第20頁/共20頁深圳第二學期期中考試高二數學時間：120分鐘滿分：150分注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．1.已知兩個正態分布的密度函數圖像如圖所示，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】由正態分布密度函數圖像的性質，觀察圖像可得結果.【詳解】解：由正態分布密度函數圖像的性質可知：越大，圖像對稱軸越靠近右側；越大，圖像越“矮胖”，越小，圖像越“瘦高”.所以由圖像可知：，.故選：A.2.郵遞員把兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱中，則不同的投入方法共有（）A.6種 B.8種 C.9種 D.10種【答案】C【解析】【分析】根據分步乘法計數原理求解即可.【詳解】第一步先投一封信有3種不同的投法，第二步投剩余的一封信也有3種不同的投法，根據分步乘法計數原理可知，共有種不同的投法.故選：C3.10支步槍中有6支已經校準過，4支未校準，一名射擊運動員用校準過的槍射擊時，中靶的概率為，用未校準的槍射擊時，中靶的概率為，現從10支中任取一支射擊，則中靶的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設從10支中任取一支取得校準槍支為事件，取得未校準槍支為事件，分別求其概率，根據全概率公式求解即可.【詳解】設從10支中任取一支取得校準槍支為事件，取得未校準槍支為事件，中靶為事件，則,，所以.故選：B4.隨機變量的分布列如下，則（）012A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由分布列性質求出，再由分布列計算期望、方差，再由方差性質求解.【詳解】由分布列性質可知，，解得，所以，,所以.故選：D5.學校安排元旦晩會的4個舞蹈節目和2個音樂節目的演出順序，要求2個音樂節目要連排，且都不能在第一個演出，則不同的排法種數是（）A.96 B.144 C.192 D.240【答案】C【解析】【分析】按照捆綁法，結合排列數公式，即可求解.【詳解】將2個音樂節目看成1個元素，有種方法，和4個舞蹈節目共看成5個元素，其中2個音樂節目不排在首位，有4種方法，再全排列4個舞蹈節目，有種方法，所以共有種方法.故選：C6.2023年元旦期間，某高速公路收費站的三個高速收費口每天通過的小汽車數（單位：輛）服從正態分布，若，假設三個收費口均能正常工作，則這些收費口每天至少有一個通過的小汽車超過600輛的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據對稱性求，再利用對立事件求概率.【詳解】根據對稱性可知，,則3個收費口每天至少有一個通過的小汽車超過600的概率.故選：C7.的展開式中，的系數為（）A.60 B. C.30 D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，利用多項式乘法結合組合應用問題，列式計算作答.【詳解】因為，于是在5個多項式中，取2個用，再從余下3個多項式中取2個用，最后1個多項式用常數項相乘，因此含的項為，所以的系數為60.故選：A8.深圳實驗學校光明部高二年級來到井岡山古城鎮參加社會實踐，學校安排甲、乙、丙、丁、戊共5位老師到學生居住的塘頭村、沃壤村、長溪村進行走訪，要求每村至少安排一位老師，則塘頭村恰好只有甲老師的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型，再結合分組分配的方法求解.【詳解】5位老師到3個村進行走訪，每村至少安排一位老師，可以將5人分為3，1，1，或2，2，1兩種分組，再進行分配，共有種方法，若塘頭村恰好只有甲老師，相當于將剩下的4為老師，安排到剩下的兩個村，可以按照2，2或3，1兩種分組，再進行分配，共有，所以塘頭村恰好只有甲老師的概率.故選：B二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）．9.對兩個隨機變量一組觀測數據進行回歸分析，下列說法正確的是（）A.可以先用散點圖判斷兩個變量是否具有線性相關關系B.可以通過殘差圖發現原始數據中的可疑數據，殘差平方和越小，模型擬合效果越好C.可以用相關指數刻畫回歸效果，越接近0，說明模型的擬合效果越好D.回歸直線恒過樣本點的中心【答案】ABD【解析】【分析】根據線性回歸的操作流程和相關概念求解.【詳解】對于A，在求線性回歸方程之前，先畫出散點圖，觀察這組數據是否有線性相關性是必要的，正確；對于B，殘差的平方和越小，說明散點越接近回歸直線，擬合效果越好，正確；對于C，相關指數越接近于1，擬合效果越好，錯誤；對于D，回歸直線必須經過樣本的中心點，正確；故選：ABD10.