含有耦合電感的電路1第一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁10.1互感一、

互感當線圈1中通入電流i1時，在線圈1中產生磁通(magnetic

flux)11

，產生的自感磁通鏈為11，同時，有部分磁通穿過臨近線圈2，產生互感磁通鏈為21，我們把這種一個線圈的磁通交鏈另一線圈的現象稱為磁耦合。i1稱為施感電流,11=N111,21=N221

+–

u11

+–

u21

N1

N2

11

21i1

11’2’2提示1：雙下標含義？提示2：對于實物，注意線圈繞向；2第二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁當線圈2中同時通入電流i2時，在線圈2中產生磁通22

，產生的自感磁通鏈為22，同時，有部分磁通穿過臨近線圈1，產生互感磁通鏈為12。+–

u11

+–

u21

N1

N2

1=11±122=±

21+2212

22i2

i1

11’2’2那么，每個耦合線圈中的磁通鏈等于自感磁通鏈和互感磁通鏈的代數和。即：思考：上式什么時候取加？什么時候減？相應地，i2稱為施感電流,由它產生的磁通鏈：12=N112,22=N222

3第三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁當線圈周圍各向同性的線性磁介質時，11、21與i1成正比，12、22與i2成正比。可以分別用下式表示：11=L1i1，

21=M21i1，

22=L2i2，

12=M12i2M21=

M12=MM恒大于或等于零1=L1i1

±

M

i2

2=±

M

i1+

L2i2。為自感系數，單位亨稱，H)(

11111LiLy=，

2222iLy=2L）。的互感系數，單位亨（對線圈為線圈稱，H21

2112121MiMy=）。的互感系數，單位亨（對線圈為線圈稱，H12

1221212MiMy=4第四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五下一頁章目錄返回上一頁二、互感線圈的同名端

1=L1i1

-M

i2

2=-

M

i1+

L2i2互感的作用有兩種可能性。若互感磁鏈與自感磁鏈方向一致，稱為互感的增助作用，此時，M前符號為正；若互感磁鏈與自感磁鏈方向相反，稱為互感的削弱作用，此時，M前符號為負。

21+–

u11

+–

u21

i1

11

N1

N2

i2

i2

為便于反映互感的增助或削弱作用，簡化圖形表示，采用同名端標記方法。對兩個有耦合的線圈各取一對端子(產生的磁通方向相同)，用相同的符號如“”或“*”加以標記，則稱這一對端子為同名端。同名端反映兩個線圈的相對繞向。11’2’2i1

**L1

L2

+_u1

+_u2

i2

M

11’2’21=L1i1

+

M

i2

2=+

M

i1+

L2i2電路理論5第五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁當有兩個以上的電感彼此之間存在耦合時，同名端應一對一對地加以標記。每一對采用不同的符號。如果每一電感都有電流時，則每一電感中的磁通鏈將等于自感磁通鏈與所有互感磁通鏈的代數和。+–

u11

+–

u21

i1

11

0N1

N2

+–

u31

N3

s

**△△總結：同名端應成對標示，反映兩兩線圈的相對繞向。6第六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁例10-1圖示電路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H，M=1H，求兩耦合線圈的磁通鏈。i1

**L1

L2

+_u1

+_u2

i2

M

11=L1

i1

=20Wb

22=L2

i2

=15cos(10t)Wb21=M

i1

=10Wb

12=M

i2

=5cos(10t)Wb1=L1

i1

+

M

i2

=[20+5cos(10t)]Wb

2=M

i1+

L2

i2=[10+15cos(10t)]Wb

提示思考：同名端改變，電流流入端改變時，磁通鏈變化？7第七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

有了同名端后，分析互感電壓時不必考慮線圈實際繞向，只畫出同名端及電壓電流參考方向即可。i1**L1L2+_u1+_u2M+–+–u11u21i11121N1N2′1′212+_u1+_u2**三、互感線圈的伏安特性

