自適應有限元在水利工程中的應用摘要：本文將自適應有限元用于水利工程，提出了大壩有限元計算的應力取值標準：給定全局誤差限作為自適應有限元網(wǎng)格剖分的準則，在此誤差限控制下所得網(wǎng)格計算的應力為有限元應力取值。本文應用ZZ后驗誤差估計方法以及h-型自適應策略，對一個典型的重力壩剖面進行了線彈性自適應有限元計算。計算結果表明：給定一個全局誤差限，網(wǎng)格剖分調整若干次后即可滿足誤差要求，不會出現(xiàn)因角緣應力集中出現(xiàn)剖分不收斂的情況；對于不同的初始網(wǎng)格，給定一個全局誤差限，可以得到應力水平相當?shù)挠邢拊獞θ≈担淮嬖谝粋€全局誤差限，使得當繼續(xù)降低誤差限時，壩踵和壩趾的角緣應力趨于穩(wěn)定值。關鍵字：后驗誤差估計自適應有限元容許誤差限重力壩Abstract:Theadoptionofstressbasedonadaptivefiniteelementisdiscussed,anditisreceivedfromaoptimizedmeshwhichisdividedundercontrolofagivenglobalerrorlimit.TheZienkiewicz-Zhuposteriorierrorestimateandcorrespondingadaptivestrategyarefirstlypresent.Andthelinearelasticadaptivefiniteelementcalculationisappliedtoatypicalgravitydam.Resultsindicatethatthereexistsaglobalerrorlimit,whichmakethestressesatdamheelandtoeasymptoticallykeepstabilizationratherthanincreasewithoutlimit.Fordifferentmesh,equivalentstressvaluearegainedandaoptimizedmeshareunderthecontrolofthisglobalerrorlimit,.5%percentasaglobalerrorlimitissuggested.Keywords:hydraulicstructure;stressadoption;adaptivefiniteelementmethod;aposteriorierrorestimate;errorlimit由于有限元法的應力成果往往與所采用的單元型式和單元劃分有較大的關系，因此目前還難以提出相應的應力控制指標。另外，有限元法應力分析中存在著壩踵、壩趾的應力集中效應，這對應力評價及確定控制應力帶來困難，因此，有限元分析中應力取值一直是壩工界長期關注且尚未得到很好解決的關鍵技術問題之一。壩踵、壩趾等角緣應力集中部位往往是最受關注的應力控制部位。結構應力控制標準是建立在一定的應力取值方法基礎上的，兩者必須配套，這也是建立有限元應力控制標準的難點所在。李啟雄等通過工程實例的分析[1]，提出以壩基上游部分垂直拉應力分布的相對寬度作為控制標準。一些學者[4,5]以有限元計算所得應力成果推求大壩建基面內(nèi)力，并用材料力學公式反求等效應力。雖然最大等效應力比最大有限元應力減小了，但從拉應力范圍來看，等效應力的拉應力范圍比有限元應力的范圍增加了。從這一點來說，有限元等效應力法建議的方法和拉應力分布的相對寬度作為控制標準的方法產(chǎn)生了矛盾，因此它們不能相互統(tǒng)一。另外，李勝福[2]和趙代深[3]還從網(wǎng)格剖分的優(yōu)化方面研究了有限元應力控制標準的問題。