2023屆廣西高三模擬考試數學（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用并集的定義求解作答.【詳解】依題意，，，所以.故選：C2．若復數z的虛部小于0，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出，根據復數除法運算即可得解.【詳解】因為，所以，又復數z的虛部小于0，所以所以故選：D3．若函數的最大值為4，則函數的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦函數的值域和的最大值求得，再由余弦型函數的周期公式求的最小正周期.【詳解】由，函數的最大值為4，則，函數的最小正周期為.故選：D4．若雙曲線C：的焦距大于6，C上一點到兩焦點的距離之差的絕對值為d，則d的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據雙曲線的方程求出焦距，再由雙曲線的定義求解.【詳解】因為雙曲線C：，所以，由題意可知，則，由雙曲線的定義知，.故選：A5．某舞臺燈光設備有一種25頭LED矩陣燈（如圖所示），其中有2頭LED燈出現故障，假設每頭LED燈出現故障都是等可能的，則這2頭故障LED燈相鄰（橫向相鄰或縱向相鄰）的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出橫向、縱向相鄰的LED燈總對數，再應用古典概型的概率求法求概率.【詳解】每列相鄰的LED燈共4對，共有5列，故橫向相鄰有種；同理縱向相鄰也有種，所以這2頭故障LED燈相鄰的概率為．故選：A6．若，，分別是定義在R上的偶函數、奇函數、偶函數，則下列函數不是偶函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據，，分別是定義在R上的偶函數、奇函數、偶函數，再由奇偶函數的定義逐項判斷即可.【詳解】若，則，則是偶函數，故A錯誤；若，則,則是偶函數，故B錯誤；若，則，則是奇函數，故C正確；若，則，則是偶函數，故D錯誤.故選：C7．如圖，△ABC與△BCD都是正三角形，，將△ABC沿BC邊折起，使得A到達的位置，連接，得到三棱錐，則“”是“二面角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由二面角的定義得出二面角的平面角為，進而由余弦定理，以及充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】取的中點為，連接，二面角的平面角為，易知，.若二面角為鈍角，則，，即.若，則，，則，又二面角的范圍是，所以二面角為鈍角.即“”是“二面角為鈍角”的充要條件.故選：B8．已知A，B，C是同一條直線上三個不同的點，O為直線外一點．在正項等比數列中，已知，，則的公比q的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據三點共線可得，利用表示后由求解即可.【詳解】因為A，B，C是同一條直線上三個不同的點，且，所以.因為正項等比數列，所以公比，又因為，所以，又，所以.故選：B9．若x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】畫出可行域，平移直線，找到在縱軸上截距最大、最小時經過的點，求出的取值范圍.【詳解】，滿足約束條件，表示的平面區域，如圖陰影部分所示：聯立，解得，即，由圖易得目標函數過點時，取最大值，沒有最小值.∴目標函數的取值范圍是.故選：C.10．設鈍角滿足，則（

）A． B． C．7 D．【答案】D【分析】根據給定條件，利用二倍角的余弦公式化簡求出，再利用同角公式及和角的正切公式求解作答.【詳解】因為，則，解得，而為鈍角，則，，所以.故選：D11．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，平面PAD⊥底面ABCD，，，，，則四棱錐P－ABCD外接球的表面積為（

）A．26π B．27π C．28π D．29π【答案】D【分析】建立坐標系，利用外接球的特點與性質確定球心和半徑，進而得出表面積.【詳解】取中點為，取的中點為，連接，因為，，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD⊥底面ABCD，平面,平面，平面，，則以點為坐標原點，建立坐標系，如下圖所示：設梯形外接圓的圓心為，由可得解得，則.設四棱錐P－ABCD外接球的球心坐標為.則球心到點與到點的距離相等，則即，故球心坐標為，半徑為.四棱錐外接球的表面積為.故選：D12．若函數的最小值為m，則函數的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，再根據函數的最小值為m，即可得解.【詳解】若，則，因為，所以，因為函數的最小值為m，所以函數的最小值也為m，所以.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵在于說明.二、填空題13．若隨機變量X的分布列為則X的數學期望為______________．X－1245P【答案】##【分析】根據期望公式計算即可.【詳解】.故答案為：.14．南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點到準線的距離為______cm.【答案】【分析】以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為軸，建立直角坐標系，設拋物線的標準方程為，根據題意得到點的坐標，代入求出參數的值，即可得解.【詳解】如圖，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為軸，建立直角坐標系，依題意可得的坐標為，設拋物線的標準方程為，則，解得.故該拋物線的焦點到準線的距離為cm.故答案為：15．若不等式對恒成立，則a的取值范圍是____________．【答案】【分析】通過參數分離等價轉化不等式，再求二次函數在給定區間的最值，即可求出a的取值范圍．【詳解】由不等式對恒成立，可轉化為對恒成立，即，而，當時，有最大值，所以，故答案為：．16．有窮數列共有k項，滿足，，且當，時，，則項數k的最大值為______________．【答案】【分析】分析數列為有窮數列，且，所以項數最大的項，利用累加法可得即可得解.【詳解】當時，，因為有窮數列，，，所以當項數最大時，，則，，，將以上各式相加得，即，，即，則.故答案為：三、解答題17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．(1)證明：．(2)若D為BC的中點，從①，②，③這三個條件中選取兩個作為條件證明另外一個成立．