當互感線圈通以變動的電流時，根據電磁感應定律，在每個線圈兩端將產生感應電壓。1.僅線圈1上通以變動的電流用同名端判斷互感電壓的參考方向：當電流從一個電感線圈的同名端流入時，在與其耦合的另一線圈中的同名端即為由該電流產生的互感電壓參考方向的正端。用楞次定律分析互感電壓的正端，比較與同名端判斷互感電壓的結果是否一致？dtdΨu=電路理論下一頁章目錄返回上一頁8第八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁根據電磁感應定律，在每個線圈兩端將產生感應電壓（包含自感電壓和互感電壓）。uuuu22211211+=+=uu21+i1**L1L2+_u1_u2i2M+_+_+_+_u11u12u21u22dtdiLdtdiMdtdiMdtdiL221211+=+=線圈繞向，同名端，互感磁通增強/減弱，互感電壓正極性端之間的關系？2.兩個線圈上同時通以變動的電流圖示：線圈L1和L2的電壓和電流分別為u1

i1和u2

i2，為關聯參考方向，互感為M，則：思考總結：9第九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁例10-2圖示電路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H，M=1H，求兩耦合線圈的端電壓u1

和u2

。+i1**L1L2+_u1_u2i2M+_+_+_+_u11u12u21u22注意：上式中哪一項為零？為什么？10第十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁在正弦交流電路中，其相量形式的方程為jL1

jL2

+–

–

++–

+–

還可以用電流控制電壓源來表示互感電壓的作用。時域形式方程：i1

**L1

L2

+_u1

+_u2

i2

M

時域形式控制源形式的互感模型jL1

jL2

+–

+–

**相量形式jωM

△△dtdiL

dtdi-Mu

dtdiM

dtdiLu22122111+=+=–思考：三種不同形式的方程特點？四、帶有互感的電路模型研究11第十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁五、耦合系數(couplingcoefficient)k：工程上為了定量描述兩個耦合線圈的耦合程度，把兩線圈的互感磁通鏈與自感磁通鏈的比值的幾何平均值定義為耦合因數，用k表示。k表示兩個線圈磁耦合的緊密程度。顯然，k1。k的大小與2個線圈的結構、相互位置以及周圍磁介質有關。改變或調整它們的相互位置有可能改變耦合因數的大小；當L1和L2一定時，也就相應地改變了互感系數M的大小。說明：12第十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五互感現象的利與弊：利用——變壓器：信號、功率傳遞;避免——干擾;克服：合理布置線圈相互位置減少互感作用；采用屏蔽。11'22'k≈1思考什么情況下

k≈0？特殊地，當k=1為全耦合:F11=F21，F22=F12電路理論下一頁章目錄返回上一頁13第十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁同名端實質：反映線圈繞法的相互關系。六、同名端的確定方法總結：(1)

根據繞向判別：當兩個線圈中電流同時由同名端流入(或流出)時，兩個電流產生的磁場相互增強。

i

11'22'**(2)實驗判別法：當隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將會引起另一線圈相應同名端的電位升高。V+–

i

11'22'**R

S

電壓表瞬時正偏。如圖電路，當閉合開關S時，i增加，思考：當開關S打開時，電壓表？14第十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五KCL的形式不變；10--2含有耦合電感電路的計算對于含有耦合電感電路的正弦穩態分析仍可以采用相量法。在KVL的表達式中，應計入由于互感的作用而引起的互感電壓。即當某些支路具有耦合電感時，這些支路的電壓將不僅與本支路電流有關，同時還將與那些與之有互感關系的支路電流有關。思考：互感線圈的可能連接方式？不首先對具有互感的電感解耦，因為互感電壓是電流的函數，所以列寫電路方程求解時，通常采用以電流為未知量的求解方法建立方程；具體地，可采用支路電流法、回路電流法、網孔法。互感消去法直接計算法首先分析互感的連接方式，然后對互感采用前述方法去耦；關鍵：不要丟掉互感電壓；電路去耦后，求解方法視方便，自由選擇，無任何限制；電路理論下一頁章目錄返回上一頁15第十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五1.串聯順接–i1MR1R2L1L2u+*u1+–u2–+*i2iiLeqReq–u+等效一.互感線圈的串聯電路理論下一頁章目錄返回上一頁16第十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五若激勵為正弦量，也可通過其相量形式的電路方程來分析：–jω

