30圓的有關性質（含解析）

一、選擇題

1.（2020?遼寧營口，T7,3分）如圖，/R為O的直徑，點C,點。是O上的兩點,

連接。，CD,AD.若NC43=40。，則NADC的度數是（）

A.110°B.130°C.140°D.160°

【考點】M5；圓周角定理

【專題】555：多邊形與平行四邊形

【分析】連接3C,如圖，利用圓周角定理得到乙4cB=90。，則NB=50。，然后利用圓的

內接四邊形的性質求NADC的度數.

【解答】解：如圖，連接8C,

AB為O的直徑，

/.ZACB=90。，

.?.ZB=90o-ZC4B=90°-40o=50°.

ZB+ZADC=180P,

ZADC=180°-50°=130°.

故選：B.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦

是直徑.

2.（2020?四川內江,T8,3分）如圖，點A、B、C、。在。上，Z4OC=120°,點8是AC

的中點，則/。的度數是（）

40°C.50°D.60'

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關系；M5：圓周角定理；M6：圓內接四邊形的性質

【專題】64：幾何直觀;559：圓的有關概念及性質

【分析】連接03,如圖，利用圓心角、弧、弦的關系得到ZAOB=NCO3=LN4OC=60。,

2

然后根據圓周角定理得到NO的度數.

【解答】解：連接08,如圖,

點8是AC的中點，

ZAOB=ZCOB=-ZAOC=-xl20°=60°,

22

ZD=-^AOB=30°.

2

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.

3.（2020黑龍江牡丹江，T14,3分）如圖，四邊形AfiCD內接于。，連接瓦）.若Q現

NBDC=50°,則ZADC的度數是（）

O

D

A.125°B.130°C.135°D.140°

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關系；M5：圓周角定理；M6：圓內接四邊形的性質

【專題】14：證明題；64：幾何直觀

【分析】連接04,OB,OC,根據圓周角定理得出N80C=100。，再根據4C=BC得到

ZAOC,從而得到NABC,最后利用圓內接四邊形的性質得到結果.

【解答】解：連接Q4,OB,OC,

NBDC=50。,

ZBOC=2ZBDC=100°,

AC=BC,

.-.ZBOC=ZAOC=100o,

ZABC=-ZAOC=50°,

2

s.ZADC=1800-ZABC=130°.

【點評】本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關系，圓內接四邊形的性質，關鍵在于

畫出半徑，構造圓心角.

4.（2020湖北宜昌，T10,3分）如圖，E,F,G為圓上的三點，NEEG=50。，。點可

能是圓心的是（）

5,

O'

C.U------XGD.p

【考點】M5：圓周角定理

【專題】559：圓的有關概念及性質

【分析】利用圓周角定理對各選項進行判斷.

【解答】解：ZFEG=50P,

若P點圓心，

4FPG=24FEG=100°.

故選：C.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.

5.（2020?眉山，T8,4分）如圖，四邊形的外接圓為O,BC=CD,N/MC=35。，

ZACD=45°.則NAZJB的度數為（）

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關系

【專題】64：幾何直觀；559：圓的有關概念及性質

【分析】利用圓心角、弧、弦的關系得到OC=BC,再利用圓周角定理得到

Zfi4C=ZZMC=35°,ZABD=ZACD^=45°,然后根據三角形內角和計算/4D5的度數.

【解答】解：BC=CD,

DC=BC,

:.ZBAC=ZDAC=35°,

ZABD=ZACD=45°,

/.ZADB=180°-Zfi4Z5-ZABZ)=180°-70°-45°=65°.

故選：C.

【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等,

所對的弦也相等.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那

么它們所對應的其余各組量都分別相等.

6.（2020湖北武漢，T9,3分）如圖，在半徑為3的。中，是直徑，AC是弦，D是

AC的中點，AC與BD交于點、E.若E是巫>的中點，則AC的長是（）

A.-^3B.36C.3>/2D.472

2

【考點】M2：垂徑定理；M4：圓心角、弧、弦的關系

【專題】67：推理能力：559：圓的有關概念及性質

【分析】連接OD,交AC于F,根據垂徑定理得出OD^AC,AF=CF,進而證得DF=BC,

根據三角形中位線定理求得0尸=L8。=，0/，從而求得BC=DF=2,利用勾股定理即可

22

求得AC.

