南京**大學高數教研室《微積分》

教學課件第五章導數的應用精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

內容導航前言理論基礎：中值定理一階導數的應用

二階導數的應用數學建模：最優化模型第五章導數的應用精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程前言本章我們進一步用導數來研究函數的特性，并由此解決一些實際問題。導數可應用于求各種變化率，如求變速直線運動的速度、加速度、切線的斜率，經濟的邊際等問題。用數學解決實際問題，可統稱為數學建模。最后介紹微分的概念及應用5-1理論基礎:中值定理精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

拉格朗日中值定理設函數由于y=f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，則必定在（a，b）內至少存在一點x0使得如圖所示xy0bax0y=f(x)5-1理論基礎:中值定理精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

例1試證當x>0時，有令f(t)=ln(1+t)，則f(t)在[0，x]上滿足拉格朗日中值定理，則其中即因為所以

證5-1理論基礎:中值定理精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

例2試證當有則y＝f(x)在[a，b]是增函數。任，由于說明可用中值定理有其中由已知，故，證得f(x)在[a，b]遞增。證在[a，b]存在；應用此中值定理注意（構造）什么函數在什么區間上運用。拉格朗日中值定理是導數與函數聯系的橋梁。5-2一階導數的應用精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

函數單調性的判定設函數y=f(x)在[a,b]連續，（a,b）可導，那么例3判別函數的單調性解5-2一階導數的應用精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

例4求函數的單調區間。令得，解函數的定義域為數軸上討論，如圖

x-13y’y+_+在

區間取

代入得

在

區間取x=0

代入得

區間取代入得在得函數在和上遞增；在上遞減。5-2一階導數的應用精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

重要說明:，②解題步驟：1.求導；2.令，求駐點xi和奇點xi（y不可導的點，見下例）；首先求出函數的定義域，因為要把函數的定義域討論完，技巧是只須取一好計算的點x0，這有“投石問路”的方法技巧。①確定函數單調區間的依據為：的點）（③.數軸上以xi（駐點、奇點可統稱為分界點）分區間討論正負號，得結論。以及定義域外不討論單調性；關于討論一個區間上符號，5-2一階導數的應用精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

例5確定函數的定義域為的單調區間。解由于則無駐點；則x=0為奇點當x=0時不存在，（也可以是單調區間分界點）討論得函數在遞減，遞增。5-2一階導數的應用精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

函數的極大值和極小值定義設函數y＝f(x)在（a，b）有意義，，若x0附近的函數值都大于（或都小于）f(x0)，則稱f(x0)為函數f(x)的一個極大值（或極小值），點x0叫函數f(x)的極大值點（或極小值點）。函數的極大值和極小值統稱為極值。極大值點和極小值點統稱為極值點。

注意:極值是局部概念---局部最大或最小；一個函數在一個區間內只可能有一個最大值、一個最小值，但可能有多個極大值和極小值。5-2一階導數的應用精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

如何求函數的極值？

如下圖所示：

可見，極值與函數的單調性密切聯系，極值就是函數單調區間的分界點。因而可以通過求單調區間來求極值。xy0y=f(x)x1x2x3x45-2一階導數的應用精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

例6求函數的極值。f(x)的定義域為令解得駐點討論如圖

x1極大2極小y’y+_+得，當x=1時，函數有極大值f(1)=2；當x=2時，函數有極小值f(2)=1。5-2一階導數的應用精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

說明求函數極值的方法與步驟：②令③分區間討論④將極值點代入f(x)算出極值。①求。，求一階駐點和奇點xi。的正負號，確定單調區間進而確定極值點。5-2一階導數的應用精品課程序言第1章函數第2章導數第3章定積分第4章求導方法第5章導數應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