MR1R2jω

L1jω

L2+*+––+*Reqjω

Leq+–等效電路理論下一頁章目錄返回上一頁17第十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五順向串聯的另一種等效電路

順向串聯時，每一條耦合電感支路阻抗和輸入阻抗都比無互感時的阻抗大(電抗變大)，此時互感起加強作用。–R1R2+–+–+jω(L1+M)jω(L2+M))2()(2121MLLjRRZeq++++=w)(222MLjRZ++=w=2Z1Z+1Z=)(11MLjR++w++w)(11MLjR++w)(22MLjR+=其中：電路理論下一頁章目錄返回上一頁18第十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五2.反向串聯–i1MR1R2L1L2u+*u1+–u2–+*i2iiLeqReq–u+等效電路理論下一頁章目錄返回上一頁19第十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五若激勵為正弦量，也可通過其相量形式的電路方程來分析：–jωMR1R2jω

L1jω

L2+*+––+*ReqjωLeq+–等效電路理論下一頁章目錄返回上一頁20第二十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五反向串聯的另一種等效電路–R1R2+–+–+jω(L1-M)jω(L2-M))2()(2121MLLjRRZeq-+++=w)(222MLjRZ-+=w=2Z1Z+1Z=)(11MLjR-+w-+w)(11MLjR-+w)(22MLjR+=其中：反向串聯時，每一條耦合電感支路阻抗和輸入阻抗都比無互感時的阻抗小(電抗變小)，互感起削弱作用；類似于電容串聯，稱為互感的容性效應；(L1-M)和(L2-M)可能其中之一為負，但(L1+L2-2M)>0，電路仍呈感性；結論：思考：端口電壓相量相同情況下，順串和反串哪個電流大？電路理論下一頁章目錄返回上一頁21第二十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五3.相量圖**+–R1R2jL1+–+–jL2jM相量圖：(a)順串(b)反串RUUU&&&(121±+=+=TLj1wI&jwI&MI&)R(2±+Lj2wI&jwI&MI&)+電路理論下一頁章目錄返回上一頁22第二十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五將2個互感線圈順接一次，再反接一次，分別測出順接與反接時各自的總等效阻抗Z順和Z反4.互感的測量方法電路理論下一頁章目錄返回上一頁23第二十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁例10-3圖示電路中，正弦電壓的U=50V，R1=3，L1=7.5,R2=5，L2=12.5,M=8。求該耦合電感的耦合因數K和該電路中吸收的復功率。i

**u2

+–

M

R1

R2

L1

L2

u1

+–

u

+–

解：耦合因數K為：AVjZIS+==)63.14025.156(222AVjZIS-==)63.1575.93(121jZZZ+=+=4821各支路吸收的復功率為：ZUIU°-D==D=°57.2659.5/,050...則：令jMLjRZ+=-+=5.45)(222wjMLjRZ-=-+=5.03)(111w24第二十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁二.互感線圈的并聯**+–

R1

R2

jL1

jL2

jM

1222

jj···++=IMILRUww）（2111

jj···++=IMILRUww）（2223

][···-++=IMLjRIMjU）（ww1113

][···-++=IMLjRIMjU）（ww+–R1

R2

j(L1-M)

j(L2-M)jM+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

LcLc=M

La=L1－

MLb=L2－M1.同側并聯25第二十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁2.異側并聯**+–

R1

R2

jL1

jL2

jM

+–R1

R2

j(L1+M)

j(L2+M)-jM+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

LcLc=－M

La=L1＋

MLb=L2＋

M26第二十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五三.一端相連(兩電感有公共端)整理得1.同名端接在一起**jL1123jL2jMj(L1–M)123j(L2–M)jM等效電感與電流的參考方向無關電路理論27第二十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五2.非同名端接在一起整理得**jL1123jL2jMj(L1+M)123j(L2+M)－jM等效電感與電流的參考方向無關電路理論28第二十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五四.互感線圈兩端均不相連++__+_+_2111IMjILjU&&&ww+=1222IMjILjU&&&ww+=兩種等效電路的特點：(1)去耦等效電路簡單，等效電路與電流的參考方向無關，但必須有公共端；(2)受控源等效電路，與電流參考方向有關，不需公共端。++**L1L2+__+__+_+_++__+_+_電路理論下一頁章目錄返回上一頁29第二十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁例10-4圖示電路中，正弦電壓的U=50V，R1=3，L1=7.5,R2=5，L2=12.5,M=8。求支路1、2吸收的復功率。**+–