【解答】解：連接OD,交AC于尸，

D是AC的中點，

:.ODLAC,AF=CF,

.\ZDFE=90°，

OA=OB,AF=CF,

.?.OF=-BC.

2

AB是直徑，

.?.ZACS=90。，

在AEFD和AECB中

Z￡>FE=ZACB=90°

</DEF=/BEC

DE=BE

:.^EFD^\ECB{AAS),

:.DF=BC,

:.OF=-DF,

2

00=3,

:.OF=\,

:.BC=2,

在RtAABC中，AC2=AB2-BC2,

AC=VAS2-BC2=762-22=40,

故選：D.

【點評】本題考查了垂徑定理，三角形全等的判定和性質，三角形中位線定理，熟練掌握性

質定理是解題的關鍵.

7.（2020湖北荊州，T10,3分）如圖，在6x6的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是

1,點A,B,C均在網格交點上，。。是△ABC的外接圓，貝Ijcos/BAC的值為（）

【考點】M5：圓周角定理；MA：三角形的外接圓與外心；T7：解直角三角形.

【專題】559：圓的有關概念及性質；67：推理能力.

【分析】作直徑8。連接CD,根據勾股定理求出3D,根據圓周角定理得到NBAC=/

BOC,根據余弦的定義解答即可.

【解答】解：如圖，作直徑B。，連接CD,

由勾股定理得，"+4?=2后,

CD42^/5

在Rt^BQC中，cosZBDC=——=—產

BD2也5

由圓周角定理得，NBAC=/BDC,

275

cosZBAC—cosZBDC-----,

5

故選：B.

【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、余弦的定義是解題的

關鍵.

8.（2020?廣東深圳，T9,3分）以下說法正確的是（）

A.平行四邊形的對邊相等

B.圓周角等于圓心角的一半

C.分式方程—L=3—2的解為x=2

x—2x—2

D.三角形的一個外角等于兩個內角的和

【考點】B2：分式方程的解；M5：圓周角定理：L5：平行四邊形的性質；M4：圓心角、

弧、弦的關系

【專題】522：分式方程及應用；559：圓的有關概念及性質；555：多邊形與平行四邊形；

69：應用意識

【分析】根據平行四邊形的性質對A進行判斷；根據圓周角定理對5進行判斷；利用分式

方程有檢驗可對C進行判斷；根據三角形外角性質對。進行判斷.

【解答】解：A、平行四邊形的對邊相等，所以A選項正確；

3、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，所以3選項錯誤；

C、去分母得l=x-l-2（x-2）,解得x=2,經檢驗原方程無解，所以C選項錯誤；

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，所以。選項錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.

9.（2020?山東聊城，T9,3分）如圖，Afi是。的直徑，弦垂足為點用，連

接OC,DB.如果OC//DB,OC=2日那么圖中陰影部分的面積是（）

A.nB.27rC.37tD.4%

【考點】MO：扇形面積的計算

【專題】67：推理能力；55C：與圓有關的計算；66：運算能力

【分析】連接8,BC,根據垂徑定理和等腰三角形的性質得到。M=C1，

/COB=/BOD,推出是等邊三角形，得到NBOC=60。，根據扇形的面積公式即可

得到結論.

【解答】解：連接8,BC,

CDVAB,OC=OD,

:.DM=CM,4COB=4BOD,

OC//BD,

??.NCOB=NOBD,

:.ZBOD=NOBD,

:.OD=DB,

NBOD是等邊三角形，

:.ZBOD=60°,

/.ZBOC=60°,

DM=CM,

S&OBC=S&OBD

OC/1DB,

4q&OBD-—q

?*,S&OBC=SA05c'

，圖中陰影部分的面積=6（）M（2局=2萬,

360

【點評】本題考查了垂徑定理、扇形面積的計算，圓周角定理，通過解直角三角形得到相關

線段的長度是解答本題的關鍵.

10.（2020?山東臨沂，T14,3分）如圖，在。中，A3為直徑，N4OC=80。.點。為弦AC

的中點，點E為BC上任意一點.則NCa的大小可能是（）

【考點】M5：圓周角定理；M4：圓心角、弧、弦的關系

【專題】558：平移、旋轉與對稱；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】連接8、OE,設N8OE=x,則NCOE=l（X）o-x,ZDOE=100°-x+40°,根

據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出ZDEO^Z.CEO,即可求出答案.

