勒貝格積分和黎曼積分的聯系與區別摘要本文討論勒貝格積分是與黎曼積分的聯系與區別，勒貝格積分和黎曼積分積分之間有一種相依賴、相互補充、相互幫助及在特定條件下相互轉化的關系，勒貝格積分在積分與極限換序的條件要求上有比黎曼積分優越的好處。在實變函數里引入勒貝格積分是為了彌補黎曼積分的不足，可以擴大可積函數類，降低逐項積分與交換積分順序的條件。勒貝格積分拓廣了黎曼積分的定義,使得可積性的條件要求減弱了。它斷言可測集上的有界可測函數和單調函數必勒貝格可積,這比黎曼積分中要求連續函數、單調函數的條件放松多了。它放松了黎曼積分要求函數序列的一致收斂的過強的要求。關鍵詞：勒貝格可黎曼可積勒貝格積分黎曼積分1、定義1.1黎曼積分定義設f(x)在kb］上有定義分割分劃，將C,b)添加n-1個分點T:x=a<x<x???<x<b=x將la,b]分成n0 1 2 n—1 n個小區間lx,x01lx,x01lx,x12n—1,xnAx2Ax21取近似VgL,x]s.t.f毛)Axii—1iii￡f毛)Axiii=1取極限令T=maxtx.}—T的細度，若lim工f《hx存在TOC\o"1-5"\h\zi ■I iiTi=1Jb(x味=lim藝f(g)A

a ItL0i=1 '1.2勒貝格積分定義設f(x)在有限可測集E上有界EE…E為E的n個互相不相交的可測子集且E=Ue稱D=(EE…E｝為E的一1 2 n i 1 2 ni=1個L-分劃設D=^EE…E},D'=￡'E'…E'h勻為E的一個L-分劃，若對VE'eD存在12n 12nEeDs.t.E'uE稱D比D細(D是D的加細)j i j設D=^EE…E}為E的一個L-分劃，b=inff(x)B=supf(x)稱1 2 n i ixeEi xeEiis(D',fL區bmE在劃分D下f(x)的小和iii=1

BmE在劃分D下f(x)的大和iii=12黎曼積分和勒貝格積分的聯系對于定義在訂上的函數f，如果它是黎曼可積的，則它勒貝格可積的，而且有相同的積分值，故我們平時解題算勒貝格積分時，一般先考慮該函數是否黎曼可積，如果可以，那么就先化為黎曼積分求解，因為我們在學數分時，已經熟悉了黎曼積分。對于無界函數的積分或函數在無窮區間上的積分，黎曼積分是作為廣義積分來定義的，這時要求右｝是單調增加的可測集合列，其并為E，若極限limJIf(x)dx存在，則f在Ek kT8 Ek上勒貝格可積，且有Jf(xbx=limJIf(x)dxE kT8EK當E是矩體I且f(x)在每個I上都是有界連續函數，同時滿足kkklimJf(x)dx<s時，可以通過計算黎曼積分JfCkx而得到勒貝格積分EJ|f(x)dxEk而且計算方法與I的選擇沒有關系，只需保證b｝單調增加到并集E。kk例1：設f是區間b〕上的有界單調函數，f的不連續點至多是可列集，因此f在b〕上是幾乎處處連續的，又因為f在la,b〕上是有界的，f在la,b〕上是黎曼可積的，所以也是勒貝格可積。但是，必須指出，具有廣義黎曼積分的函數并不一定勒貝格可積。例2:設f(x)=sinx，在數分中，f在t),8〕上的廣義黎曼積分收斂的，但不是絕對收斂x的而f在H8〕上不是勒貝格可積的平時我們在解勒貝格積分時，有很多可以先化為求黎曼積分，下面我們看看幾個例子。例3:計算f(x)= 1在1,2〕上的積分解：用截斷函數求解f(x)是1,2］上的非負函數，作截函數[f(x)]<n1<x<[f(x)]<n1<x<1+—n31+—<x<2n3顯然，對每個［f(x)］均黎曼可積，故也勒貝格可積nff(x)]dx=(R?打ndx+(R)f2dx[1,]匚1\<3 3]n1+-n+1n3丿(2 2n2丿13-1=2 2n2于是ff(x)dx=limf[f(x)]dx[1,2] nTg[1,2] n(3 3 \=limnTg例4:設E=(0,g),E上函數[1]xxe(0,1]x-x-2xe(1,g)求ff(xbxE解：作截斷函數0<x<丄n2f(f(x)]=<n1<x<1n21<x<g1,nn1,nn2n=1,2,由于f(X)]在Enn上黎曼可積，故J[f(x)]dx=(R)J1x-2dx+(R)Jnx-2dx