本文提出了基于自適應網(wǎng)格誤差控制的有限元應力取值標準：即給定一個全局誤差作為自適應有限元網(wǎng)格剖分的準則，以此網(wǎng)格計算所得應力即為有限元應力取值。以全局誤差作為應力取值標準，優(yōu)點是明顯的：自適應網(wǎng)格誤差綜合反映了結構幾何形狀、材料特性和分區(qū)，荷載等結構要素的影響，且直接和應力精度相關聯(lián)；其本身又是一個客觀的無量綱數(shù)，特別適合作為不同結構的統(tǒng)一控制標準。本文應用ZZ后驗誤差估計方法及h-型自適應策略，分析了一個重力壩實例，重點考察三個問題：（1）給定一個全局誤差限，網(wǎng)格剖分是否總能滿足誤差要求且收斂？（2）對于不同的初始網(wǎng)格，給定一個全局誤差限控制值，有限元應力計算是否給出大致相同的應力取值？（3）是否存在一個全局誤差限控制值，使得當繼續(xù)降低誤差限時，壩踵和壩趾的角緣應力大體趨于穩(wěn)定值？不至于因全局誤差限改變，應力計算值即急劇變化。1后驗誤差估計與自適應策略后驗誤差估計的關鍵在于選擇合適的范數(shù)度量誤差。在大多數(shù)文獻中，是以能量范數(shù)度量誤差，即對每個單元估計其誤差的能量。如果計算結果的全局誤差不滿足要求，則需要重新設計網(wǎng)格，即對局部誤差較大的單元進行加密。1.1誤差估計及其漸進精確性[8,9]對于線彈性力學問題，令為有界域，為其邊界，基本方程如下：（1）在區(qū)域內(nèi)（2）（3）其中，—位移，—應力，—應變微分矩陣，—彈性常數(shù)矩陣，—體積力矢量，—線性微分算子，。為討論方便，假設被剖分為矩形單元。以位移為基本變量的有限元系統(tǒng)方程一般根據(jù)最小勢能原理建立。設分別為位移精確解和有限元解，應力精確解和有限元解分別為，定義位移和應力的局部誤差（4）養(yǎng)能量準范數(shù)誤差拖定義為（5）竄通常遵，除了簡打單問題之趣外，應力惡精確解怒很難求得育，因此需談要使用一拳個從有限馳元解顛修勻得到標的改進應嘆力聲來代替應鉆力精確解錯。使用應野力改進值局來近似計鍵算能量范混數(shù)誤差為（6）省系統(tǒng)引相對誤差妄和誤差估鋪計有效性迫指數(shù)菜定義為（7）式中趕蛇尺1.2粘留應力修勻辰過程虜對于羊階的位移遺有限元逼濟近，應力以在區(qū)域內(nèi)俘不連續(xù)也堡不準確。棉可以通過脊應力修勻沙，使應力駐在區(qū)域內(nèi)世具有與位令移相同的裁連續(xù)性，岔而且修勻印后的（改冠進）應力逗值比應力挽有限元解掛的精度高碎。妻令礎為改進的和節(jié)點應力瀉值，采用烘和位移相刑同的插值舊形函數(shù)垂，則應力湖改進值可量以寫作（8）扮本文叛介兵紹纖Zien捉kiew商icz海&Zh角u冠所使用的庭應力修勻凳方法，也臭就液是導Z晶Z緣應力修勻午過毅程脾[8杜]葡，從本質衰上說它是身一種投影凈法。獅在戒上，引入峰加權的余可量條件（9）按由此承解出（10）螞如果允方扔程余(10憲)便中的縫取為整個源求解域，助那么它所敞導出的方精程規(guī)模較炒大，計算秤求解開銷柄太大，在透實際計算途中，應力距修勻往往誠局限于局旋部的需要至進行網(wǎng)格塵自適應劃習分的區(qū)域逢（單元分逮片）。設佩表示單元哲分片中的綁單元個數(shù)屈，撫表示形成氏的積分點乒個數(shù)。在脹單元分片聰中，保我們至少瓜需要難個積分點校數(shù)據(jù)來計小算未知量士。引入的天加權余量岡條件可以銜轉化為線追性單方程蓬，其中（11）嶺將求草得的祖代簡入準(8勸)鎮(zhèn)式即可得君到修勻后橋的應力值灶，然后將新其回代荷入哪(6喜)匯式即可得丙到用修勻騙應力值表櫻示的誤差棉，接下來享就可以使夫用允、夾來控制自純適應過程野。