例7求函數的極值。函數的定義域為解令得討論如圖

得函數的極小值為，駐點不是極值點。x-1y’y+_+5-宰2一階么導數測的應攻用精品疾課程序壺言第1章棚函沈數第2章猜導達數第3章線定積負分第4章蹈求導釘方法第5章引導數查應用第6章嶺求積橡分方滅法第7章癢定積詠分應廳用第8章闖微分忙方程例8求函涼數的極自值。函數圓的定弟義域紗為解奇點，駐段點討論蛋如圖得，寸函數孝的極扮大值疼為，極挽小值炸為x0y’y+_+5-呢3二階討導數喪的應災用精品拋課程序病言第1章鳥函趙數第2章狠導況數第3章途定積制分第4章際求導御方法第5章數導數谷應用第6章珍求積套分方炊法第7章趨定積肅分應疾用第8章寨微分倡方程曲線償凹凸腦區間獄的判迅定（粥如圖降）直觀指看曲吐線“以往上停彎”愉為凹，每庫點切森線在太曲線第下方伯；曲線膀“往面下彎斤”為凸，每家點切母線在碼曲線磚上方異。xy0xy0abbay=f(簽x)y=f(肺x)a圖b圖5-判3二階令導數閥的應震用精品肌課程序材言第1章末函水數第2章陶導岸數第3章伐定積琴分第4章社求導香方法第5章槍導數阿應用第6章廢求積板分方勻法第7章牧定積買分應須用第8章繁微分抬方程進一壤步觀井察曲石線凹丸凸性更與切催線的尋關系a圖曲緊線是拌凹的,切線考的傾車斜角為銳植角，輪且由燭小變業大，是遞乎增的部，有f(弱x)遞增禁，則荒表明有遞增闊，反狂之亦桐然，穴這就駕得到有f(座x)凹；(b）圖姿同理繳有，f(槽x)凸。回憶曲線幻玉上凹扣凸的育分界日點叫換做曲錘線的拐點。5-殺2二階夫導數警的應頃用精品訂課程序椅言第1章臉函宵數第2章心導彩數第3章雪定積磁分第4章板求導腎方法第5章租導數帳應用第6章夸求積跑分方且法第7章姿定積棋分應到用第8章躍微分章方程例9求的凹注凸區欺間和倦拐點恒。解函數記的定腿義域禁為，令（為某二階唇駐點祥）討論緒如圖得惰曲線汪在凸，里在凹，錦拐點錄為（3，-1榮46）。x3-+10穩452-1數46-4盲6463-2xy草圖０5-麥3二階較導數畝的應洞用5-繡3二階巧導數距的應沉用精品妻課程序助言第1章杜函搜數第2章鐮導情數第3章括定積民分第4章坑求導哲方法第5章蝴導數脫應用第6章份求積糾分方滴法第7章顏定積朋分應升用第8章赴微分頂方程求曲同線凹弄凸區鏡間、妹拐點情與單調備區間駛、極穴值的歷步驟紗與要瘋點類劑似：、（2）求割二階鑰駐點較和奇瞎點xi；其分羽界點xi代回災函數f(乞x)，并續算出f(萄xi)，則己有拐盯點。（1）求；（3）由xi分區類間討墓論符號誘確定拳凹凸屆區間確；5-晝3二階季導數固的應稿用精品躲課程序顯言第1章感函蒜數第2章罩導蘭數第3章鴨定積敵分第4章幕求導賊方法第5章倆導數康應用第6章間求積疲分方貧法第7章門定積母分應泛用第8章泰微分桃方程例10求曲臉線的凹住凸區躬間和絮拐點毒。解函數這的定勢義域鐵為，有二鄭階奇嘴點x=鋼0，討司論如托圖得積曲線魂在凸，雹在可見真，二節階導曠數不燥存在冒的點遠也可予能是窄曲線機的拐姨點凹，密拐點待為（0，0）x0-+5-毅3二階號導數婚的應記用精品醒課程序勇言第1章醫函就數第2章婦導核數第3章跪定積制分第4章蜜求導覺方法第5章朽導數朗應用第6章匪求積此分方跨法第7章積定積奸分應虎用第8章革微分塵方程曲線浸形態獻判別也方法呀小結曲線蓬增減例與極團值1、極值汁為增絡減區峽間分尚界點2、步膝驟（1）求（2）求越一階茫駐點眼、奇伸點xi；（3）以xi分區堂間討亂論曲線環凹凸朝與拐繩點1、拐點港為凹雕凸區閥間分驕界點2、步息驟（1）求、（2）求必二階擾駐點牛、奇壟點xi（3）以xi分區滴間討責論；符號術確定楚增減越區間潛與極謀值符號望確定凹凸忌區間與拐點5-韻4數學奸建模碧：最錢優化歡問題精品斗課程序降言第1章拼函亦數第2章肉導拴數第3章增定積歷分第4章遭求導生方法第5章尤導數匙應用第6章胖求積圾分方毛法第7章想定積窄分應共用第8章稍微分惕方程求出神某些聯量的恥最大視值和輕最小徹值對戰于許霸多實肅際問倚題都咳顯得檢十分持重要學。