人教課標實驗A版選修4-1第二講直線和圓的位置關系五與圓有關的比例線段優秀_第1頁
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文檔簡介

6．什么是圓冪定理？答：我們把相交弦定理及推論、切割線定理及推論統稱為圓冪定理．怎樣把這些定理聯系起來進行記憶和運用呢？用運動觀點看圓冪定理及切線長定理．在圖1中，P是⊙O內一點，過P作兩條弦AB、CD，得相交弦定理：PA·PB＝PC·PD．讓點P動起來，若P運動到⊙O上，作兩弦PA、PC，可認為P、B、D三點重合，此時仍有PA·PB＝PC·PD，如圖2所示．若P運動到⊙O外，作兩割線PAB、PCD，則得切割線定理的推論(也叫做割線定理)：PA·PB＝PC·PD，如圖3所示．若割線PBA和PDC的夾角逐漸變大，當點A和點B重合時，則PA是⊙O的切線，此時割線定理為PA·PA＝PC·PD即PA2＝PC·PD，割線定理變為割線定理，如圖4．若割線PCD繼續運動，使∠APC繼續擴大，直到C、D兩點重合時，則PC為⊙O的切線，此時切割線定理為PA2＝PC·PC即PA＝PC，切割線定理變成了切線長定理，如圖5所示．以上通過點、線段的運動把圓冪定理中的幾個定理和切線長定理聯系和統一起來了．用運動觀點進行一題多變，理解圓冪定理在各題中的應用．〔例1〕圖6中，⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB上任意一點P作兩圓的一條割線，分別交⊙O于C、D，交⊙O＇于E、F．求證：PC·PD＝PE·PF．證明：在⊙O中，弦AB、CD相交于P，則PA·PB＝PC·PD．在⊙O＇中，弦AB、EF相交于P，PA·PB＝PE·PF．所以PC·PD＝PE·PF．在兩個圓中分別用相交弦定理得等積式，再通過等量得出結論．若將例1中的P點的位置、有關的線段以及兩圓的位置進行變換可得以下練習題：(1)若⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB上任意一點P作兩弦交⊙O于C、D，交⊙O＇于E、F，如圖7所示．求證：PC·PD＝PE·PF．(2)圖8中，⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB的延長線上一點P，作兩圓的割線PCD、PEF．則PC·PD＝PE·PF．(3)圖9中，⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB的延長線上一點P，作⊙O的切線PC和⊙O＇的割線PEF，則PC2＝PE·PF．(4)圖10中，若⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB的延長線上一點P，作兩圓的切線PC、PD，則PC＝PD．(5)如圖11中，⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB的延長線上一點P作⊙O的切線PC，切點為C，此切線交⊙O＇于E、F兩點，則PC2＝PE·PF．(6)圖12中，⊙O和⊙O＇外切于A，PA是兩圓的公切線，PCD、PEF是兩圓的割線，則PC·PD＝PE·PF．(7)圖13中，⊙O和⊙O＇內切于A，PA是兩圓的

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