訊互幻1.3彎紛自適應策鏈略必自適遵應分析的蝶最終目的技就是要實義現(xiàn)有限元坦的自動離婚散，實現(xiàn)無最優(yōu)網(wǎng)格港布局，以蘋提高求解繩精度，其很依據(jù)就是糞以上求得杠的誤差估掏計值，它昌要求所估眠計的各單焰元誤差指幫標相等，惱且應小于捎容許極限掘。桿脫秧Mar芬c掏程序引入書了網(wǎng)格的當局部自適慧應，并且陰提供了基寶于篇Z集Z躲應力修勻鄰后得到的史后驗誤差攻的自適應桶網(wǎng)格細探化維[9懲]褲。實際計霸算中，（12）兇其中事是需要局倘部加密的走單元片中圾的單元個壓數(shù)。泉如果覆，并且（13）截那么世單元筍就需要進梳行細化，埋網(wǎng)格細化蓮的內(nèi)容將此在下一節(jié)平中進行介魂紹。因需要戰(zhàn)說明的是害：筍的典型值給為：物通常情況縮下，超如果每個所網(wǎng)格對于具全局誤差獵的貢獻都類相等，則櫻稱為數(shù)學多上的最優(yōu)筒化網(wǎng)格魯。宜擱因子翻可以用來逆增強全局吵誤差航在自適應渡網(wǎng)格細化舒中所起的添作用，全午局誤差通趨過儀來影響網(wǎng)爺格細化過昆程。一般去情況下，說系數(shù)梳滿足關系嶄式將談蓮1.4早撈網(wǎng)格細化奸如果惑條奔件垃(13屋)堡成立，單材元哀可以按照羽三種方式粥進行自適齊應改進：耽方式：改掌變網(wǎng)格節(jié)心點的位置靈，如阿圖裙1(a音)磁所示鞠；賠運方式：改份變單元形窯函數(shù)階次蝴，如益圖班1(b陰)獲所示祝；戲條方式：改漂變單元尺慨寸，如碑圖輛1(c亮)盡所示處。喝聞強皂Mar膊c嘗軟件中采鐵用的是伴方式的網(wǎng)舒格細化，準而且在細岡化過程中凈產(chǎn)生了非銅協(xié)調的網(wǎng)抓格。汁為了龜從有限元親近似解中曠獲得相對券平滑的應恨力解，需體要對生成護的細分網(wǎng)況格有所控凱制，使得慈相鄰單元脾之間的級鈔差不超過氣一級，如張圖依2縮所示。從狡圖帽2碑中可以看換出來，新椅生成的單詠元之間可面能存在非籃協(xié)調節(jié)點懲，如單圖裂3懸所示，在凈實際的有挽限元計算問中需要引捎入多點約礎束附加條傘件。對袍于揀2倍維層和邀3熄維情形，跨分別有：否柱貢此(航14)理仗凳(湊a)衫方楚式洪(哈meth扛od擾)弟婆漢(西b)凱方蜜式預(硬meth各od本)尿蓋峽(蛙c)飄方浙式紀(顯meth臺od)闊伸圖啦1文連續(xù)單元根網(wǎng)格細化欲的三種不蔬同方法飼細化此單親元，創(chuàng)建薪平滑的級嫌差過渡恭撈秩購2興維蜻恢置犯3鑒維渡渣鹿根圖奮2非細化單元辦之間保證店級差連續(xù)搞墳杏礦圖嫩3餓引入多點幼約束方程足疑直湯跨2鄰君大壩應力染取值研掩究劈虎選取找某典型重選力壩剖面心，使姐用粥Mar眠c石程序進行洋平面應變聚條件下的添有限元計度算。計算別使陶用侍Z慈Z監(jiān)后驗誤差遣估計，進葡行線彈性裙計算捉。蝦Mar哪c旱程序根據(jù)浙給定的初哭始誤差限看，決定是簡否需要細途分網(wǎng)格，速最終結束鏈計算時得浸到一套優(yōu)苗化的計算始網(wǎng)格，通距過它求得閉的應力場凱的全局誤伙差以及各鑄個單元上倆的誤差將賣會滿足所驕給定的誤惡差限。耳計算龜條件：壩惜高顧100名m旅，底邊汽長院70勾m騰，壩頂寬摔度篩5沖m日；計算范稍圍是上游殃一倍壩高珠，下游兩管倍壩高，袋向下為兩儉倍壩高深螺度，如汁圖緞4趟所示。用把戶參數(shù)袍代表給定鋒的容許誤燭差限，可訂以調節(jié)，斧，最大級鮮差疑為亡3弊。簡初始靜網(wǎng)格如尊圖臟5障所示，本鋒文分別對零規(guī)則網(wǎng)格斜（左圖）蘭和非規(guī)則陵網(wǎng)格（右將圖）進行江計算，以鴉期證明：倘采用不同裝網(wǎng)格時，矛給定同樣姿的全局誤唇差限得到兆的有限元禾解應力水艦平相當。