學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2020-2021學年北師大版數學必修4教師用書：第2章§33.1數乘向量含解析§3從速度的倍數到數乘向量3。1數乘向量學習目標核心素養1.理解向量的數乘運算及其幾何意義．(重點）2.理解向量共線定理，并應用其解決相關問題．（難點)3。會利用向量共線定理判斷三點共線及線線平行．（易混點)1。通過學習數乘運算及其幾何意義，體會數學抽象素養．2.通過運用向量共線定理解決相關問題，培養數學運算素養．1．數乘向量及運算律（1)向量數乘的定義一般地，實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa.它的長度和方向規定如下：①｜λa|＝|λ||a|；②當λ〉0時，λa與a的方向相同；當λ〈0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0．（2）向量數乘的運算律設a，b為向量，λ，μ為實數，則數乘向量滿足：①結合律：λ（μa)＝(λμ)a；②分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb．思考1：向量3a，－3a與［提示］3a的長度是a的長度的3倍,它的方向與向量a－3a的長度是a的長度的3倍，它的方向與向量a2．共線向量定理（1）判定定理a是一個非零向量，若存在一個實數λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．(2）性質定理若向量b與非零向量a共線,則存在一個實數λ，使得b＝λa．思考2：若b＝2a，b與a[提示］根據共線向量及向量數乘的意義可知，b與a共線．如果有一個實數λ，使b＝λa（a≠0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a≠0）共線向量,那么有且只有一個實數λ，使得b＝λa.1．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up8（→))＝－eq\f（1，2）eq\o(CD，\s\up8(→))，則此四邊形是（)A．平行四邊形 B．菱形C．梯形 D．矩形C［因為eq\o（AB，\s\up8（→)）＝－eq\f（1,2)eq\o（CD，\s\up8(→))，所以AB∥CD，且AB＝eq\f（1,2）CD,所以四邊形ABCD為梯形．］2．下列各式計算正確的有（)①（－7)6a＝－42a；②7(a＋b）－8b＝7a③a－2b＋a＋2b＝2a;④4（2a＋b）＝8aA．1個 B．2個C．3個 D．4個C［①③④正確．]3．已知向量a與b不共線,向量c＝3a－b,d＝6a－2b，則向量c與共線[d＝6a－2b＝2(3a－b)＝所以向量c與d共線．］4.eq\f（1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(1,2)（2a＋8b）－（4a－2b））)＝________．2b－a［eq\f（1，3）eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（2a＋8b）－（4a－2b）)）＝eq\f(1，6)(2a＋8b）－eq\f（1，3）（4a－2b）＝eq\f(1,3)a＋eq\f(4，3）b－eq\f(4,3）a＋eq\f(2,3）b＝2b－a.]向量數乘的定義【例1】已知a、b為非零向量，試判斷下列各命題的真假，并說明理由．（1)2a的方向與a的方向相同，且2a的模是(2）－2a的方向與3a的方向相反，且－2a的模是3a模的eq\f(2,3)(3）－2a與2(4)a－b與－（b－a)是一對相反向量．[解]（1）真命題．∵2a＝a＋a與a方向相同且|2a|＝｜a＋a｜＝｜a|＋｜a｜＝2|a(2)真命題．∵－2a＝(－a）＋(－a）與－a同方向，3a＝a＋a＋a與a同方向，由于－a與a反方向，故－2a與又∵｜－2a|＝2|a|，｜3a｜＝3|a|，所以－2a的模是3a模的eq\f(2,3)(3)真命題．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a與（4)假命題．∵－（b－a)與b－a是一對相反向量,a－b與b－a是一對相反向量，∴－(b－a)與a－b是相等的．對數乘向量的四點說明（1）λa的實數λ叫作向量a的系數．（2)向量數乘運算的幾何意義是把a沿著a的方向或a的反方向擴大或縮小．(3）當λ＝0或a＝0時，λa＝0.注意是0,而不是0.（4)向量的運算不滿足消去律，不能除以一個向量．1．已知λ,μ∈R，則在下列各命題中，正確的命題有（）①λ〈0,a≠0時，λa與a的方向一定相反；②λ>0，a≠0時，λa與a的方向一定相同；③λμ>0,a≠0時，λa與μa的方向一定相同；④λμ<0，a≠0時，λa與μa的方向一定相反．A．1個 B．2個C．3個 D．4個D[由λ與向量a的積λa的方向規定，易知①②正確，對于命題③④，當λμ〉0時,λ，μ同正或同負，∴λa與μa或者都與a同向，或者都與a反向，∴λa與μa同向，當λμ〈0時，則λ與μ異號,λa與μa中,一個與a同向,一個與a反向,∴λa與μa反向，故③④也正確．