第六節兩角和與差的三角函數復習目標學法指導1.兩角差的余弦公式兩角差的余弦公式證明.2.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)兩角和與差的正弦、余弦公式.(2)兩角和與差的正切公式.3.理解在兩角差的余弦公式的推導過程中所體現的向量方法,理解和、差、倍角的相對性,能對角進行合理、正確地拆分,能對公式進行簡單的逆用.1.準確掌握公式的結構特征與符號特點,能熟練正用、逆用、變形應用.2.巧變角:三角函數中往往出現較多的差異角,注意觀察角之間的和、差、倍、互補、互余等關系,運用角的變換,化多角為單角或減少角的數目,聯系條件角與待求角,使問題順利獲解.3.將三角變換與代數變換密切結合:三角變換主要是利用相應的三角公式,對于代數變換主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相應的代數公式等.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1.兩角和與差的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

2.兩角和與差的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

3.兩角和與差的正切公式tan(α+β)=QUOTEtanα+tanβ1-tantan(α-β)=QUOTEtanα-tanβ1+tanα1.公式理解兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的結構特征和符號特點如下:C(α±β)同名相乘,符號反;S(α±β)異名相乘,符號同;T(α±β)分子同,分母反.2.公式的常用變式(1)和(差)與積互換公式tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ),tanαtanβ=1-QUOTEtanα+tanβtan(α+β)=-1.涉及tanα±tanβ與tanα(2)輔助角公式:asinα+bcosα=QUOTEa2+b2sin(α+)(中sin=,cos=QUOTEaa2+b2)一般形式有sinx+cosx=QUOTE2sin(x+QUOTEπ4)=QUOTE2cos(x-QUOTEπ4),sinx+QUOTE3cosx=2sin(x+QUOTEπ3)=2cos(x-QUOTEπ6),QUOTE3sinx±cosx=2sin(x±QUOTEπ6).3.與三角變換相關的結論三角函數的“三變”:“三變”是指“變角、變名、變式”;變角:對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角;變名:盡可能減少函數名稱,其方法通常有“切化弦”“升冪與降冪”等;變式:對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數等.在解決求值、化簡、證明問題時,一般是觀察角、函數名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異,再選擇適當的三角公式恒等變形.1.sin34°sin26°-cos34°cos26°的值是(C)(A)QUOTE12 (B)QUOTE32 (C)-QUOTE12 (D)-解析:sin34°sin26°-cos34°cos26°=-(cos34°cos26°-sin34°sin26°)=-cos(34°+26°)=-cos60°=-QUOTE12.2.已知tan(α-QUOTEπ6)=QUOTE37,tan(QUOTEπ6+β)=QUOTE25,則tan(α+β)的值為(D)(A)QUOTE2941 (B)QUOTE129 (C)QUOTE141 (D)1解析:tan(α+β)=tan[(α-QUOTEπ6)+(QUOTEπ6+β)]=QUOTEtan(α-π6)+tan(=QUOTE37+251=1.3.的值是(C)(A)QUOTE12 (B) (C) (D)解析:原式==QUOTE2(cos30°·cos20°==.故選C.4.tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.

解析:因為tan(20°+40°)=,所以QUOTE3-QUOTE3tan20°tan40°=tan20°+tan40°,即tan20°+tan40°+QUOTE3tan20°tan40°=QUOTE3.答案:QUOTE35.設a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=,則a,b,c按從小到大的順序排列為.

解析:a=sin14°+cos14°=sin59°,b=sin16°+cos16°=QUOTE2sin61°,c=QUOTE62=QUOTE2sin60°,因為59°<60°<61°,所以sin59°<sin60°<sin61°,所以a<c<b.答案:a<c<b考點一兩角和與差公式的基本應用[例1]已知函數f(x)=Asin(x+QUOTEπ4),x∈R,且f(QUOTE5π12)=QUOTE32,(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=QUOTE32,θ∈(0,QUOTEπ2),求f(-θ).解:(1)由f(QUOTE5π12)=QUOTE32,得AsinQUOTE2π3=QUOTE32,又sin=QUOTE32,所以A=QUOTE3.解:(2)由(1)得f(x)=QUOTE3sin(x+QUOTEπ4),由f(θ)+f(-θ)=QUOTE32,得QUOTE3sin(θ+)+QUOTE3sin(-θ+)=QUOTE32,化簡得cosθ=,因為θ∈(0,QUOTEπ2),所以sinθ===,故f(QUOTE3π4-θ)=QUOTE3sin(QUOTE3π4-θ+QUOTEπ4)=QUOTE3sinθ=×QUOTE104=QUOTE304.兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣,可用α,β的三角函數表示α±β的三角函數,在使用兩角和與差的三角函數公式時,特別要注意角與角之間的關系,完成統一角和角與角轉換的目的.1.已知角α為銳角,若sin(α-)=,則cos(α-)等于(A)(A) (B)(C) (D)解析:由于角α為銳角,且sin(α-QUOTEπ6)=QUOTE13,則cos(α-QUOTEπ6)=,則cos(α-QUOTEπ3)=cos[(α-QUOTEπ6)-QUOTEπ6]=cos(α-QUOTEπ6)cosQUOTEπ6+sin(α-QUOTEπ6)sinQUOTEπ6=QUOTE223×+QUOTE13×=QUOTE26+16,故選A.2.設θ為第二象限角,若tan(θ+QUOTEπ4)=QUOTE12,則sinθ+cosθ=.