【解答】解：連接8、OE,

OC=OA,

4c是等腰三角形，

點。為弦的中點，

:.ZDOC=40°,ZBOC=100°,

設ZBOE=x,!JliJZCOE=100o-x,ZDOE=1000-x+40°,

OC=OE,ZCO￡'=100°-x,

ZOEC=ZOCE=400+L,

2

OD<OE,ZD(9E=100o-x+40o=140o-x,

^OED<20°+-x,

2

NCED=NOEC-NOED>(40°+x)-(20°+!x)=20°,

ZCED<ZABC=40°,

/.200<ZC￡￡><40°

故選：C.

【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，圓周角定理，等腰三角形的性質等知識點,

能求出NOEC和NOEZ）的度數是解此題的關鍵.

11.（2020?山東青島，T6,3分）如圖，8。是。。的直徑，點A,C在。。上，=AD，

AC交8。于點G.若NCO￡>=126。，則/AG8的度數為（)

C.110°D.117°

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關系；M5：圓周角定理.

【專題】559：圓的有關概念及性質；64：幾何直觀.

【分析】根據圓周角定理得到NBAO=90。，ZDAC=ZCOD=63°,再由Ag=A￡）得

到/B=/O=45。，然后根據三角形外角性質計算/AG8的度數.

【解答】解：：B。是。。的直徑，

AZBAD=90%

"-'ABAD>

；.NB=ND=45。,

11

ZDAC=-ZCOD=-xl26°=63°,

22

ZAGB=ZDAC+Z￡>=63°+45°=108°.

故選：B.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓

周角所對的弦是直徑.

12.（2020?徐州,T1,3分）如圖，AB是。的弦，點C在過點5的切線上，OCLOA,OC

交A5于點尸.若N8PC=70。，則NA8C的度數等于（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

【考點】M2：垂徑定理；MC-.切線的性質；A/5：圓周角定理

【專題】55A：與圓有關的位置關系；64：幾何直觀

【分析】先利用對頂角相等和互余得到NA=20。，再利用等腰三角形的性質得到

ZOBA=ZA=20°,然后根據切線的性質得到OB_LBC,從而利用互余計算出Z4BC的度

數.

【解答】解：OC_LOA,

/.ZAOC=90°,

ZAPO=ZBPC=JO0,

.?.ZA=90°-70°=20°,

OA=OB,

.?.ZOBA=ZA=20°,

BC為O的切線，

.-.OBA.BC,

.?.Z<9BC=90°,

/.ZABC=90°-20°=70°.

故選：B.

【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑；若出現圓的切線，必連

過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系.

1.（2020?包頭?T9?3分）如圖，AB是OO的直徑，C。是弦，點C,力在直徑AB的兩側.若

ZAOC：ZAOD：NDOB=2：7：11,CD=4,則CO的長為（）

A.2nB.4nC.-------D.s/2TT

2

【考點】MN：弧長的計算.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；55C：與圓有關的計算；66：運算能力.

【分析】根據平角定義和已知求出ZAOD=70°,/。。8=110°,ZCOA=20°,求出

NCOQ=90°,解直角三角形求出半徑0￡>,再根據弧長公式求出即可.

【解答】解：VZAOC：AAOD-.NDOB=2：7：11,

40。+/。。8=180°,

7

；./AOO=--------X180°=70°,NDOB=110°,/COA=20°,

7+11

AZCOD=ZCOA+ZAOD^90°,

'：OD=OC,CD=4,

.\2OD2=42,

：.OD=2y/2,

...?90/r+2A/2n-

CD的長是----------=兀,

180

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形和弧長公式，能求出半徑0。的長是解此題的關鍵.

1.（2020湖南張家界，T5,3分）如圖，四邊形舫8為。的內接四邊形，已知N8CZ）為

120。，則N88的度數為（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【考點】M5：圓周角定理；M4：圓心角、弧、弦的關系

【專題】559：圓的有關概念及性質；67：推理能力

【分析】根據圓內接四邊形的性質求出NA，根據圓周角定理計算，得到答案.

【解答】解：四邊形ABCD是O的內接四邊形，

/.Z4=180°-ABCD=60°,

由圓周角定理得，ZBOD=2ZA=120°,

故選：C.

【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵.