］向量的線性運算【例2】(1)計算下列各式：①3（a－2b＋c）－（2c＋b－a②eq\f(2,5）(a－b）－eq\f（1，3)（2a＋4b)＋eq\f(2，15）(2a＋13b）.（2）設x,y是未知向量．①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0;②解方程組eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）x－y＝a，,x－\f（1,2）y＝b。)）［解](1)①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7②原式＝eq\f（2，5）a－eq\f(2,5）b－eq\f(2，3）a－eq\f(4，3)b＋eq\f（4，15）a＋eq\f（26,15）b＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2,5)－\f(2,3）＋\f(4,15）))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（2，5)－\f（4，3)＋\f(26，15））)b＝0×a＋0×b＝0。(2）①原方程可變為5x＋5a＋3x－3b＝0即8x＝－5a＋3b，所以x＝－eq\f（5，8)a＋eq\f（3,8）b.②把第一個方程的左、右兩邊同乘－2，然后與第二個方程相加，得eq\f（3,2）y＝－2a＋b,從而y＝－eq\f（4,3)a＋eq\f（2，3)b.代入原來第二個方程得x＝－eq\f(2,3）a＋eq\f(4，3）b。所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝－\f（2，3）a＋\f(4，3）b，，y＝－\f（4，3)a＋\f(2,3)b.）)1．向量數乘的運算類似于代數多項式的運算,主要是“合并同類項”“提取公因式”，這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看成向量的系數．2．向量也可以通過列方程來解，把所求向量當做未知量，利用解代數方程的方法求解．2．(1）化簡4（a＋b)－3(a－b)＝________．(2)若2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（y－\f（1,3）a))－eq\f(1，2）（c＋b－3y）＋b＝0，其中a，c，b為已知向量，則未知向量y＝________．（1）a＋7b(2)eq\f(4，21)a－eq\f（1，7)b＋eq\f（1,7）c［(1)4（a＋b)－3（a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.（2)由2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(y－\f（1,3）a））－eq\f（1，2）（c＋b－3y）＋b＝0，得2y－eq\f(2，3）a－eq\f(1，2)c－eq\f（1，2)b＋eq\f（3,2）y＋b＝0,即eq\f(7,2）y－eq\f(2，3）a－eq\f（1,2)c＋eq\f(1,2）b＝0，所以y＝eq\f(4，21）a－eq\f(1，7)b＋eq\f（1，7)c.]向量線性運算的綜合應用[探究問題]1．若存在實數λ，使eq\o(AB,\s\up8（→）)＝λeq\o（BC，\s\up8(→）)，則A，B，C三點的位置關系如何？[提示]A,B，C三點共線．2．向量共線定理有哪兩個方面的應用？[提示］(1)判斷兩個向量共線，若存在一個實數λ，使b＝λa(a≠0），則a與b共線．(2)表示兩個共線向量之間的關系．若a與b共線(a≠0),則必存在一個實數λ.使b＝λa。3．向量共線定理應注意什么?[提示］向量共線定理不包含0與0共線的情況，因為a≠0.定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，實數λ仍然存在，但λ是任意實數，不唯一；若a＝0，b≠0，則不存在實數λ,使b＝λa.【例3】已知非零向量e1,e2不共線．（1)如果eq\o(AB，\s\up8(→)）＝e1＋e2，eq\o(BC，\s\up8(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD，\s\up8（→)）＝3(e1－e2），求證：A，B，D三點共線；(2）欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數k的值．[思路探究］解答本題對于(1)，欲證A,B，D共線，只需證存在實數λ，使eq\o(BD，\s\up8（→））＝λeq\o(AB，\s\up8（→))即可；對于（2)，若ke1＋e2與e1＋ke2共線,則一定存在λ,使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2)。[解］(1)證明：∵eq\o(AB，\s\up8(→)）＝e1＋e2,eq\o（BD，\s\up8（→））＝eq\o(BC,\s\up8（→）)＋eq\o(CD，\s\up8（→））＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB，\s\up8(→））.