屆高三數(shù)學二輪復習極限突破專題四函數(shù)與方程思想專題四：函數(shù)與方程思想

【考情分析】

縱觀近幾年的高考試題，函數(shù)的主干知識、知識的綜合應用以及函數(shù)與方程思想等數(shù)學思想方法的考查，一直是高考的重點內(nèi)容之一。在高考試卷上，與函數(shù)相關的試題所占比例始終在20%左右，且試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有一定能力要求的主觀性試題。函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學思想，高考中所占比重比較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多。在高中新課標數(shù)學中，還安排了函數(shù)與方程這一節(jié)內(nèi)容，可見其重要所在。

在近幾年的高考中，函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等，方程觀點的應用可分為逐步提高的四個層次：（1）解方程；（2）含參數(shù)方程討論；（3）轉化為對方程的研究，如直線與圓、圓錐曲線的位置關系，函數(shù)的性質(zhì)，集合關系；（4）構造方程求解。

預測2023年高考對本講考查趨勢：函數(shù)的零點問題、二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間的關系；特別注意客觀形題目，大題一般難度略大。

【知識交匯】

函數(shù)與方程（不等式）的思想貫穿于高中學習的各個內(nèi)容，求值的問題就要涉及到方程，

求取值范圍的問題就離不開不等式，但方程、不等式更離不開函數(shù)，函數(shù)與方程（不等式）

思想的運用使我們解決問題的重要手段。

函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0

通過方程進行研究。就中學數(shù)學而言，函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù)，把所研究的問題轉化為討論函數(shù)的有關性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的。許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決。函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想，也是歷年高考的重點。

1．函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題；

2．方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學是對方程概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系；

3．函數(shù)的思想與方程的思想的關系

在中學數(shù)學中，很多函數(shù)的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法去解決．對于函數(shù)y＝f(x)，當y＝0時，就轉化為方程f(x)＝0，也可以把函數(shù)y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函數(shù)與方程可相互轉化。

4．函數(shù)方程思想的幾種重要形式

（1）函數(shù)和方程是密切相關的，對于函數(shù)y＝f(x)，當y＝0時，就轉化為方程f(x)＝0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函數(shù)問題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數(shù)y＝f(x)的零點；

（2）函數(shù)與不等式也可以相互轉化，對于函數(shù)y＝f(x)，當y>0時，就轉化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式；

（3）數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要；

（4）函數(shù)f(x)＝n

bax)(+（n∈N*）與二項式定理是密切相關的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題；

（5）解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關理論；

（6）立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決。

【思想方法】

題型1：函數(shù)思想在方程中應用

例1．已知

155=-acb（a、b、c∈R），則有（）(A)acb42>(B)acb42≥(C)acb420，∴a＋3a－1

>0，即a>1或a0，∴a>1，故a－1>0.∴ab＝a·a＋3a－1＝(a－1)2＋5(a－1)＋4a－1＝(a－1)＋4a－1

＋5≥9.當且僅當a－1＝4a－1，即a＝3時取等號．又a>3時，(a－1)＋4a－1

＋5是關于a的單調(diào)增函數(shù)．

∴ab的取值范圍是[9，＋∞)．

方法二(看成不等式的解集)∵a，b為正數(shù)，∴a＋b≥2ab，又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2ab＋3.

即(ab)2－2ab－3≥0，解得ab≥3或ab≤－1(舍去)，∴ab≥9.∴ab的取值范圍是[9，＋∞)．

方法三若設ab＝t，則a＋b＝t－3，∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的兩個正

根．

從而有?????Δ＝(t－3)2－4t≥0a＋b＝t－3>0

ab＝t>0，即?????t≤1或t≥9t>3t>0，

解得t≥9，即ab≥9.∴ab的取值范圍是[9，＋∞)．

點評：當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構建一元二次方程的明顯信息，構造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決。當問題中出現(xiàn)多個變量時，往往要利用等量關系去減少變量的個數(shù)，如最后能把其中一個變量表示成關于另一個變量的表達式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決。

題型3：函數(shù)思想在實際問題中的應用

例3．（2023陜西理14)．植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米．開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為（米）．