2.1.（3分）（2020?營口）如圖，49為O的直徑，點C,點。是。上的兩點，連接C4,

CD,AD.若NC4B=40。，則/ADC的度數是（）

D

B

A.110°B.130°C.140°D.160°

【考點】M5：圓周角定理

【專題】555：多邊形與平行四邊形

【分析】連接3C,如圖，利用圓周角定理得到NACB=90。，則NB=50。，然后利用圓的

內接四邊形的性質求NAOC的度數.

【解答】解：如圖，連接BC,

AB為。的直徑，

/.ZACB=90°,

NB=90°-NC4B=90°-40°=50°,

ZB+ZADC=180。，

/.ZADC=180°-50°=130°.

故選：B.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦

是直徑.

3.1.（2020湖南永州，T7,4分）如圖，已知P4,PB是O的兩條切線，A,B為切點,

線段OP交。于點M.給出下列四種說法：

①PA=PB；

@OPLAB；

③四邊形OAP8有外接圓；

④M是AAOP外接圓的圓心.

其中正確說法的個數是（）

A

A.1B.2C.3D.4

【考點】MC：切線的性質；MA：三角形的外接圓與外心

【專題】30：圓的有關概念及性質31：點直線與圓的位置關系;

【分析】利用切線長定理對①進行判斷;利用線段的垂直平分線定理的逆定理對②進行判斷;

利用切線的性質和圓周角定理可對③進行判斷；由于只有當NAPO=30。時，OP=2OA,此

時尸河=OM,則可對④進行判斷.

【解答】解：PA,PB是O的兩條切線，A,B為切點、,

:.PA=PB,所以①正確;

OA=OB,PA=PB,

.?.OP垂直平分4?,所以②正確;

PA,P8是O的兩條切線，A,8為切點,

:.OAVPA,OBLPB,

:.ZOAP=ZOBP=9Q°,

.?.點A、3在以OP為直徑的圓上,

.?.四邊形。4P8有外接圓，所以③正確;

只有當NAPO=30。時，OP=2OA,MPM=OM,

是不一定為AAOP外接圓的圓心，所以④錯誤.

【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.若出現圓的切線，必連

過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系.也考查了切線長定理.

2.（2020吉林長春，T6,3分）如圖，4?是O的直徑，點C、。在O±,ZBDC=20°.

則NAOC的大小為（）

A.400B.1400C.160°D.170°

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關系；M5：圓周角定理

【專題】30：圓的有關性質；64：幾何直觀

【分析】先利用圓周角定理得到NBOC=40。，然后根據鄰補角的定義計算出Z4OC的度數.

【解答】解：ZBOC=2ZBDC=2x20°=40°,

/.ZAOC=180°-40°=140°.

故選：B.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.

4.1.（2020?甘肅武威，T9,3分）如圖，A是O上一點，8C是直徑，AC=2,/由=4,

A.2夜B.75C.20D.x/10

【考點】M5：圓周角定理

【專題】559：圓的有關概念及性質；554：等腰三角形與直角三角形；69：應用意識

【分析】先根據圓周角得：ZBAC=ZD=900,根據勾股定理即可得結論.

【解答】解:點。在O上且平分8C,

BD=CD,

BC是O的直徑，

.?.ZBAC=ZD=90°,

AC=2,AB=4,

BC=6+42=2后,

RtABDC中，DC2+BD2=BC2,

2DC2=20,

DC=M,

故選：D.

【點評】本題考查圓周角定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,

學會利用勾股定理求線段的長，屬于中考常考題型.

1.（2020甘肅武威、金昌，T9,3分）如圖，A是。上一點，BC是直徑，AC=2,AB=4,

A.2>/2B.也C.275D.V10

【考點】M5：圓周角定理

【專題】559：圓的有關概念及性質；554：等腰三角形與直角三角形；69：應用意識

【分析】先根據圓周角得：NS4c=/。=90。，根據勾股定理即可得結論.

【解答】解：點。在。上且平分BC,

BD=CD,

BC是O的直徑，

ZBAC=ZD=90°,

AC=2,AB=4,

BC=V22+42=2A/5,

RtABDC中，DC2+BD2=BC2,

20c2=20,

DC=M,

故選：D.

【點評】本題考查圓周角定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,

學會利用勾股定理求線段的長，屬于中考?？碱}型.