軟圖凝6輸從左到右談、從上到析下分別是籃誤差限設挨定陽為臟10選%自、羅7侵%苦、毛6也%奸、漸3拔%卷、木1牲%皇和芝0.5務%叫時的最終終網(wǎng)格。根擊據(jù)計算結喇果整理出災表校1酬的數(shù)據(jù)，得并將數(shù)據(jù)遍歸一化后貢繪制成如撞圖絮7普所示圖表澇。課從昏表誕1表我們可以說得到兩個睡結論：對爸于給定的懲全局誤差漲限，網(wǎng)格描剖分調整橋若干次后對即可滿足繼誤差要求繭；對于不扮同的初始魚網(wǎng)格，存抽在一個全沃局誤差限董控制值，耳使得壩踵頁處應力值迎趨于穩(wěn)定六【闖1妙】多。另外，救從鮮圖橡6宿可以看出悅，同樣使姻用四邊形抵網(wǎng)格，對黎于結構化剛的網(wǎng)格以體及非結構屠化的網(wǎng)格袋而言，利仿用后驗誤喪差估計指亮導產(chǎn)生的鵲網(wǎng)格加密倆區(qū)域反映皆了壩踵以猜及壩址應灶力集中區(qū)厚域應力梯節(jié)度較大的長特征。在長壩踵和壩駕趾存在角兆緣應力的蛇區(qū)域，網(wǎng)哄格密度也首較大，這儲樣得到的烘網(wǎng)格更加沖接近于工中程優(yōu)化網(wǎng)崖格。由技表濫1繼以及先圖嗎7玩我們還可鬧以得到本師文所提出帝的最后一每個結論：艱存在一個慚全局誤差枯限，使得鐘當繼續(xù)降眠低誤差限容時，壩踵乎和壩趾的輔角緣應力忠趨于穩(wěn)定或值。說采西用樂5膨％的容許劈誤差限，麥所需網(wǎng)格冶規(guī)模中等聾，而特征什應力值已釣經(jīng)處于穩(wěn)凈定狀態(tài)，跨因此由本給例的計算忽可以推薦船，設抖定學5神％的容許凝誤差限，沒求得的有使限元應力訊解可以看失作工程實難際可接受勉的應力解丟，用于指帆導工程設頑計。宰表綢1辮網(wǎng)格細化爹過程中的猴一些結果墓規(guī)則網(wǎng)捕格旋(蘭Stru柔ctur根edM愧esh)貸非規(guī)則網(wǎng)榨格癢(炊Unst勞ruct基ured色Mes蛋h)撈誤做差劈(說%)避細化次數(shù)轉單元數(shù)繪節(jié)點數(shù)爛(注MPa)漠(間MPa)掠最大楊(述MPa)武誤貧差營(誤%)飲細化次數(shù)訓單元數(shù)拉節(jié)點數(shù)察(惰MPa)擦(機MPa)罪最大吸(暮MPa)脊18疑1勢394宋448陣3.81苦3.99貝7.23凡16罰1救318場360撥3.29畝3.08慶8.58區(qū)15奧2愉460蘇534艦6.12左6.47瓣10.4脆9屬15禾2查318毯360朵3.29患3.08友8.58栗13檔3去580如677描9.30援9.85墨14.7曬7鐵13師2塞363遞418洋5.44進5.27探8.59守10撞4糞814吃945考13.7毯0謀14.5憂7北18.2完4吧10站3另471豆555渣8.37脹8.23攔11.1伍1燃7煎5邊1189尺1358柴13.7樸5始14.5法9桿20.5蓄4禾7售5肅924他1063乓12.4逼8狹12.3源7云15.8凝4濫6嫁6靈1669闊1875鞏13.7葬7臣14.6參2船20.5急8揉6謊6淘1221垃1405紋12.5姻0西12.4捆0極15.8儲7獸5舍13傭2431巴2689趕13.7袖8伏14.6浮3魄20.6攜0析5抵15油1899而2116布12.5孟1弟12.4慮0萬15.8冷8全4飯15暮2467達2734茄13.7柄8匆14.6蹄3映20.6津0橋4趨13蘿1899淘2116瘋12.5棄1連12.4粉0麥15.8仰8戰(zhàn)3腸13飯2473格2731繭13.7脹8敵14.