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化簡已知等式，可證；（2）三種情況，在中，利用余弦定理證明即可.【詳解】（1）已知，由余弦定理可得，即，又由正弦定理，得，角A，B為△ABC中內角，所以.（2）△ABC中,，D為BC的中點，如圖所示，①②③已知，，求證.證明：，中，，解得.①③②已知，，求證.證明：，所以中，.②③①已知，，求證：.證明：，在中，由余弦定理，，所以18．2016～2020年廣西城鄉居民人均可支配收入的柱形圖如下圖所示．(1)不考慮價格因素，求廣西2020年農村居民人均可支配收入的年增長率（結果精確到0.1%）．(2)現欲了解廣西各年城鎮居民人均可支配收入y（單位：元）與農村居民人均可支配收入x（單位：元）是否存在較好的線性關系．設廣西2016年城鎮居民人均可支配收入為元，農村居民人均可支配收入為元，2017年對應的數據分別為，，2018年對應的數據分別為，，2019年對應的數據分別為，，2020年對應的數據分別為，．根據圖中的五組數據，得到y關于x的線性回歸方程為．試問y關于x的線性相關系數r是否大于0.95，并判斷y與x之間是否存在較好的線性關系．參考數據：，，．附：樣本的相關系數，線性回歸方程中的系數，．【答案】(1)(2)，y與x之間存在較好的線性關系.【分析】（1）根據表中數據計算人均可支配收入的年增長率即可；（2）求出，再由已知求出，根據相關系數公式求出，【詳解】（1）因為廣西2020年農村居民人均可支配收入為14815元,廣西2019年農村居民人均可支配收入為13676元，所以廣西2020年農村居民人均可支配收入的年增長率為.（2）y關于x的線性回歸方程為，所以，所以，，所以，所以，故y與x之間存在較好的線性關系.19．如圖，四棱錐的底面為矩形，，，，平面平面．是的中點，是上一點，且平面．(1)求的值；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設平面與直線相交于點，連接，．根據線面平行的性質即可求解；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求線面角.【詳解】（1）設平面與直線相交于點，連接，．因為平面，平面，平面平面，所以．因為，平面，平面，所以平面．又平面平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，分別為，的中點，故．（2）因為，是的中點，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面.以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，．設平面的法向量為，則令，得，所以．設直線與平面所成的角為，則．20．已知函數．(1)設．①求曲線在點處的切線方程．②試問有極大值還是極小值？并求出該極值．(2)若在上恰有兩個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)①；②有極大值.(2)【分析】（1）求導，利用導數的幾何意義求斜率，根據點斜式即可求解切線方程；利用導數討論函數單調性即可求解極值問題.（2）由題意，轉化為方程有兩個解，即直線與函數，有兩個交點，構造，求導得到其單調性，數形結合，即可求出a的取值范圍.【詳解】（1）①當時，，則，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即．②令得，令得，令得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，由極值的定義知，當時，函數有極大值，無極小值.（2）因為函數在上恰有兩個零點，所以方程在上有兩個解，即在上有兩個解，記，，則直線與函數，有兩個交點，則，記，則，令得，令得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，令得，又，所以當時，，，函數單調遞增，當時，，，函數單調遞減，又，，如圖，由圖知，要使直線與函數，有兩個交點，則，所以函數在上恰有兩個零點時，a的取值范圍為.【點睛】方法點睛：已知函數零點的個數，求參數的取值范圍的常用方法：（1）直接法：直接根據題設條件列出關于參數的不等式，求解即可得出參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題進行求解；（3）數形結合法：對解析式適當變形，構造兩個函數，在同一平面直角坐標系中，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是方程根的個數，然后數形結合求解．常見類型有兩種：一種是轉化為直線與函數的圖象的交點個數問題；另一種是轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題．21．已知橢圓，斜率為2的直線l與橢圓交于A，B兩點．過點B作AB的垂線交橢圓于另一點C，再過點C作斜率為－2的直線交橢圓于另一點D．(1)若坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB的面積．(2)試問直線AD的斜率是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，說明理由．【答案】(1)(2)定值，.【分析】（1）設直線AB的方程為，由O到直線l的距離為，求出，聯立直線與橢圓方程，根據弦長公式求出，即可由面積公式求解；（2）由直線AB的方程聯立橢圓求出點A的坐標，同理由直線CD的方程聯立橢圓方程求出D點坐標，再由及點在橢圓上可得，，再根據斜率公式計算即可得解.【詳解】（1）設直線AB的方程為，因為到直線的距離為，所以，則.將代入，得，解得，則.故的面積為.（2）設，直線AB的方程為，代入，得，則，可得點A的坐標為設，直線CD的方程為，代入得則，可得點D的坐標為由得，因為，所以則，則.故直線AD的斜率為定值.22．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為參數）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為．(1)求C的極坐標方程；(2)若直線與C相交于A，B兩點，P為直線上的動點，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出C的普通方程，再根據即可得解；（2）先分別求出直線和直線的普通方程，聯立直線和C的普通方程，求出兩點的坐標，設，再根據數量積的坐標表示結合二次函數的性質即可得解.【詳解】（1）由，得，所以，即所以C的極坐標方程為；（2）的普通方程為，由直線的極坐標方程為，得其普通方程為，聯