圓錐曲線方程與性質1．圓（1橢圓概念平面內與兩個定點、F的距離的和等于常數2（于FF22

）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫圓的焦距。若

M

為橢圓上任意一點，則有

|1

。橢圓的標準方程為：在y軸

y（a點在軸）或aa2a2b

點注：①以上方程中的小a，中b

2

；②在

2和a2ab

兩個方程中都有

a

的條件，要分清焦點的位置，只要看x和

2

的分母的大小例如橢圓

，

n0

，

當

m

時表示焦點在

軸上的橢圓；當時示焦點在y軸的橢圓。（2橢圓的性質①范圍：由標準方程

a2

知

|x

，

|y

，說明橢圓位于直線

，

所圍成的矩形里；②對稱性：在曲線方程里，若以

代替

方程不變，所以若點

(x,)

在曲線上時，點

(x,)

也在曲線上所曲線關于

軸對稱同理以

代替

方程不變則線關于

軸對稱若同時以

代替

，

代替

方程也不變，則曲線關于原點對稱。所以，橢圓關于軸軸原點對稱。這時，坐標軸是橢的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；③頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與

軸、

軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令x，y，則B(0,，B)2

是橢圓與軸兩個交點。同理令y得x

，即(

，

(,0)

是橢圓與

軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。

同時，線段

、12

分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2和2b，別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為

；在

Rt2

中，

||

，

|OF

，|2

，且

|OFOB|2

，即

22

；c④離心率：橢圓的焦距與長軸的e叫橢圓的離心率。∵a

∴0，越接近，

就越接近

a

，從而

就越小，對應的橢圓越扁；反之

越接近于

，

就越接近于

，從而

越接近于a

，這時橢圓越接近于圓。當且僅當

時，

c

，兩焦點重合，圖形變為圓，方程為

x2y22

。2．曲（1雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線（|||PF

注意：①式中是差的絕對值，在

0aF|2

條件下；

|PFPF|

時為雙曲線的一支；|PF|PFa1

時為雙曲線的另一支（含

1

的一支當

2|2

時，

|||PF

表示兩條射線③當

2|2

時||PF||

不表示任何圖形兩定點

,F2

叫做雙曲線的焦點，|F|2

叫做焦距。（2雙曲線的性質①范圍：從標準方程

2a2

，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線

的外側。即x22，即雙曲線在兩條直線

的外側。②對稱性雙線

2a2

關于每個坐標軸和原點都是對稱的這時坐軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線

22a2

的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。③頂點線對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點曲

2a2

的方程里軸

軸，所以令y0得

，因此雙曲線和軸兩個交點

A(,0)Aa,0)

，他們是雙曲線

2a2

的

頂點。令

x

，沒有實根，因此雙曲線和y軸有交點。）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點線的點分別是實軸的兩個端點。實軸線

12

叫做雙曲線的實軸它長等于

2a

叫做雙曲線的實半軸長虛軸段

12

叫做雙曲線的虛軸，它的長等于

b,b

叫做雙曲線的虛半軸長。④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸線。從圖上看，雙曲線⑤等軸雙曲線：

22a2

的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。）定義實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線定義式：

a

；）等軸雙曲線的性質漸近線方程為：

y

）近線互相垂直。注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙線，同時其他幾個亦成立。）意到等軸雙曲線的特征，軸雙曲線可以設為：0點在x軸當時焦點在軸上。

x

2

y

2

，當0時⑥注意

2與16916

的區別：三個量

,b

中

,b

不同（互換）

相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。3．物（1拋物線的概念平面內與一定點F和條定直線l的離相等的點的軌跡叫做拋物線定點不定直線l上定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫拋物線的準線。方程

y

叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸正半軸上焦點坐標是F（

p2

p,0的準線方程是x；2（）物線的性質一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標方程

還有其他幾種形式：

ypx

，

x2py

，

x2

這四種拋物線的圖形、標方程、焦點坐標以及準線方程如下表：標準方程

ypx(p0)l

y2px(p

xpy(p0)

x2(0)圖形

o

F

F

l

l

Fo焦點坐標

p(,0)2

p(,0)2

p)2

p(0,)2準線方程

x

p2

x

p2

y

p2

y

p2范圍

x0

x0

y

y對稱性

軸

軸

軸

軸頂點離心率

(0,0)

(0,0)

(0,0)