6妻3咽20.6源0犁3泛17魂1950策2171輕12.5正1地12.4耍0范15.8哨8頓2怠13俯2479徑2730栽13.7廁8窄14.6狼3殿20.6攝0姑2明14執(zhí)1968厲2189數(shù)12.5渾1苦12.4露0與15.8悼8霞1羅15陽2521心2783診13.7績8跟14.6榴3答20.6球0火1親15脊1953普2176撇12.5敵1意12.4遞0傍15.8旱8奧0.5教17婚2563警2822暢13.7六8葡14.6自3傘20.6凍0輕0.5匠16憑1998慮2223村12.5歐1耕12.4鳴0分15.8俱8牛η懶=1謊0酒％窮η偷=辟7肆％漢η圍=航6咸％改η州=1饅0丘％炕η下=紅7喚％胖η鴨=死6在％長η團=釀3轉％嘆η晝=往1哪％末η行=0.那5系％同η貞=偏3虛％濤η拔=鑒1座％拴η今=0.帖5鍬％匆貫役(a)手灰規(guī)則網(wǎng)格魚旦議忌旅葬徐(b)鏡匪非規(guī)則網(wǎng)鉗格遵軟圖方6遭設置不同劇誤差限時紛的最終網(wǎng)翼格學遷圖透7慣歸一化坐椅標與誤差燥的關系宴誤給踏荷圖洪8羊壩踵至壩嫩趾一線燦應力分布飽由于轉容許誤差誠限是一個贏無量綱常伙數(shù)，因此捐適用于各偵種不同體換形、高度蜜的結構物懲。要作為饒指導工程我實踐的合蟲理的取值猜標準，還澆需要針對誘不同的建歐筑物類型刊和級別，呀規(guī)定相應城的允許誤止差。當然閑，疼5玩％的數(shù)值患由本次計術算得出，暴還需要做餃大量的校盈準分析和日應用經(jīng)驗宵積累等工銅作。另外豪，本次計術算是線彈騰性的，因候此容許誤敲差限對塑示性的影響謀還需要作處專門研究熔。限如宅圖華8愈所示，繪宋制了壩踵煎到壩趾一售線節(jié)點的嫁應力值與金容許誤差至限的關系糖，從中可斥以看出，竄當容許誤陰差達桑到舞3仰％時，失已經(jīng)漸進貪收斂于確袋定的應力蘿值，而且攝，在壩踵便和壩趾附命近的確存睬在應力集默中現(xiàn)象。型在壩體內(nèi)石部，使用磁不同誤差啦限算出的切應力值非丈常接近，嗽因此，此酸處的網(wǎng)格儲尺寸可以吧取得較大鑒一些。妄劫無3儉穿結刷論當攻通過悅本文的分屯析，說明槐了以下三革個問題：貫（寬1位）給定一惑個全局誤專差限，網(wǎng)耀格剖分調老整若干次竿后即可滿聾足誤差要邁求，不會速出現(xiàn)因角窩緣應力集啟中出現(xiàn)剖誤分不收斂孟的情況；努（均2懶）對于不授同的初始室網(wǎng)格，給虜定一個全丸局誤差限垃控制值，騰從有限元專應力計算善中能夠得歸到大致相俯同的應力損取值；趣（蘇3伸）存在一瓦個全局誤腸差限，使盼得當繼續(xù)偏降低誤差跟限時，壩那踵和壩趾甘的角緣應謠力趨于穩(wěn)東定值。鋪這三電點認識奠保定了以全帥局誤差限噸作為應力們?nèi)≈禈藴收沟幕A，論使壩踵和鏡壩趾的角舞緣應力趨社于穩(wěn)定值起的最大全器局誤差限叨即可作為伐全局誤差派限控制標羨準，通過扯本文的計副算，該全鉆局誤差限瘋范圍可以轎取打為鎖5笑％。脆參考醫(yī)文獻；罰１．赴李啟雄，辯苗琴生，者用有限元襲法計算重罵力壩應力倘時的控制蘿標才準拘[J浩]繡，西北水粱電熱.19諸96.4磨２．冶李勝福，殖混凝土重繳力壩自適驅應有限元濃應力分析額及改善壩撈踵應力分咐布狀態(tài)方展法探哄討勉[D凱]萄，大連理稀工大學碩漆士論文溉，哥2002袖.6燒３．蘿趙代深，輸重力壩有言限元計算拾網(wǎng)格剖分桑與應力控罪制標準問薪題維[J逃]塘，水利學籮報座.19止96.5朱４．止傅作新，禍錢向東，災有限單元口法在拱壩駕設計中的扒應尾用歉[J孤]碗，河海大園學學墻報澤.19緒91.3打５．探李同春，筐溫召旺，割拱壩應力多分析中的若有限元內(nèi)餡力著法嫂[J