2.（2020四川重慶,T4,4分）如圖，是O的切線，A為切點，連接Q4,.若48=35。,

則NAO8的度數為（）

【考點】MC：切線的性質

【專題】55A：與圓有關的位置關系：67：推理能力

【分析】根據切線的性質得到/。3=90。，根據直角三角形的兩銳角互余計算即可.

【解答】解：是。的切線，

:.OA±AB,

.-.ZOAB=90°,

ZAOB=90。一NB=55°,

故選：B.

【點評】本題考查的是切線的性質，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵.

5.1.（2020溫州T7,4分）如圖，菱形。48c的頂點A,B,C在O上，過點8作O

的切線交。4的延長線于點。.若。的半徑為1,則的長為（）

A.1B.2C.72D.G

【考點】L8：菱形的性質；MC-.切線的性質；M5：圓周角定理

【專題】55A：與圓有關的位置關系；67：推理能力

【分析】連接08,根據菱形的性質得到。4=9,求得4403=60。，根據切線的性質得

到N￡）8O=9（P,解直角三角形即可得到結論.

【解答】解：連接03,

四邊形Q4BC是菱形，

/.OA=AB，

OA=OB,

OA=AB=OB，

:.ZAOB=60P,

BD是O的切線，

:.ZDBO=90°,

OB=\,

:.BD=>/3OB=y/3,

【點評】本題考查了切線的性質，菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形,

熟練正確切線的性質定理是解題的關鍵.

1.（2020?泰安T6.4分）如圖，R4是O的切線，點A為切點，OP交。于點B,ZP=10。,

點C在。上，OCV/A8.則N84C等于（）

B

“、O)

A.20°B.25°C.30°D.50°

【考點】M5：圓周角定理；MC：切線的性質

【專題】55A：與圓有關的位置關系；67：推理能力

【分析】連接。4,根據切線的性質得到NQ4O=90。，求出NAOP,根據等腰三角形的性

質、平行線的性質求出NBOC,根據圓周角定理解答即可.

【解答】解：連接。4,

是。的切線，

:.OA±AP,

ZPAO=90°,

??.ZAOP=90°-ZP=80°,

OA=OB,

.\ZOAB=ZOBA=50°,

OCI/AB,

ZBOC=ZOBA=50°f

由圓周角定理得，ZBAC=-ZBOC=25°,

2

故選：B.

B

【點評】本題考查的是切線的性質、圓周角定理、平行線的性質、等腰三角形的性質，掌握

圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵.

2.（2020?泰安T8.4分）如圖，AABC是。的內接三角形，AB=BC,ZE4c=30。，AD

是直徑，4）=8,則AC的長為（）

O

A.4B.46C.-A/3D.273

3

【考點】MA：三角形的外接圓與外心；似4：圓心角、弧、弦的關系；M5：圓周角定理

【專題】559：圓的有關概念及性質；67：推理能力

【分析】連接8,根據等腰三角形的性質得到NACB=N5AC=30。，根據圓內接四邊形的

性質得到"=180。-28=60。，求得NC40=3O。，根據直角三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：連接CD,

AB=BC,ZZMC=30°,

/.ZACB=ZBAC=30°,

/.ZB=180°-30°-30°=120°,

/.ZD=180o-ZB=60°,

.-.ZC4￡>=30°,

A￡）是直徑，

/.ZACD=90°,

AD=8,

.-.CD=-AD=4,

2

AC=yjAD2-CD2=Jg-G=4^,

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，含30。角的直角三角形的性質,

勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵.

3.（2020?煙臺T8.3分）量角器測角度時擺放的位置如圖所示，在AAOB中，射線OC交邊

AB于點D,則NADC的度數為（）

A.60°B.70°C.80°D.85°

【考點】M5：圓周角定理

【專題】66：運算能力；559：圓的有關概念及性質

【分析】根據等腰三角形的性質，三角形的外角的性質即可得到結論.

【解答】解：OA=OB,ZAOB=140°,

ZA=ZB=g（180°-140°）=20°,

ZAOC=60°,

/.ZADC=ZA+ZAOC=200+60°=80°,

故選：c.

【點評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，正確的識別圖形

是解題的關鍵.

1.（2020陜西，T9,3分）如圖，AABC內接于。。，ZA=50°.E是邊8c的中點，連接

OE并延長，交。。于點。，連接BQ,則/。的大小為（）

A.55°B.65°C.60°D.75°

【考點】M5：圓周角定理；MA：三角形的外接圓與外心.

