=k，則m=k；⑥若a〃b,c〃b，則a〃c.正確的是 ④⑤ 解析：①把一個向量平移后向量是不變的，③A,B,C,D有可能在一條直線上，⑥b可能是零向量例3。 (★★)在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是(C)A.AB=DCb.AD+AB=AcD—CC.AB-AD=BD ? ?—?D.AD+CB=0/AB課堂檢測1(★)下列說法中錯誤的是(A(A)零向量沒有方向 (B)零向量與任何向量平行(C)零向量的長度為零 (D)零向量的方向是任意的B)2(★★)已知O在AABC所在平面內，且OA=OB=OC,且則點O是AABC的B)A。重心B。外心 C.垂心 D。內心解：向量經常會放在三角形中考慮,重心：中線交點,外心：垂直平分線交點,垂心:高(垂線)的交點,內心：角平分線的交點。3(★★★)判斷下列各命題的真假:向量AB的長度與向量BA的長度相等；向量a與向量b平行，則a與b的方向一定相同或相反；兩個有共同起點的而且相等的向量，其終點必相同；兩個有共同終點的向量，一定是共線向量；向量AB和向量CD是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上；有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中假命題的個數為(C)A、2個 B、3個 C、4個 D、5個解：假命題是(2)(4)(5)(6)；(2)向量a與向量b有一個為零向量，專題:平面向量的數量積知識梳理1、向量的夾角:己知兩個非零向量a,b，如果以o為起點作OA=a,OB=b，那么射線OA,OB的夾角6叫做向量a與b的夾角.6的取值范圍是0<6<k當6=0時，表示向量a與b方向相同；當6=兀時，表示向量a與b方向相反；當6=y時，表示向量a與b相互垂直。【注意：一定牢記夾角的取值范圍，特別是0和兀的實際意義。】2、向量的數量積已知兩個非零向量a與b的夾角為6(0<6<兀)，則把abcos0叫做a與b的數量積，記作a?b?即—>—?—?—?a?b=1aIIbIcos0兩個向量的數量積是一個實數；a?a=a2>0，當且僅當a?a=0時,a=0f f f f f已知兩個非零向量a與b的夾角為6，則bcos0叫做向量b在a方向上的投影.—?—?顯然b在a方向上的投影等于.IaI

—>—? —?—? —? —? ——>—? —?—? —? —? —? —?(4)a-b的幾何意義： a-b等于其中一個向量a的模a與另一個向量b在向量a的方向上的投影—?bcose的乘積.【數量積a-b中的運算符號“?”不能寫作“x”，也不能省略.a在b方向上的投影是數值(其正負由夾角的大小而定)，而不是長度，也不是向量；】3、向量數量積的運算律①交換律成立：a-b=b-a對實數的結合律成立:分配律成立：'土b^.c=a.c±b.c=c特別注意：(1)結合律不成立:a?(cU?b)C；—■i —fc- ―—fc3 —b ―hi(2)消去律不成立a-b =a- c不能得到b =c -(3)a-b=0不能得到a=0或b=0④但是乘法公式成立：(+bX-bla2-b2==a土2a-b+b2；等等。⑤兩個向量垂直的充要條件是：a-b=0a土b"=a2土2a-b+b24、向量數量積的坐標表示設a二(x,y),b二(x,y)，則a?b二xx+yy，即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積之和.11221212a與b夾角為e，則cose=xx+yy—1―21—2x2+y2x2+y1122a與b的夾角為銳角等價于xix2+yiy2>0且%1y2豐%2yia與b的夾角為鈍角等價于xix2+yi<0且%1y2豐%2yi引進向量的坐標表示和運算，揭示了向量的方向的本質屬性。】典例精講TOC\o"1-5"\h\z3 -例1. (★★)(1)已知向量a與b的夾角為0，且sin0=5」a1=5，則a在b的方向上的投影是 ；(2)在Rt^ABC中，ZACB=90°，IAC1=3，求AC?AB的值.- - 3 一解：(1)°?°a與b的夾角為0，且sin0=5，又0—0—兀」a|=5,cos0=±x/l-sin20=±4，5所以向量a在向量b方向上的投影是IaIcos0=5-(±4)=±4。(2)???ZACB=90°, AC丄CB，又AB=AC+CB,IACI=3，AC?AB=AC?(AC+CB)=Ac?Ac+Ac?CB(AC?CB=0)=9【(1)a在b方向上的投影是數值(其正負由夾角的大小而定)，而不是長度,也不是向量;(2)找準向量的夾角,用好數量積公式是解決有關向量數量積問題的兩個要點.】-? ―? -?-? —?—? —?—?例2. (★★★)已知IaI=2,IbI=3,a與b的夾角為丁，當向量a+b與九a+b夾角為銳角時，求實數4九的取值范圍。解：a+b與九a+b夾角為銳角，??? (a+b)?(九a+b)>0即九a2+(1+九)a?b+b2>0?.?a?b=邁x3xcos-=3?5九+12>0,得九>—E4 5易知當九二1時，a+b與九a+b夾角為0°12.?.九豐1從而得九w（—~5，1）U（1,+QJ【當兩個向量的數量積大于0時,它們的夾角取值范圍是［0°,90°)】鞏固練習兀1. (★★★)已知IaI=弋3,IbI=3，a與b的夾角為7,試求a+2b與a—b的夾角的余弦值.解：a解：a+2b與a-b的夾角的余弦值2頃-31冗2. (★★★★)已知Ia1=21b1=3,a與b的夾角為丁，當向量a+九b與九a+b夾角為銳角時，求實4數九的取值范圍。解：九＜解：九＜-11-、-856-11+.85【a?b＞0是兩向量夾角為銳角的必要不充分條件】例3. (★★★★)已知AABC,AB=(k-1,2),AC=(-1,2).⑴若k=4,求SAABC(2)若三角形為直角三角形，求SAABC , ?? AB?aC 1 8解：（1）AB=（3,2），設AB與AC為9,cos0=IABIIACI=帚’則sin°=昴???Sabc=21AB11ACIsin6=4（2）若ZA=90。，AB?AC=0得k=5/.S =5aabc若ZB=90。,AB?CB=0得k=1或°（舍）???S%c=1若ZC=90。,AC?CB=0,得k=0（舍）向量在垂直關系中的應用】鞏固練習(★★★)在直角三角形aABC，AB=(2,3),AC=(1,k)，求實數k的取值范圍解：k=-3或牛或宅亙J J 厶例4?(★★★)已知向量a=(cosa,sina),b=(cos卩,sin卩)，且a,(k為正實數)。(1)求證:(a+b)丄(a-b)；(2)求將a?b表示為k的函數f(k).(3)求函數f(k)的最小值及取最小值時a,b的夾角e.—?—————>■ —>解(1)證明：(a+b)?(a—b)=a—b=IaI2—IbI2=06