解析:由θ在第二象限,且tan(θ+QUOTEπ4)=QUOTE12,因而sin(θ+QUOTEπ4)=-,因而sinθ+cosθ=QUOTE2sin(θ+QUOTEπ4)=-QUOTE105.答案:-考點二兩角和與差公式的逆用與變形應用[例2][2sin50°+sin10°(1+QUOTE3tan10°)]·QUOTE2sin280°=.

解析:原式=[2sin50°+sin10°(1+)]·QUOTE2sin80°=(2sin50°+sin10°·QUOTEcos10°+3sin10°cos10°)·QUOTE2cos10°=QUOTE2[2sin50°cos10°+2sin10°(QUOTE12cos10°+QUOTE32sin10°)]=2QUOTE2[sin50°cos10°+sin10°cos(60°-10°)]=2QUOTE2(sin50°cos10°+sin10°cos50°)=2QUOTE2sin(50°+10°)=2QUOTE2sin60°=2QUOTE2×QUOTE32=QUOTE6.答案:QUOTE6運用兩角和與差的三角函數公式時,不但要熟練、準確,而且要熟悉公式的逆用及變形.公式的正用是常見的,但逆用和變形應用則往往容易被忽視,公式的逆用和變形應用更能開拓思路,培養從正向思維向逆向思維轉化的能力,只有熟悉了公式的逆用和變形應用后,才能真正掌握公式的應用.若α+β=QUOTE3π4,則(1-tanα)(1-tanβ)的值是.

解析:-1=tanQUOTE3π4=tan(α+β)=QUOTEtanα+tanβ1-tanαtan所以tanαtanβ-1=tanα+tanβ.所以1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2,即(1-tanα)(1-tanβ)=2.答案:2考點三角的變換[例3]已知α,β均為銳角,且sinα=,sin(α-β)=-,(1)求cosβ的值;(2)求sin(α-2β)的值.解:(1)因為α,β∈(0,QUOTEπ2),所以-QUOTEπ2<α-β<,因為sin(α-β)=-QUOTE1010,所以cos(α-β)=QUOTE31010,因為α為銳角,且sinα=QUOTE35,所以cosα=QUOTE45.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×QUOTE31010+QUOTE35×(-QUOTE1010)=QUOTE91050.解:(2)因為sin(α-β)=-QUOTE1010,cos(α-β)=QUOTE31010,cosβ=QUOTE91050,sinβ=QUOTE131050.所以sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cosβ-cos(α-β)sinβ=(-)×-QUOTE31010×QUOTE131050=-QUOTE2425.(1)當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式.(2)當“已知角”有一個時,此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系,然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.(3)常見的配角技巧:α=2·;α=(α+β)-β;α=β-(β-α);α=QUOTE12[(α+β)+(α-β)];β=QUOTE12[(α+β)-(α-β)];QUOTEπ4+α=QUOTEπ2-(QUOTEπ4-α).1.設α為銳角,若cos(α+QUOTEπ6)=QUOTE45,則sin(2α+)的值為.