已知，則（）A. B.C.展開式中所有二項式系數的和為1024 D.【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值，分別求ABD；再利用二項式系數和公式，判斷B.【詳解】A.令時，，故A正確；B.令，，所以，故B錯誤；C.展開式中所有二項式系數的和為,故C正確；D.令，，令，，兩式相加得，所以，故D正確.故選：ACD11.將5個質地和大小均相同的小球分裝在甲、乙兩個口袋中，甲袋中裝有1個黑球和1個白球，乙袋中裝有2個黑球和1個白球．采用不放回抽取的方式，先從甲袋每次隨機抽取一個小球，當甲袋中的1個黑球被取出后再用同一方式在乙袋中進行抽取，直到將乙袋中的2個黑球全部取出后停止．記總抽取次數為，下列說法正確的是（）A.B.已知從甲袋第一次就取到了黑球，則的概率為C.D.若把這5個球放進一個袋子里去，每次隨機抽取一個球，取后不放回，記總抽取次數為，則【答案】AC【解析】【分析】依題意，X的可能取值有3，4，5，Y的可能取值有3，4，5，求出相應的概率，再利用公式求出期望可驗證選項ACD，計算條件概率驗證選項B.【詳解】設從甲袋第一次就取到了黑球為事件A，則，設為事件B，則，所以，B選項錯誤；X可能的取值為3，4，5，，，，，選項AC正確；Y可能的取值為3，4，5，，，，，，選項D錯誤故選：AC12.商場某區域的行走路線圖可以抽象為一個的正方體道路網（如圖，圖中線段均為可行走的通道），甲、乙兩人分別從、兩點出發，隨機地選擇一條最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達、為止．下列說法正確的是（）A.甲從必須經過到達的方法數共有種B.甲從到的方法數共有種C.甲、乙兩人在處相遇的概率為D.甲、乙兩人相遇的概率為【答案】ABD【解析】【分析】利用組合計數原理結合分步乘法計數原理可判斷A選項；分析可知從點到點，一共要走步，其中向上步，向前步，向右步，結合分步乘法計數原理可判斷B選項；利用古典概型的概率公式可判斷C選項；找出兩人相遇的位置，求出兩人相遇的概率，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，從點到點，需要向上走步，向前走步，從點到點，需要向右走步，向前走步，所以，甲從必須經過到達的方法數為種，A對；對于B選項，從點到點，一共要走步，其中向上步，向前步，向右步，所以，甲從到的方法數為種，B對；對于C選項，甲從點運動到點，需要向上、前、右各走一步，再從點運動到點，也需要向上、前、右各走一步，所以，甲從點運動到點，且經過點，不同的走法種數為種，乙從點運動到點，且經過點，不同的走法種數也為種，所以，甲、乙兩人在處相遇的概率為，C錯；對于D選項，若甲、乙兩人相遇，則甲、乙兩人只能在點、、、、、、，甲從點運動到點，需要向上走步，向前走步，再從點運動到點，需要向前走步，向右走步，所以甲從點運動到點且經過點的走法種數為，所以甲、乙兩人在點處相遇的走法種數為，同理可知，甲、乙兩人在點、、、、處相遇的走法種數都為，因此，甲、乙兩人相遇的概率為，D對.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上）．13.的展開式中的常數項為_______．【答案】【解析】【分析】根據二項式展開式的通項公式，將代入通項中即可得到常數項.【詳解】展開式通項為：；令，解得：，展開式中的常數項為.故答案為：.14.甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽，已知每局比賽甲勝的概率為，乙勝的概率為，各局比賽的勝負互不影響，現采取7局4勝制，則甲獲勝且比賽局數恰好為5局的概率是________．【答案】【解析】【分析】利用獨立事件概率公式，即可求解.【詳解】由條件可知，第5局甲勝，前4局甲勝3局，所以甲獲勝且比賽局數恰好為5局的概率.故答案為：15.花店還剩七束花，其中三束郁金香，兩束白玫瑰，兩束康乃馨，李明隨機選了兩束，已知李明選到的兩束花是同一種花，則這兩束花都是郁金香的概率為________．【答案】##【解析】【分析】使用條件概率進行計算即可.【詳解】設事件“兩束花是同一種花”，事件“兩束花都是郁金香”，則積事件“兩束花都是郁金香”，事件中樣本點的個數為，積事件中樣本點的個數為，∴已知李明選到的兩束花是同一種花，則這兩束花都是郁金香的概率為.故答案為：.16.杜牧《羊欄浦夜陪安會》的詩句中“球來香袖依稀暖，酒凸觥心泛艷光”描述的是唐代酒宴上的助興游戲“擊鼓傳花”，也稱傳彩球．游戲規則為：鼓響時，眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時花在誰手中，誰就上臺表演節目．甲、乙、丙三人玩擊鼓傳花，鼓響時，第1次由甲將花傳出，每次傳花時，傳花者都等可能地將花傳給另外兩人中的任何一人，經過8次傳遞后，花又在甲手中的概率為________．