例如做求時鎮間最價短、惡利潤蘆最大派、成弟本最婦低等穿等。運相應丘，大緩學生甜數學怨建模秘競賽撒題幾腿乎都滲是優減化問無題，唯或說卸必須好用優嶼化思灑想、符方法矛去分帝析解鞏決。舌初等零數學股中用球二次激函數湯、三腹角函優數、警不等無式等舌等方紙法可捆以求讀函數巨最值劉，這地里我料們將遮看到桿，高畢等數逢學用毫導數述如何卻提供朵一種桿更有嬸效的么方法勻來解獄決許話多最綿優化帥問題昏。5-俗4數學攀建模堅：最榜優化略問題精品葉課程序丘言第1章股函熔數第2章世導廊數第3章賠定積取分第4章屢求導碧方法第5章煌導數假應用第6章該求積耽分方奪法第7章縱定積哄分應搖用第8章寬微分兔方程例13求在[-賠3，3]上的發最大祖值和證最小液值。從以頓上討害論可續知，旋函數茅最值爹只可旺能在風函數屠極值功或區間端買點處炭，于搏是求歲函數濫最值仆的方臥法是覺先求f(閑x)的極值可規能點xi，再堡求f(綱xi)和f(折a)、f(渠b)，從晴中比鹽較出螞最大的迎為最票大值粉，最嗓小的度為最挪小值遼。解，令得駐遣點，，計算簡得f(膊-2峰)=樓f(鍋2)往=-俊15，f(謊0)置=1，f(昂-3窗)=伯f(愁3)錄=1展0。比較得函招數在[-浴3，3]上的偵最大獅值為f(盈-3量)=倦f(神3)汗=1簽0，最小怨值為f(息-2協)=板f(幕2)索=-芝15。5-陶4數學愿建模片：最禿優化掌問題精品糕課程序勇言第1章砍函腦數第2章埋導弦數第3章拿定積果分第4章軟求導狠方法第5章婦導數榆應用第6章岡求積墾分方討法第7章英定積麥分應怪用第8章紡微分迎方程例14生產具易拉賀罐飲繪料，置其容斧積V一定暈時，左希望泰制易倚拉罐的材牛料最疫省。賓假設喪易拉停罐側寒面和才底面予的厚芬度相頃同，神而頂部的堅厚度家是底委、側姜面厚棟度的建三倍則，試置求易桿拉罐絕的高勇和底面的憲直徑秩。市舒場上努的易礙拉罐逢，其塔高和塑底面膏直徑涉之比勿是否符合巡壽你得身到的笑結論己。解假定除易拉微罐是史圓柱神形，裕設其確高為h，底祥面圓葬半徑醋為r，，則仆頂的扔厚度洽為故所垂需材息料為再設膛底、控側面評金屬璃板的傳厚度碰為再由飾已知底條件凳消去鉆一個值變元俘，即r、h滿足難約束只條件（定支值）代入峽上式將5-傅4數學辣建模這：最郵優化味問題精品崖課程序幫言第1章片函件數第2章仔導棄數第3章從定積斥分第4章簡求導挪方法第5章白導數嫂應用第6章慕求積塘分方區法第7章介定積幸分應醉用第8章顛微分朽方程計算令，解灑得討論饞如圖故是f(陜r)唯一戶的極徹小值撕，因禮而是漫最小骨值點此時猾，易站拉罐忠的直柴徑為易拉晉罐的區高為即易禾拉罐風的高撇是底著面直鳥徑的廢一倍講。市蜻場上有不少殖易拉劍罐，如可烏口可送樂、猛椰汁科等，衡與此若結果通近似旬。r0--5-愉4數學使建模掉：最銜優化腰問題精品爹課程序炊言第1章損函推數第2章館導競數第3章哈定積畫分第4章常求導痰方法第5章說導數霧應用第6章元求積戒分方鄉豐法第7章辨定積臉分應騰用第8章廉微分公方程在開懇區間晃上如禽何求鼻最值瞇？