En n卞 1n2=3-3n2=3-3n(L)f(x)dx=limJf(x)]dxE nsEn n‘3-3]n丿=limnT8=3勒貝格積分是黎曼積分的推廣與發展,是一種新型積分理論。相對于黎曼積分而言,勒貝格積分處理一些問題是相當靈活與自然的，上面的例題就充分的說明了這點。3勒貝格積分與黎曼積分的區別黎曼積分相對勒貝格積分有明顯的局限性。勒貝格積分比黎曼積分有明顯的優勢，它將可積函數類拓廣為有界可測函數。勒貝格積分的可積圍比黎曼積分廣泛，比如：b]上的連續函數黎曼可積，也勒貝格可積，此外，還有非黎曼可積，但勒貝格可積的例子有很多，如[0，1]上的狄立克萊函數[2]D(x當"是無理數時就是黎曼不可積，但是勒貝格可積。〔1當x是有理數時勒貝格積分包含了黎曼積分，這樣的結論：f(x)在la,b]上黎曼可積，則有勒貝格可積，且積分值相同。在數分中,經常遇到的一個重要問題是兩種極限過程的交換次序問題,尤其是積分與函數列的極限的交換問題在那里，一般都是用函數列一致收斂的條件來保證極限運算與

積分運算的次序可以交換但是，“一致收斂”這個條件是過于苛刻了,這也暴露出黎曼積分定義的缺陷。其實黎曼積分與勒貝格積分大體上是相似的，僅從分割函數的定義域的角度來說，其區別在于黎曼積分所考慮的分劃（如定義），只是把原來的區間分解成有限多個小區間，而勒貝格積分的分劃則是把訂分成有限多個互不相交的可測子集，由定義對比可知，前者的分劃必是后者的分劃，所以黎曼意義下的大、小和必是勒貝格意義下的大、小和，故得到相同的積分值。因為勒貝格積分相對黎曼積分的優越性，所以平時我們運用勒貝格積分解決黎曼積分中較難的問題。例5：計算61）黎曼函數R（x）=<*當"二f為互質正整數的積分「RCdx［3］。、0 當x是無理數時 0這個函數在所有無理點處事連續的，在有理點是不連續的，雖然在61）中有無窮多個有理點，即黎曼函數在61）上的不連續點有無窮多個，但這個函數在61）仍然是黎曼可積的，且有卩f（x）dx二0，但是用黎曼積分方法來求其積分值比較復雜，然而用勒貝格積分的方法來求積分值就顯然十分簡單了。解：由Rx）是黎曼可積ORx）幾乎處處連續，所以令A=B=（0,1）-A，貝I」ABAB=0+（L）JR=0+（L）JR（x）dx（L）J0?dm=0x2x3xet）,1大于3無理點xe（0,1］小于無理點xe（0,11有理點求打（x）求打（x）dx解：令gc）＜x2x3xefG)=gG)a.e.于t),1]f f(xl/x=f g(xl/x=f1gCxI/x1X3303b,1]1X3303=f3X3dx+f1X2dx=—0143=103324利用勒貝格積分可得出較黎曼積分比較深刻的結論,其中之一就是函數黎曼可積條件的推廣。利用勒貝格積分理論中的積分極限定理，可以證明［4］：la,b］上的有界函數fC）,黎曼可積的充分必要條件是fC）在L,b］上幾乎處處連續即不連續點的測度長度為0，這是黎曼積分的本質特性,從黎曼積分的自身理論是推不出來的,必須借助勒貝格積分理論才能得到。但是黎曼積分也有它的優勢，比如在非均勻分布時“直線段”質量、平面薄板質量等等的問題上，用黎曼積分比較簡捷方便。總結：1、 勒貝格積分和黎曼積分積分之間有一種相依賴、相互補充、相互幫助及在特定條件下相互轉化的關系,它從數學側面驗證了科學哲學思想中的對應原理。2、 勒貝格積分拓廣了黎曼積分的定義,使得可積性的條件要求減弱了。它斷言可測集上的有界可測函數和單調函數必勒貝格可積,這比黎曼積分中要求連續函數、單調函數的條件放松多了。3、 勒貝格積分在積分與極限換序的條件要求上有比黎曼積分優越的好處。它放松了黎曼積分要求函數序列的一致收斂的過強的要求。由勒貝格控制收斂定理可知,只要所給函數列可測、有界、收斂,積分與極限就可換序,這一點在三角級數、熱學研究中非常重要。4、 勒貝格積分并沒有完全否定和拋棄黎曼積分,它把黎曼積分作為一種特例加以概括,并且在一定條件下勒貝格積分可以轉化為黎曼積分。由此可見,勒貝格積分和黎曼積分各有自己的優勢和價值。在計算連續函數的積分時,黎曼積分要比勒貝格積分簡便、優越。但勒貝格積分是積分發展史上的一次革命,它使得積分論在集合論、測度論的基礎上走向現代化,從而有可能在現代水平的層次上向其它現代數學分支滲透,促進了其它學科的發展,特別是三角級數和函數序列方面。概率論,