【分析】把實際問題轉化為數(shù)學模型,然后列式轉化為函數(shù)的最值問題；

【解】（方法一）設樹苗放在第i個樹坑旁邊（如圖），

12…i…1920

那么各個樹坑到第i個樹坑距離的和是：

(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10

siiiiiii=-?+-?++-?++-?++-?(1)(20)(120)10[(20)]22

iiiiiiii+-++=??--?-+210(21210)ii=-+。所以當10i=或11時，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米。（方法二）根據(jù)圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個最值；所以從兩端的樹坑向中間移動時，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個和

第11個樹坑旁時，所得的路程總和達到另一個最值，所以計算兩個路程和即可。樹苗放在第一個樹坑旁，則有路程總和是19(119)10(1219)210238002

+?+++?=??=；樹苗放在第10個（或第11個）樹坑旁邊時，路程總和是：

10(129)10(1210)2

?++++?+++?9(19)10(110)1021029001100200022

?+?+=??+??=+=，所以路程總和最小為2000米.

點評：構造的二次函數(shù)形式在解題過程中起到了關鍵作用，函數(shù)是解決具體問題的有效工具。該題通過分析實際模型建立了函數(shù)解析式，研究函數(shù)的性質(zhì)，解釋問題。

題型4：函數(shù)思想在數(shù)列中的應用

例4．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知123=a，12S>0，13S0，13S＝dda5215678131+=+<0，∴7

24-<d<－3（2）nddndnnnaSn)2

512(212)1(21-+=-+=，∵d<0，nS是關于n的二次函數(shù)，對稱軸方程為：x＝

d1225-。∵724-

<d<－3，∴6<d1225-<2

13，∴當n＝6時，nS最大。點評：數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要。

題型5：函數(shù)思想在立體幾何中的應用

例5．（1）如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求異面直線PB和AC的距離。

分析：異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設定變量，建立目標函數(shù)而求函數(shù)最小值。

解析：在PB上任取一點M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，設MH＝x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD，∴MD2＝x2＋[(2r－x)sinθ]2＝(sin2＋1)x2－P

M

AH

BDC

4rsin2θx＋4r2sin2θ＝(sin2θ＋1)[x－2

1

2

2

rsin

sin

θ

θ

+

]2＋

4

1

22

2

rsin

sin

θ

θ

+

即當x＝2

1

2

2

rsin

sin

θ

θ

+

時，MD取最小值

2

12

rsin

sin

θ

θ

+

為兩異面直線的距離。

點評：本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值”，并設立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地，對于求最大值、最小值的實際問題，先將文字說明轉化成數(shù)學語言后，再建立數(shù)學模型和函數(shù)關系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關知識進行解答。

（2）已知由長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱長之和為1，表面積為，求長方體的體積的最值。

解析：設三條棱長分別為x，y，z，則長方體的體積V＝xyz。

由題設有：；

所以，

故體積V（x），

下面求x的取值范圍。

因為，

所以y、z是方程的兩個實根。

由，

因為

所以當時，；

當時，。

點評：解決本題的關鍵在于確定目標函數(shù)時，根據(jù)相關條件的特征，構造了二次方程，并由此得出定義域使問題得解。

題型6：利用方程思想處理解析幾何問題

例6．（1）直線與圓相切，則a的值為（）

A．B．C．1D．

解析：由直線方程得，并代入圓方程，整理得。

又直線與圓相切，應有，解得。

故選D。

點評：即把直線方程代入圓或圓錐曲線的方程，消去y，得關于x的一元二次方程，其判別式為△，則有：（1）曲線C與直線相離；（2）曲線C與直線相切；（3）曲線C與直線相交。

（2）△ABC的三邊a，b，c滿足b＝8－c，，試確定△ABC的形狀。

解析：因為b＋c＝8，，

所以b，c是方程的兩實根，

即，所以a＝6。從而得b＝c＝4，因此△ABC是等腰三角形。

點評：構建一元二次方程的模型解決數(shù)學問題，是一種行之有效的手段，其獨特功能在于充分運用構建的一元二次方程及根的判別式和求根公式變更命題，從而使問題獲得圓滿解決。

題型7：函數(shù)思想在三角中的應用

例7．（1）求的取值范圍。

解析：設，

則，構造二次函數(shù)，

由圖1可知：

圖1

即。

（2）已知函數(shù)，當有實數(shù)解時，求a的取值范圍。

解析：由得，分離a得：