∴eq\o（AB，\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→）)共線，且有公共點B,∴A、B、D三點共線．(2）∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2）,則(k－λ)e1＝(λk－1）e2，由于e1與e2不共線,只能有eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（k－λ＝0，,λk－1＝0，））∴k＝±1。1．（變條件）將例3中的條件變為“a，b是不共線的兩非零向量,eq\o(OA，\s\up8（→）)＝2a－b，eq\o（OB，\s\up8（→))＝3a＋b，eq\o(OC，\s\up8（→)）＝a－3b”,試證明：A、B、C三點共線．［證明]∵eq\o(AB，\s\up8（→）)＝eq\o（OB,\s\up8（→))－eq\o（OA，\s\up8（→)）＝(3a＋b）－(2a－b）＝a＋2b，而eq\o(BC,\s\up8（→））＝eq\o(OC，\s\up8(→）)－eq\o(OB，\s\up8（→））＝（a－3b)－(3a＋b）＝－2（a＋2b)＝－2eq\o（AB,\s\up8（→))，∴eq\o（AB,\s\up8（→)）與eq\o(BC，\s\up8（→)）共線，且有公共點B，∴A，B，C三點共線．2．若將例3中的條件改為“若a、b是兩個不共線的非零向量，且a與b起點相同"，問當實數t為何值時a,tb，eq\f（1，3)(a＋b）三向量的終點在同一直線上?［解］由題設易知,存在唯一實數λ，使a－tb＝λeq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(a－\f（1，3）(a＋b））),化簡，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3）λ－1))a＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（λ，3）－t)）b.∵a與b不共線，∴eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(\f(2，3）λ－1＝0,，\f(λ,3)－t＝0。）)解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（λ＝\f（3，2），,t＝\f（1,2）．))故當t＝eq\f（1,2)時,三向量的終點共線．1．證明或判斷三點共線的方法(1)一般來說，要判定A，B,C三點是否共線，只需看是否存在實數λ，使得eq\o（AB，\s\up8(→））＝λeq\o(AC,\s\up8(→））(或eq\o（BC,\s\up8（→））＝λeq\o（AB，\s\up8(→）)等)即可．(2)利用結論：若A，B，C三點共線，O為直線外一點?存在實數x,y，使eq\o(OA，\s\up8（→)）＝xeq\o（OB,\s\up8（→)）＋yeq\o(OC,\s\up8(→））且x＋y＝1.2．利用向量共線求參數的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一的實數λ，使得a＝λb(b≠0).而已知向量共線求λ,常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數為零，利用待定系數法建立方程，從而解方程求得λ的值．1．實數λ與向量a可作數乘,但實數λ不能與向量a進行加、減運算，如λ＋a，λ－a都是無意義的．還必須明確λa是一個向量，λ的符號與λa的方向相關,|λ|的大小與λa的模長有關．2．利用數乘運算的幾何意義可以得到兩個向量共線的判定定理及性質定理,一定要注意，向量的共線(平行）與直線共線（或平行）的區別；常用向量共線解決平面幾何中的“平行”或“點共線”問題．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)（1）實數λ與向量a的積還是向量． （)(2）對于非零向量a，向量－6a與向量2a方向相反．(3)向量－8a的模是向量4a的模的2倍．（4)若b＝λa(a≠0)，則a與b方向相同或相反． （)(5)若a∥b，則存在λ∈R，使得b＝λa. (）[答案]（1）√（2）√(3）√(4）×（5)×2．已知向量a,b，且eq\o(AB,\s\up8（→）)＝a＋2b,eq\o(BC,\s\up8（→))＝－5a＋6b，eq\o(CD，\s\up8(→)）＝7a－2b，則一定共線的三點是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C,D D．A，C，DA[eq\o（AB，\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→））＋eq\o(CD,\s\up8(→)）＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋（7a－2b)＝3a＋6