【專題】559：圓的有關概念及性質；67：推理能力.

【分析】連接C。，根據圓內接四邊形的性質得到NCZ）8=180。-N4=130。，根據垂徑

定理得到OO_L8C,求得BD=CD,根據等腰三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：連接CD,

,/ZA=50°,

AZCDS=1800-NA=130°,

是邊BC的中點，

ODA.BC,

：.BD=CD,

：.ZODB=ZODC=-NBDC=65,

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓內接四邊形的性質，垂徑定理，等腰三角形

的性質，正確的理解題意是解題的關鍵.

1.（2020瀘州，T7,3分）如圖，。中，AB=AC,NABC=70。.則NBOC的度數為（

）

A.100°B.90°C.80°D.70°

【考點】M5：圓周角定理；M4：圓心角、弧、弦的關系

【專題】64：幾何直觀；559：圓的有關概念及性質

【分析】先根據圓周角定理得到NA8C=N4C8=70。，再利用三角形內角和計算出

ZA=40°,然后根據圓周角定理得到NBOC的度數.

【解答】解：AB=AC,

...ZABC二=70°,

.'.ZA=180°-70°-70°=40°,

.-.ZBOC=2ZA=80°.

故選：C.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.

6.1.（2020北京，T4,2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）

【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形

【專題】558：平移、旋轉與對稱；64：幾何直觀

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

8、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；

。、既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的知識，關鍵是掌握好中心對稱圖形與軸對稱

圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是

要尋找對稱中心，圖形旋轉180。后與原圖重合.

2.（2020福建，T4,4分）下列給出的等邊三角形、平行四邊形、圓及扇形中，既是軸對

稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【考點】R5：中心對稱圖形；P3：軸對稱圖形

【專題】55F：投影與視圖；64：幾何直觀

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A.等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

B.平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；

C.圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

D.扇形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.

故選：C.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱

軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合.

7.1.（2020安徽，T9,4分）已知點A,B,C在。上，則下列命題為真命題的是（

A.若半徑08平分弦AC,則四邊形Q48C是平行四邊形

B.若四邊形。ABC是平行四邊形，則=120。

C.若NABC=120。，則弦AC平分半徑08

D.若弦AC平分半徑08,則半徑08平分弦AC

【考點】O1：命題與定理

【專題】67：推理能力；559：圓的有關概念及性質

【分析】根據垂徑定理，平行四邊形的性質判斷即可.

【解答】解：A、如圖，

B

若半徑OB平分弦AC,則四邊形。ABC不一定是平行四邊形；原命題是假命題;

B、若四邊形Q4BC是平行四邊形，

則AB=OC,OA=BC,

OA=OB=OC,

:.AB=OA=OB=BC=OC,

..ZABO=NO3C=60°,

:.ZABC=120°,是真命題;

若NABC=120。，則弦AC不平分半徑OB,原命題是假命題;

D、如圖，

若弦AC平分半徑08,則半徑08不一定平分弦AC,原命題是假命題;

故選：B.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判

斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

1.（2020浙江湖州，T4,3分）如圖，已知四邊形438內接于O,ZABC=1O°,則N/CC

的度數是（）

A.70°B.110°C.130°D.140°

【考點】A/5：圓周角定理；M6：圓內接四邊形的性質

【專題】559：圓的有關概念及性質；66：運算能力

【分析】根據圓內接四邊形的性質即可得到結論.

【解答】解：四邊形內接于O,NABC=7G,

/.ZADC=180o-ZABC=180o-70°=l10°,

故選：B.

【點評】本題考查了圓內接四邊形的性質，熟練掌握圓內接四邊形的性質是解題的關鍵.

1.（2020廣州，T8,3分）往直徑為52c7〃的圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示,

若水面寬A8=48a〃，則水的最大深度為（)

B.10cmC.16cmD.20cm

【考點】M3：垂徑定理的應用

【專題】559：圓的有關概念及性質；554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力

【分析】連接03,過點O作OCLAfi于點。，交O于點C,先由垂徑定理求出8。的長,

再根據勾股定理求出OD的長，進而可得出8的長.

【解答】解：連接08,過點。作OC_LA8于點D,交O于點C,如圖所示:

AB=48,

:.BD=-AB=-x48=24,

22

。的直徑為52,

,-.OH=OC=26,

在RtAOBD中，OD=JOB2-BD?=126?-24,=10,

CD=OC-OD=26-10=16(CTO),

【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識；根據題意作出輔助線，構造出直角三角形

是解答此題的關鍵.