(0,0)說明）通徑過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通）拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線注強調的幾何意義：是焦點到準線的距離。4.考學錐線分識梳一方的線C()f(xy)=0(1)(2)Cfx,)=0P(xy)fx,y,y00f,y)0Cf(x,y)=0,f(y)=0,P(xy)C110

f(x,y)0f(x,y)0

nn

二圓、定：為、方：，的0時

(

D,22D4FDE22

DE22

D-43,yr

在C

在內

(x-2(y-b)0

4

BbA2

三圓曲的一義P(x,)F(le(ele0ee1四橢、曲、物：

F122a>|FF|)12e.({M1MF=2F2a}.2

F12aa<|F|)122.e>1{MMF-MF1=±2a,FFa}.22

.{MF=Ml}

2xyy2xyy22222

xy22b2

(

a

xy222

y2px

acossin數

asectan(參

2pt2pt

(t)

a0(,0),(─a,0),(0,b(0,─b)x22b

xO(,0),(─,0)x;a2b.

x(0,0)x

Fc,0),(,0)(c,0),(,0)11aa2xx=±.

F(px=-2

=e

a

a2(0

=ea

a2(e

【注】曲線x

2..

ab

22

22

0)

22

22

x

y

0).【注】物線

211211y((21121

px=-=-2px(2ppp-=xpy((0,)y=-22

x

2

p=-2p0,=222y(M(,y)F0

MFx0

p2

y=-pxp>0)xyF0

MF

p2

03

y

(

pp22.4

y

=2px(p>0)ABA(x,y),B(xyAB=1

2

+p

AB

2sin2

(AB

y12

2

pxAF(AF).2五坐的換1.23

xOyxyy

(,y')

Ok

x'y'

xy

4h

(x)2(2+a22

ch

x

a

xyk(x)2(+b2a

2

=1

ck

y

a

k

xyk

(x)2()-a22

2

=1

ch

x

a

k

22222222(y)2()-ab2

2

1

ch

y

a2

k

xyk()px)

p2

k

x

p2

yk(-k)(x)

p2

k

x

p2

h

yk(-hp(yk

p2

k

y

p2

k

x(h(yk)

p2

k

y

p2

k

x六橢的用論平處P點PQ為

,)0

x22

0

xy002b2

,)0

x22

xyy0a2

x2b2

，

1

S

2

x2b2

|a1

|MF2

(1

(c,)20

作為AP和分為P交

交MF

x22

(xy)00

的

kOMAB

22

AB

2

,)0

x22

Po

xyy2002b22

【論

()00

x222

x22xy22a2b2

x2b2x2b

(1

(,0)2

x22

(,y)00

有

k

BC

x0

x2222

a,

F1

F21

atana

x2b2

Feq\o\ac(△,)

12

F12

F12

sin

c

x22

，ePFd與PF的P為

x2222

為aAFaAF21

A,,P2

OPQ0OPQ0

()2(y)002

2

By

A

2

2

2

2

AxBy)0

2

x2b2

為

POQ

2OQ|2b

a22222a

x2222

的

PFeMN

x2b2

的x軸(x0

222x

P

x22

為

1

PF1

2cos

S

F

2tan

x2222

0是

PAB

PBA

|PA

22a

tan

tan

2

ab2

x2b2

l

E

F

兩Cl經的

e.七雙線常結：、處PT平eq\o\ac(△,)在處內角平eq\o\ac(△,)在PT點為相交為切在在()00

x222

P0

x002b2

()00

x222

，PoP的

xy00a2

x222

F為

PF1

S

2

cot

2

x222

((c,0)M(xy)10

|,|x,)100

|MF||1

PA和分F兩的P和Q交AP是

x222

(x,)0

OM

AB

AB

2xy

,)0

x2b

xyy22002bb

,)0

x2b

x22xy0222【論

x222

(1

(a,0)2

時與交

x2b2

x2b

(,)00

有

k

BC

020

P為

x,22

F12

F21

ctantan

x222

F中

PFPFFP112

a

x2b

F，

2

P到與P為

x22

a為為|AFPA|PF21

A,F,PPA,F2

x22

By

2a

x222

b為

POQ

1b21OP|222b

OPQ

222

))

x2b

的

PFeMN

x22

AB

(,0),0

2

2

x0

2

2

x為22

1

(

PF1

2cos

S

F

cot

x2b

PAB

PBA

|PA

2ab2||

tan

tan

2

22

x2b

a

l

E

F

AlBC經:八拋線常結：2x

(

ac2

yyy2p0)yy

Ppyp0)P

2x

2py

2ptpty2yypx

x2x2▲▲

x

F(

p2

,0)

(

p2

,0)

F

p2

)

F

p2

)

p2

x

p2