有欣這樣群的結匆論，胡實際帽問題赤中：責可知胳有最啊小（夕大）扶值存恭在而那函數噴只有痰一個姨極小自（大熔）值貞則這磨個極刺小（叔大）評就是耗最小厘（大濕）值稀。注意：最基值與愈極值泳的關均系5-氏4數學椅建模宏：最徐優化境問題精品諸課程序扁言第1章末函懲數第2章刻導塊數第3章采定積跨分第4章均求導箱方法第5章仁導數做應用第6章錫求積播分方倡法第7章封定積叼分應條用第8章沫微分塵方程4.題設凳中已行知什憂么條擊件，燦將其激表示犧出來冶（約肢束條爸件）比，將約鄭束條管件代僑入目拐標函隔數消岔元、陵化簡錄；數學假建模早實用強提示1.最優尿化模俘型通既常是片由目根標函章數與祥約束醫條件排構成麥；2.全面虜分析扭問題轎，確鏈認優脾化哪衡個量賀，則用考慮亮求其妻函數（坑目標緞函數乎）；3.求目債標函吵數需處要依迅據（降找）驚某些粥公式發，如夕面積燒、體積做公式固、路渴程公鎮式、蘆勾股哀定理顛、三慘角公煤式、讓牛頓定律似、浮單力定螺律等候等；5.用導營數方淚法求呀極值饒進而蓬求出出最值幼。5-鋪5微分啄：導晉數的佩代數恢應用精品壞課程序區言第1章井函晨數第2章衫導窩數第3章途定積駕分第4章浙求導或方法第5章賀導數便應用第6章薯求積終分方邊法第7章引定積燃分應少用第8章勺微分氣方程如果羅說用墳導數宴判定正確定啄函數酒的單瀉調性蘋、極源值、催曲線稿的凹摟凸性訴、拐管點，事是導植數在經幾何梢上的辯應用強，那巴么這嗽里“微分”則腦主要垮是導戚數在代數禁上的應姿用。屈因為報“微貓分”呼的主玻要問謀題是斃函數騰的近疼似計歸算——如何污求一盾個函適數的渾改變漢量源？微分搖的概珍念及缺思想設函尤數y=f(魄x)的導算數存盼在，具即愚，由賴極限啞的概保念令灣，稱缸它為葬函數f(雨x)的微分。并傻記，則5-嘉5微分粱：導仰數的攪代數畫應用精品量課程序臂言第1章籠函嘩數第2章腔導抽數第3章壓定積當分第4章走求導介方法第5章伴導數睜應用第6章租求積思分方啊法第7章拳定積獅分應宰用第8章得微分倒方程例16求函臘數折的論微分解需要訓注意：(1恩)微分顫的意就義由于土，說鑼明可箭以用鎮微分恰求函陽數的改變扇量，涼即這里構越小售近似拍程度惹越好寬。(2猛)微分患的思沾想如下論圖所揀示：5-陽5微分仁：導叢數的等代數撥應用精品超課程序健言第1章蜓函摟數第2章榨導幕數第3章山定積秒分第4章役求導眾方法第5章翻導數猾應用第6章引求積停分方艷法第7章僅定積肌分應撐用第8章腫微分聚方程如右裂圖所板示：MT是y=f(梳x)在M點的雹切線微分作，當旬較小許時，可用爬直線MT來近寒似曲唯線MP（或柜說用螞三角偏形MT弓N近似敵曲邊峽三角筆形MP坦N）。可見穿，“以直塘代曲”是微眼分的陳一個匆基本墨思想在。于是瓦，可腐顧名責思義簽，把后“微目分”突看作達動詞冶，意提思為撿“無瞇限細先分”挖，而叢把“圖微分濃”看挖作名禁詞，舉意思芬為“隆微小幕的一涂部分漁”。x0yMPTNxX+△Xy=f(煉x)5-尤5微分慘：導狹數的丑代數弄應用精品貴課程序所言第1章挺函聞數第2章嗽導張數第3章艙定積樂分第4章食求導涼方法第5章蠢導數草應用第6章梁求積金分方鍛法第7章起定積礦分應賓用第8章錄微分木方程(3退)微分姻的計耐算由于枯，割因此，“求微棋分就案是求弓導數”．（并且墾在存愈在的藍情況循下，可脈微與次可導禍等價忍）。于是籌，由航導數尺公式擇與法頭則可飄直接快得到悉微分壟的公商式與法流則，擺如下蘋表微分枯基本刺公式膀（略輛）微分洽四則域運算筑法則設u、v是x的可議導函漫數，交則5-蘇5微分坊：導繪數的鉛代數羽應用精品收課程序密言第1章巨函擦