(2)tIka+b1=J3Ia一kbI(ka+b)2=3(a-kb)nk2a2+2ka-b+b2=3a2-6ka-b+3k2b2又a2=cos2a+sin2a=1,b2=cos2卩+sin2卩=1故k2+2ka-b+1=3-6ka-b+3k2得a-b=罟，瞬(k)=罟(k>0)(3)???k>0,f(k)=當且僅當k當且僅當k=1即k=1時,k故f(X)的最小值是2,崩=2.又)。爪18。"氣.向量具有獨立的一整套運算體系,它可以上下貫通，左右協調，前后銜接，具有很強的工具性。】12例5。(★★★)已知三角形△ABC的面積為30,內角A,B,C所對邊長分別為a,b,c，cosA=右(1)求AB-AC；(2)若c-b=1,求a的值.解：由cosA=1|，得sinA=\：1-(1|)2=5bcsinA=30ABC2..bc=156(1)AB?AC=1ABIIACIcosA=bccosA=156x12=144丿 13(2)由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2x156x(1-*=25，又a>0a=5【三角形的三邊可與三個向量對應，這樣就可以利用向量的知識來解三角形了，解決此類問題要注意內角與向量的夾角之間的聯系與區別，還要注意向量的數量積與三角形面積公式之間關系的應用．】

鞏固練習(★★★)已知△ABC的面積S滿足錯誤!SSS3,且錯誤!?錯誤!=6，設錯誤!與錯誤!的夾角為氐(1)求e的取值范圍；⑵求函數f(e)=sin2&+2sinO?cose+3cos2&的最小值.解：(1)???錯誤!?錯誤!=6,???1錯誤!1?1錯誤！丨?cose=6oA|錯誤兒丨錯誤!=錯誤！又TSm錯誤！1錯誤！I錯誤！I?sin(n—e)=3tane,?錯誤!<3tane<3，即錯誤!<tane<1。又ve^(0,n),??錯誤!<e<錯誤！.(2)f(e)=1＋2cos2e＋sin2e=cos2e＋sin2e＋2=錯誤!sin錯誤!+2,由ee錯誤！，得2ee錯誤！，???2e+錯誤！丘錯誤！n???當2e+4=錯誤!n即e=錯誤!時，f(e)min=3.則錯誤!<e<錯誤！ f(e)min=3.例6.(★★★★)已知向量OA—(1,3),OB—(2,1),OB=-[OB(neN*)。0 n 2 n-1、n-1n⑴判斷吧B1、n-1n(2)求數列｛IBBl｝(neN)的通項公式;n-1n(3)若AABB的面積為Sn-1n AABB > > > > >解：(1)BA=OA-OB=(-1,2) OB-BA=-1x2+2x1=00000所以OB丄BA,AABB為直角三角形。0001(2)IOBI=]丨O廠I(neN*)，所以｛IOBI｝成等比數列，公比為1TOC\o"1-5"\h\zn2 n-1 n 2IOBI=IOBI(bn=叔1)n，n022II=IOB-OBI=IOB+2OBI=3IOBI=3和5(丄)nn-1n n n-1 n n n 2n-1n(3)a=S――IBBIxIBA—xn AABB2 n-1n 0 2即｛IBBn-1n(3)a=S――IBBIxIBA—xn AABB2 n-1n 0 2nX頁—15(bn+1n-n-1na1 1 15n+1= ,｛a｝成等比數列，公比q=，首項a=-a2n 2 1 4n

1515——1—1-q課堂檢測(★★★★)已知向量a主e丨e1_1，對任意teR，恒有Ia-te1>1a—eI，貝J( )A。a丄e B。e丄(a一e) C.a丄(a一e) D.(a+e)丄(a-e)解：B(★★★★) 設O(0,0)A(1,0),B(0,1)，點P是線段AB上的一個動點，AP=XAB,若 ? ? ? ?OP-AB>PA-PB，則實數九的取值范圍。解:1一<X<1ff ——?—?——?3