2.（2020甘肅金昌，T9,3分）如圖，A是。上一點，8C是直徑，AC=2,AB=4,

A.2應B.百C.2行D.M

【考點】M5：圓周角定理

【專題】559：圓的有關概念及性質；554：等腰三角形與直角三角形；69：應用意識

【分析】先根據圓周角得：N8AC=ZD=90。，根據勾股定理即可得結論.

【解答】解：點。在。上且平分BC,

BD=CD,

BC是O的直徑,

:.ZBAC=ZD=90°,

AC=2,AB=4,

BC=72?+4?=2遙,

RtABDC中，DC2+BD1=BC2,

20c2=20,

DC=y/10,

故選：D.

【點評】本題考查圓周角定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,

學會利用勾股定理求線段的長，屬于中考?？碱}型.

2.（2020浙江金華，T8,3分）如圖，O是等邊AABC的內切圓，分別切43,BC,AC

于點E,F,D,P是。F上一點，則NEP尸的度數是（）

A.65°B.60°C.58°D.50°

【考點】KK；等邊三角形的性質；MC-.切線的性質；MI：三角形的內切圓與內心；M5：

圓周角定理

【專題】69：應用意識；55C：與圓有關的計算

【分析】如圖，連接OE,OF.求出NEO產的度數即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接OE,OF.

。是AABC的內切圓，E,尸是切點，

:.OE±AB,OFVBC,

:.ZOEB=ZOFB=9Q°,

AABC是等邊三角形，

/.ZB=60°,

:.ZEOF=nO°,

NEPF=-NEOF=60°,

2

故選：B.

【點評】本題考查三角形的內切圓與內心，切線的性質，圓周角定理等知識，解題的關鍵是

熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

3.（2020浙江杭州，T9,3分）如圖，已知3c是。的直徑，半徑041.，點。在劣弧

AC上（不與點A,點C重合），BD與OA交于點、E.設44EE>=a,ZAOD=J3,則（

）

A.3a+/7=18O°B.2a+尸=180。C.3a-尸=90。D.2a—4=90。

【考點】M5：圓周角定理

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力；559：圓的有關概念及性質

【分析】根據直角三角形兩銳角互余性質，用a表示NCBO,進而由圓心角與圓周角關系,

用a表示NCOO,最后由角的和差關系得結果.

【解答］解：OA±BC,

:.ZAOB=ZAOC=90°,

ZDBC=90°-ZBEO^90°-^AED=90°-a,

NCOD=2ZDBC=180°-2a,

ZAOD+ZCOD=90°,

"+180。-2a=90。，

2a-/?=90°,

故選：D.

【點評】本題主要考查了圓的基本性質，直角三角形的性質，關鍵是用a表示NC8.

4.（2020浙江嘉興，T9,3分）如圖，在等腰AA3C中，AB=AC=245,BC=8,按下

列步驟作圖：

①以點A為圓心，適當的長度為半徑作弧，分別交AB,AC于點E,F,再分別以點E,

廠為圓心，大于白所的長為半徑作弧相交于點H,作射線

2

②分別以點A,8為圓心，大于」48的長為半徑作弧相交于點〃，N,作直線MN,交

2

射線于點O；

③以點。為圓心，線段。4長為半徑作圓.

【考點】N3：作圖-復雜作圖；M2：垂徑定理；KH-.等腰三角形的性質

【專題】13：作圖題；69：應用意識

【分析】如圖，設OA交于T.解直角三角形求出AT,再在RtAOCT中，利用勾股定理

構建方程即可解決問題.

AOA.BC,BT=TC=4,

AT=y/AC2-CT2=J(2>/5)2-42=2,

在RtAOCT中，則有，=(r-2)?+42,

解得/'=5,

故選：D.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，等腰三角形的性質，垂徑定理等知識，解題的關鍵是理

解題意，靈活運用所學知識解決問題.

2.（2020福建，T9,4分）如圖，四邊形A88內接于O,AB=CD,A為3。中點，

ZBDC=60°,則/AD8等于（）

A

A.40°B.50°C.60°D.70°

【考點】M5：圓周角定理；M4：圓心角、弧、弦的關系

【專題】559：圓的有關概念及性質；66：運算能力

【分析】求出A8=AO=CD,根據圓周角的C的度數求出它所對的BC的度數，求出A8

的度數，再求出答案即可.

