第二章第七節對數函數第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三一、對數的定義一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝

，其中a叫做對數的

，N叫做

．logaN底數真數二、對數的性質1．loga1＝

；03．

和

沒有對數．2．logaa＝

；1負數零[理要點]第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三三、對數的運算性質如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：1．loga(M·N)＝

；logaM＋logaNlogaM－logaN3．logaMn＝

(n∈R)；nlogaM第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三四、對數函數的定義、圖象與性質定義函數y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數函數圖象a>10<a<1第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三性質定義域：

值域：當x＝1時，y＝0，即過定點

當0<x<1時，

；當x>1時，y∈

當0<x<1時，y∈

；當x>1時，y∈

；在(0，＋∞)上為

在(0，＋∞)上為

(0，＋∞)R(1,0)y∈(－∞，0)(－∞，0)(0，＋∞)(0，＋∞)增函數減函數第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三五、反函數指數函數y＝ax(a>0且a≠1)與對數函數

(a>0且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線

對稱．y＝xy＝logax第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三[究疑點]1．若MN>0，運算性質1、2還成立嗎？提示：不一定成立．2．指數函數y＝ax(a>0且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0且a≠1)的定義域和值域有何聯系？提示：函數y＝logax(a>0，且a≠1)的定義域是函數y＝ax(a>0，且a≠1)的值域，函數y＝logax(a>0，且a≠1)的值域是函數y＝ax(a>0，且a≠1)的定義域．第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三答案：D第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三2．(2010·四川高考)2log510＋log50.25＝ (

)A．0 B．1C．2 D．4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案：C第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三解：(1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3lg22－lg6＋lg6－2＝3lg5lg2＋3lg5＋3lg22－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三[歸納領悟]對數式的化簡與求值的常用思路(1)先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算法則化簡合并．(2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算．第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三答案：A第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三答案：D第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三4．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)討論函數f(x)的單調性．第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三解：(1)由ax－1＞0，得ax＞1.當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0.∴當a＞1時，f(x)的定義域為(0，＋∞)；當0＜a＜1時，f(x)的定義域為(－∞，0)．(2)當a＞1時，設0＜x1＜x2，則1＜

＜

，故0＜－1＜

－1，∴loga(

－1)＜loga(

－1)，∴f(x1)＜f(x2)，故當a＞1時，f(x)在(0，＋∞)上是增函數．類似地，當0＜a＜1時，f(x)在(－∞，0)上為增函數．第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三已知函數f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明．第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三[歸納領悟]利用對數函數的性質，求與對數函數有關的復合函數的值域和單調性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的．

注意：在處理與對數函數有關的問題時，應注意底數的取值范圍對解決問題的影響以及真數為正的限制條件．第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三[題組自測]第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三2．已知函數f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調遞增，則f(－2)________f(a＋1)．(填寫“<”“＝”“>”之一)解析：∵f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調遞增，∴a>1.∴a＋1>2.∵f(x)是偶函數，∴f(－2)＝f(2)<f(a＋1)．答案：<第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三3．已知f(x)＝log4(2x＋3－x2)．(1)求函數f(x)的單調區間；(2)求函數f(x)的最大值，并求取得最大值時的x的值．解：(1)先求定義域得x∈(－1,3)，由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4在區間(－1,1]上是增函數，在區間[1,3)上是減函數，又由y＝log4u在(0，＋∞)上是增函數，故原函數的單調遞增區間為(－1,1]，遞減區間為[1,3)．(2)因為u＝－(x－1)2＋4≤4，當x＝1時，umax＝4，所以y＝log4u＝log44＝1，所以當x＝1時，f(x)取最大值1.第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三4．已知函數y＝loga(x－1)在區間[3,4]上總有1<|y|<2，

試求實數a的取值范圍．第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三[歸納領悟]利用它們的單調性可以解決有關的大小比較問題，進而可解指數、對數不等式和方程，其基本方法是“同底法”，即將不等式和方程兩邊化為同底的指數式(或對數式)，然后利用指數函數和對數函數的單調性脫去冪的形式(或對數符號)，得出自變量的不等(或相等)關系，從而把問題轉化為熟悉的不等式(或方程)來解決．第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三一、把脈考情從近兩年的高考試題看，對數函數的性質是高考的熱點，題型一般為選擇題、填空題，屬中低檔題，主要考查利用對數函數的性質比較對數值大小，求定義域、值域、最值以及對數函數與相應指數函數的關系．預測2012年高考仍將以對數函數的性質為主要考點，重點考查運用知識解決問題的能力．第36頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三答案：D二、考題診斷1．(2010·天津高考)設a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，

則 (

)A．a＜c＜b

B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c解析：由于b＝(log53)2＝log53·log53＜log53＜a＝log54＜1＜log45＝c，故b＜a＜c.第37頁，共40頁，2023年，2月20日，星期三答案：A第38頁，共40頁，2023年，2月20日