【答案】【解析】【分析】首先設第次傳球后球在甲手中的概率為，，根據條件建立關于數列的遞推公式，再求通項公式，即可求解.【詳解】設第次傳球后球在甲手中的概率為，,則，得，，所以數列是以為首項，公比為的等比數列，所以，即，所以.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.記的內角，，的對邊分別為，，．已知，，．（1）求和的面積；（2）點在邊上，且，求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理及面積公式分別求解；（2）由余弦定理求出，再由正弦定理求.【小問1詳解】在中，由余弦定理，．．小問2詳解】在中，由余弦定理，，，，．在中，由正弦定理，．18.已知數列的前項和，數列滿足，且．（1）求數列和的通項公式；（2）設，求數列的前項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】對于，通過與得關系解決，對于，轉換為等比數列解決；運用錯位相減法求和.【小問1詳解】當時，；當時，，，，由題可得，得，是首項為，公比為2的等比數列，；【小問2詳解】，①，②，①-②得：，；綜上，，，，.19.如圖，在四棱雉中，底面為矩形，，，平面．（1）求證：平面；（2）當時，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質定理，結合線面垂直的判斷定理，即可證明；（2）利用垂直關系，以點的中點為原點，建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，利用法向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：平面，平面，．，且，，平面，平面．【小問2詳解】取的中點，連結，，，平面，平面，，，平面，平面，取中點，又，．分別以OA，OM，OP為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，在等腰中，，．，，，，，設平面的一個法向量為，，，，，令，得，，設平面的一個法向量為，，，，則，令，得，，．．注意到二面角的平面角為鈍角，二面角的余弦值為．20.某企業生產的產品按質量分為一等品和二等品，該企業計劃對現有生產設備進行改造，為了分析設備改造前后的效果，現從設備改造前后生產的大量產品中各抽取200件產品作為樣本，產品的質量情況統計如下表：一等品二等品合計設備改造前12080200設備改造后15050200合計270130400附：（1）判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為該企業生產的這種產品的質量與設備改造有關；（2）按照分層抽樣的方法，從設備改造前的產品中取得了5件產品，其中有3件一等品和2件二等品．現從這5件產品中任選3件，記所選的一等品件數為，求的分布列及均值；（3）根據市場調查，企業每生產一件一等品可獲利100元，每生產一件二等品可獲利60元，在設備改造后，用先前所取的200個樣本的頻率估計總體的概率，記生產1000件產品企業所獲得的總利潤為，求的均值．【答案】（1）能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為該企業生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關；（2）分布列見解析，（3）元【解析】【分析】（1）計算，與臨界值比較得出結論；（2）由題意，根據超幾何分布計算概率，列出分布列，計算期望即可；（3）由計算期望，再由期望的性質求.【小問1詳解】零假設為：質量指標值與設備改造無關．，不成立，故能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為該企業生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關；小問2詳解】由題意．，，，的分布列為：123．【小問3詳解】設生產的一等品有件，則二等品有件，由題意，，，元.21.設雙曲線的右焦點為，其中一條漸近線的方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，過點，分別作直線的垂線（點，在直線的兩側），垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在常數，使得?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據漸近線方程，焦點坐標以及關系即可得到方程組，解出即可；（2）設，，則，，再設，聯立橢圓方程