R1

R2

jL1

jL2

jM

+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

Lc五.例題分析30第三十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

Lc31第三十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五例10--5支路法、回路法：方程較易列寫，因互感電壓可以直接計入KVL方程。分析：關鍵：正確考慮互感電壓的作用，要注意表達式中的正負號，不要漏項。M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z3列寫右圖電路方程電路理論直接求解：去耦法：下一頁章目錄返回上一頁32第三十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z31.支路法：解：電路理論下一頁章目錄返回上一頁33第三十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五整理，得M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z3電路理論34第三十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五2.回路法：M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z3說明：此處只是以回路電流相量為變量，并沒有按照回路法列方程。電路理論下一頁章目錄返回上一頁35第三十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五整理，得M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z3電路理論下一頁章目錄返回上一頁36第三十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五3.此題也可先作出去耦等效電路(一對一對去耦)，再列方程:M12**M23M13L1L2L3**M23M13L1–M12L2–M12L3+M12L1–M12–M13+M23L2–M12+M13–M23L3+M12–M13–M23想一想：若

M12＝M13＝M23＝M，試畫出去耦等效電路？電路理論下一頁章目錄返回上一頁37第三十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五10-3空心變壓器變壓器是利用互感元件來實現由一個電路向另一個電路傳輸能量或信號的器件。分類：空心變壓器和鐵芯變壓器。空心變壓器：即變壓器沒有鐵芯，兩個耦合線圈繞在一個由非鐵磁性材料制成的芯子上組成空心變壓器，線圈通過空氣耦合，可以避免鐵芯帶來的非線性、磁滯及渦流的不利影響，廣泛用于高頻電子電路中。鐵芯變壓器：將原副線圈繞在一個鐵芯（軟磁材料），利用鐵芯的高磁導率加強互感，廣泛應用于電力輸配、電工測量、電焊及電子電路中。電路理論下一頁章目錄返回上一頁38第三十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五一、空心變壓器電路模型+_+_**a)原邊：與電源相連的一邊稱為原邊(初級)，其線圈稱為原線圈，R1和L1分別表示原線圈的電阻和電感。b)副邊：與負載相連的一邊稱為副邊(次級)，其線圈稱為副線圈，R2和L2分別表示副線圈的電阻和電感。c)M為兩線圈的互感系數,RL和XL分別表示負載的電阻和電抗。d)注意圖中參考方向的規定。電路理論下一頁章目錄返回上一頁39第三十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁**jL1

jL2

jM

+–

R1

R2

Z=R+jX

二、空心變壓器電壓電流關系空心變壓器原邊、副邊的電流關系：S2111UIZIZM&&&=+Z22=(R2+R)+j(L2+X)

Z11=R1+jL140第四十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五+–

Z11

原邊等效電路三、空心變壓器等效電路Z11=R1+jL1

Z22=(R2+R)+j(L2+X)

電路理論**jL1

jL2

jM

+–

R1

R2

Z=R+jX

1、原邊等效電路下一頁章目錄返回上一頁41第四十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁說明副邊回路對初級回路的影響可以用引入阻抗來考慮。從物理意義講，雖然原、副邊沒有電的聯系，但由于互感作用使閉合的副邊產生電流，這個電流又反過來影響原邊電流電壓。Zl=Rl+jXl：副邊對原邊的引入阻抗。

負號反映了副邊的感性阻抗反映到原邊為一個容性阻抗42第四十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁同樣可解得：

+–

Z22

—原邊對副邊的引入阻抗。

副邊等效電路—副邊開路時，原邊電流在副邊產生的互感電壓。**jL1

jL2

jM

+–

R1

R2

Z=R+jX

其中：Z11=R1+jL1，

Z22=(R2+R)+j(L2+X)