【解答】解：A為BD中點,

AB=AD,

AB=CD,

AB=AD,

/.AB=AD=CD,

圓周角NBDC=60。,

.,.々。（7對的8（7的度數是2*60。=120。，

AB的度數是gx（360°-120°）=80°,

A5對的圓周角的度數是一*80。=40。，

2

故選：A.

【點評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系等知識點，能根據定理求出

AB=AD=CD是解此題的關鍵.

1.（2020湖南長沙，T9,3分）2020年3月14日，是人類第一個“國際數學日”.這個節日

的昵稱是“兀（Day）國際數學日之所以定在3月14日，是因為“3.14”是與圓周率數值

最接近的數字.在古代，一個國家所算得的圓周率的精確程度，可以作為衡量這個國家

當時數學與科技發展水平的一個主要標志.我國南北朝時的祖沖之是世界上最早把圓周

率的精確值計算到小數點后第7位的科學巨匠，該成果領先世界一千多年.以下對于圓

周率的四個表述：

①圓周率是一個有理數；

②圓周率是一個無理數：

③圓周率是一個與圓的大小無關的常數，它等于該圓的周長與直徑的比；

④圓周率是一個與圓的大小有關的常數，它等于該圓的周長與半徑的比.

其中表述正確的序號是（）

A.②③B.①③C.①④D.②④

【考點】1H：近似數和有效數字；27：實數.

【專題】511：實數；67：推理能力.

【分析】根據實數的分類和兀的特點進行解答即可得出答案.

【解答】解：因為圓周率是一個無理數，是一個與圓的大小無關的常數，它等于該圓的

周長與直徑的比，

所以表述正確的序號是②③；

故選：A.

【點評】此題考查了實數，熟練掌握實數的分類和“兀”的意義是解題的關鍵.

1.（2020?荊門?T7?3分）如圖，。0中，OCLAB,ZAPC=28°,則N8OC的度數為（

C.42°D.56°

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關系；M2：垂徑定理；M5：圓周角定理

【專題】559：圓的有關概念及性質

【分析】根據垂徑定理，可得廢二筋，ZAPC=28%根據圓周角定理，可得NBOC.

【解答】解：在。。中，OC.LAB,

AC=BC,

NAPC=28。，

/.ZBOC=2ZAPC=56°,

故選：D.

【點評】本題考查了圓周角定理，利用垂徑定理得出廢=前是解題關鍵.

2.（2020湖南株洲，T9,4分）如圖所示，點4、B、C對應的刻度分別為0、2、4、將線

段C4繞點C按順時針方向旋轉，當點A首次落在矩形3CDE的邊2E上時，記為點Ai,

則此時線段CA掃過的圖形的面積為（）

【考點】LB：矩形的性質；MO：扇形面積的計算；R2：旋轉的性質.

【專題】559：圓的有關概念及性質；66：運算能力.

【分析】求線段CA掃過的圖形的面積，即求扇形4c41的面積.

【解答】解：由題意，知AC=4,BC=4-2=2,ZAiBC=90°.

由旋轉的性質，得AiC=AC=4.

1,BC1

在Rs4BC中，cos/4cAi=------=—.

A,C2

ZACAi=60°.

扇形AC4的面積為處上二=?7.

3603

Q

即線段CA掃過的圖形的面積為2萬.

3

故選：D.

【點評】此題考查了扇形面積的計算和解直角三角形，熟練掌握扇形面積公式是解本題

的關鍵

3.（2020江蘇常州，T7,2分）如圖，相是。的弦，點C是優弧上的動點（C不與A、

3重合），CHLAB,垂足為，，點M是8C的中點.若O的半徑是3,則長的最大

值是（）

A.3B.4C.5D.6

【考點】KP：直角三角形斜邊上的中線

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力

【分析】根據直角三角形斜邊中線的性質以及直徑是圓中最大的弦，即可求得的最大

值是3

【解答】解：CH_LAB,垂足為〃，

.".ZCMB=90°.

點〃是8c的中點.

2

BC的最大值是直徑的長，O的半徑是3,

r.MW的最大值為3,

故選：A.

【點評】本題考查了直角三角形斜