解析:因為α為銳角且cos(α+QUOTEπ6)=QUOTE45>0,所以α+QUOTEπ6∈(QUOTEπ6,QUOTEπ2),所以sin(α+QUOTEπ6)=QUOTE35.所以sin(2α+QUOTEπ12)=sin[2(α+QUOTEπ6)-]=sin2(α+QUOTEπ6)cosQUOTEπ4-cos2(α+QUOTEπ6)·sinQUOTEπ4=sin(α+QUOTEπ6)cos(α+QUOTEπ6)-QUOTE22[2cos2(α+QUOTEπ6)-1]=××QUOTE45-[2×(QUOTE45)2-1]=-=.答案:QUOTE172502.已知α∈(QUOTEπ2,π),β∈(,π),且sinQUOTEα2+cosQUOTEα2=QUOTE62,sin(α-β)=-QUOTE35,則cosβ的值為.

解析:因為sinQUOTEα2+cosQUOTEα2=QUOTE62,兩邊同時平方,得sinα=QUOTE12.又QUOTEπ2<α<π,所以cosα=-QUOTE32.又因為QUOTEπ2<β<π,所以-π<-β<-QUOTEπ2,故-QUOTEπ2<α-β<.又sin(α-β)=-QUOTE35,得cos(α-β)=QUOTE45.cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=-×QUOTE45+QUOTE12×(-QUOTE35)=-QUOTE43+310.答案:-QUOTE43+310考點四易錯辨析[例4]已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=QUOTE12,tanβ=-QUOTE17,則2α-β的值為.

解析:因為tanα=tan[(α-β)+β]===QUOTE13>0,所以0<α<QUOTEπ2.又tan2α===QUOTE34>0,所以0<2α<QUOTEπ2.所以tan(2α-β)===1.因為tanβ=-QUOTE17<0,所以QUOTEπ2<β<π,-π<2α-β<0.所以2α-β=-.答案:-QUOTE3π4解決此類給值求角問題,防止增解的方法有兩種,一是縮小角的范圍,盡量縮至一個象限內;二是求合理的三角函數值,若角在第一、二象限,宜求余弦,若角在第一、四象限,宜求正弦.1.(2019·嘉興高三檢測)已知銳角α,β滿足sinα-cosα=,tanα+tanβ+tanαtanβ=,則α,β,的大小關系是(B)(A)α<QUOTEπ4<β (B)β<<α(C)QUOTEπ4<α<β (D)<β<α解析:因為α為銳角,sinα-cosα=QUOTE16>0,所以QUOTEπ4<α<.又tanα+tanβ+QUOTE3tanαtanβ=QUOTE3,所以tan(α+β)==QUOTE3,所以α+β=,又α>QUOTEπ4,所以β<QUOTEπ4<α.故選B.2.已知α,β為銳角,sinα=QUOTE35,cos(α+β)=-QUOTE45,則2α+β=.

解析:因為sinα=,α∈(0,QUOTEπ2),所以cosα=QUOTE45,因為cos(α+β)=-QUOTE45,α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=,所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=QUOTE35×(-QUOTE45)+QUOTE45×QUOTE35=0.又2α+β∈(0,QUOTE3π2),所以2α+β=π.答案:π類型一兩角和與差公式的基本應用1.已知cos(α+β)=QUOTE16,cos(α-β)=QUOTE13,則tanαtanβ的值為.

解析:因為cos(α+β)=QUOTE16,所以cosαcosβ-sinαsinβ=.①因為cos(α-β)=QUOTE13,所以cosαcosβ+sinαsinβ=QUOTE13.②①+②得cosαcosβ=QUOTE14.②-①得sinαsinβ=QUOTE112.所以tanαtanβ==QUOTE13.答案:QUOTE132.已知cos(+θ)cos(QUOTEπ4-θ)=,則sin4θ+cos4θ的值為.

解析:因為cos(QUOTEπ4+θ)cos(QUOTEπ4-θ)=(cosθ-sinθ)(cosθ+QUOTE22sinθ)=(cos2θ-sin2θ)=QUOTE12cos2θ=QUOTE14,所以cos2θ=.故sin4θ+cos4θ=()2+()2=+=.答案:QUOTE58類型二兩角和與差公式的逆用與變形應用3.已知sinx-siny=-,cosx-cosy=QUOTE23,且x,y為銳角,則tan(x-y)等于(B)(A) (B)-QUOTE2145(C)±QUOTE2145 (D)±解析:因為sinx-siny=-QUOTE23,x,y為銳角,所以-<x-y<0,又①2+②2,得2-2sinxsiny-2cosxcosy=(-QUOTE23)2+()2,即2-2cos(x-y)=,得cos(x-y)=,又-QUOTEπ2<x-y<0,所以sin(x-y)=-=-=-,所以tan(x-y)==-.故選B.4.已知sinβ=msin(2α+β