2、副邊等效電路43第四十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五副邊等效電路的另一種推導:+_+_**+_+_**+_**＝++_電路理論下一頁章目錄返回上一頁44第四十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五電路理論下一頁章目錄返回上一頁**jL1

jL2

jM

+–

R1

R2

Zl=Rl+jXl例10.6圖示電路，R1=R2=0，L1=5H,L2=1.2H,M=2H，us=100cos(10t)，ZL=RL+jXL=3。求原、副邊電流i1、i2。45第四十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五解：方法(1)：回路法。方法(2)：利用空心變壓器的等效電路。+–Z11例10.7

已知

L1=3.6H，L2=0.06H，M=0.465H，R1=20W，R2=0.08W，RL=42W，w=314rad/s，**jL1jL2jM+–R1R2RL電路理論下一頁章目錄返回上一頁46第四十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五此時負載獲得的功率：實際上是最佳匹配：解：依題意，有求：Zx

；并求負載獲得的有功功率。例10.8

已知，原邊等效電路的引入阻抗為，**j10j10j2+–10Zx+–10+j10電路理論下一頁章目錄返回上一頁47第四十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五一.理想變壓器應滿足的條件1)變壓器本身無損耗；2)耦合因數，即全耦合；3)L1、L2和M均為無限大，但保持不變，

n為匝數比。§10-4理想變壓器理想變壓器如同理想R、L、C元件以及理想電源一樣，是一個電路模型，它是反映二個端口電流電壓關系的一種模型。空心變壓器如果同時滿足下列3個條件即演變為理想變壓器：電路理論下一頁章目錄返回上一頁

注意：以上三個條件在工程實際中不可能滿足，但在一些實際工程概算中，在誤差允許的范圍內，把實際變壓器當理想變壓器對待，可使計算過程簡化。48第四十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五+_+_**二.理想變壓器端口電壓電流關系1.電壓關系2.電流關系電路理論下一頁章目錄返回上一頁49第四十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五綜上可知理想變壓器是一種特殊的無損耗全耦合變壓器，其電路圖形符號如下，并且其原邊和副邊的電壓和電流總滿足下列關系：+_+_**注意上式是根據圖中的參考方向和同名端列出的。式中

n=N1/N2，稱為理想變壓器的變比。理想變壓器的特性方程為代數關系，因此無記憶作用，理想變壓器不是動態元件。理想變壓器模型電路理論理想變壓器唯一參數：n下一頁章目錄返回上一頁50第五十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五1.功率性質：由此可以看出，理想變壓器既不耗能，也不儲能，它將能量由原邊全部傳輸到副邊輸出，在傳輸過程中，僅僅將電壓、電流按變比作數值變換。即它在電路中只起傳遞信號和能量的作用。三.理想變壓器的性質+_+_**理想變壓器吸收的瞬時功率為理想變壓器的方程為電路理論下一頁章目錄返回上一頁51第五十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五2.阻抗變換性質+_當理想變壓器的副邊接入阻抗

ZL

時，原邊輸入阻抗為：即

n2ZL

為副邊折合到原邊的等效阻抗。+_+_**電路理論下一頁章目錄返回上一頁52第五十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五3.兩種特殊情況+_+_**+_+_**輸出端短路，此時輸出端開路，此時四.理想變壓器的受控源等效電路+_+_+_電路理論下一頁章目錄返回上一頁53第五十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五解：+–方法（1）戴維南等效電路+–**+_+_已知：電源內阻

Rs=1k，負載電阻RL=10。為了使RL上獲得最大功率，求：理想變壓器的變比

n。+_+_+–**例10.9**+_+_要使RL上獲得最大功率，則電路理論下一頁章目錄返回上一頁54第五十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五+–解：方法（2）原邊等效電路由于理想變壓器不耗能，因此等效電阻上的功率即為負載電阻的功率。要使n2RL上獲得最大功率，則方法（3）列寫電路KVL方程利用方程組找出功率表達式并求解。已知：電源內阻

Rs=1k，負載電阻RL=10。為了使RL上獲得最大功率，求：理想變壓器的變比

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