2022年湖南省衡陽市中考數學試卷一．選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）﹣2的絕對值是（）A．﹣2 B．2 C． D．﹣2．（3分）石鼓廣場供游客休息的石板凳如圖所示，它的主視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）下列選項中的垃圾分類圖標，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A．可回收物 B．其他垃圾 C．有害垃圾 D．廚余垃圾4．（3分）為有效防控新冠疫情，國家大力倡導全國人民免費接種疫苗．截止至2022年5月底，我國疫苗接種高達339000萬劑次．數據339000萬用科學記數法可表示為a×109的形式，則a的值是（）A．0.339 B．3.39 C．33.9 D．3395．（3分）下列運算正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．a3?a4＝a12 C．（a3）4＝a7 D．a3÷a2＝a6．（3分）下列說法正確的是（）A．“任意畫一個三角形，其內角和為180°”是必然事件 B．調查全國中學生的視力情況，適合采用普查的方式 C．抽樣調查的樣本容量越小，對總體的估計就越準確 D．十字路口的交通信號燈有紅、黃、綠三種顏色，所以開車經過十字路口時，恰好遇到黃燈的概率是7．（3分）如果二次根式有意義，那么實數a的取值范圍是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤18．（3分）為貫徹落實教育部《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》精神，把勞動教育納入人才培養全過程，某校組織學生周末赴勞動教育實踐基地開展鋤地、除草、剪枝、捉魚、采摘五項實踐活動，已知五個項目參與人數（單位：人）分別是：35，38，39，42，42，則這組數據的眾數和中位數分別是（）A．38，39 B．35，38 C．42，39 D．42，359．（3分）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．10．（3分）下列命題為假命題的是（）A．對角線相等的平行四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 C．有一個內角是直角的平行四邊形是正方形 D．有一組鄰邊相等的矩形是正方形11．（3分）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（結果精確到0.01m．參考數據：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m12．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AC＝6，AB∥CD，AC平分∠DAB．設AB＝x，AD＝y，則y關于x的函數關系用圖象大致可以表示為（）A． B． C． D．二．填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分．）13．（3分）因式分解：x2+2x+1＝．14．（3分）計算：＝．15．（3分）計算：+＝．16．（3分）如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交CB于點D，連接AD．若AC＝8，BC＝15，則△ACD的周長為．17．（3分）如圖，用一個半徑為6cm的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉了120°，假設繩索粗細不計，且與輪滑之間沒有滑動，則重物上升了cm．（結果保留π）18．（3分）回雁峰座落于衡陽雁峰公園，為衡山七十二峰之首．王安石曾賦詩聯“萬里衡陽雁，尋常到此回”．峰前開辟的雁峰廣場中心建有大雁雕塑，為衡陽市城徽．某課外實踐小組為測量大雁雕塑的高度，利用測角儀及皮尺測得以下數據：如圖，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知測角儀DA的高度為1.5m，則大雁雕塑BC的高度約為m．（結果精確到0.1m．參考數據：≈1.732）三．解答題（本大題共8個小題，19～20題每題6分，21～24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（6分）先化簡，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．20．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC邊上的點，且BD＝CE．求證：AD＝AE．21．（8分）為落實“雙減提質”，進一步深化“數學提升工程”，提升學生數學核心素養，某學校擬開展“雙減”背景下的初中數學活動型作業成果展示現場會，為了解學生最喜愛的項目，現隨機抽取若干名學生進行調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖：根據以上信息，解答下列問題：（1）參與此次抽樣調查的學生人數是人，補全統計圖①（要求在條形圖上方注明人數）；（2）圖②中扇形C的圓心角度數為度；（3）若參加成果展示活動的學生共有1200人，估計其中最喜愛“測量”項目的學生人數是多少；（4）計劃在A，B，C，D，E五項活動中隨機選取兩項作為直播項目，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中B，E這兩項活動的概率．22．（8分）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉祥物．冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網店選中兩種玩偶．決定從該網店進貨并銷售．第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元．（1）求兩種玩偶的進貨價分別是多少？（2）第二次小雅進貨時，網店規定冰墩墩玩偶進貨數量不得超過雪容融玩偶進貨數量的1.5倍．小雅計劃購進兩種玩偶共40個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？23．（8分）如圖，反比例函數y＝的圖象與一次函數y＝kx+b的圖象相交于A（3，1），B（﹣1，n）兩點．（1）求反比例函數和一次函數的關系式；（2）設直線AB交y軸于點C，點M，N分別在反比例函數和一次函數圖象上，若四邊形OCNM是平行四邊形，求點M的坐標．24．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點D作⊙O的切線CD交BA的延長線于點C，過點O作OE∥AD交CD于點E，連接BE．（1）直線BE與⊙O相切嗎？并說明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的長．25．（10分）如圖，已知拋物線y＝x2﹣x﹣2交x軸于A、B兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于點C．（1）寫出圖象W位于線段AB上方部分對應的函數關系式；（2）若直線y＝﹣x+b與圖象W有三個交點，請結合圖象，直接寫出b的值；（3）P為x軸正半軸上一動點，過點P作PM∥y軸交直線BC于點M，交圖象W于點N，是否存在這樣的點P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．26．（12分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，點P從點A出發，沿線段AD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動，過點P作PQ⊥AB于點Q，作PM⊥AD交直線AB于點M，交直線BC于點F，設△PQM與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P運動時間為t（秒）．（1）當點M與點B重合時，求t的值；（2）當t為何值時，△APQ與△BMF全等；（3）求S與t的函數關系式；（4）以線段PQ為邊，在PQ右側作等邊三角形PQE，當2≤t≤4時，求點E運動路徑的長．

2022年湖南省衡陽市中考數學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．【解答】解：|﹣2|＝2，故選：B．2．【解答】解：從正面看，可得如下圖形，故選：A．3．【解答】解：A．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：C．4．【解答】解：339000萬＝3390000000＝3.39×109，∴a＝3.39，故選：B．5．【解答】解：A選項，a2與a3不是同類項，不能合并，故該選項不符合題意；B選項，原式＝a7，故該選項不符合題意；C選項，原式＝a12，故該選項不符合題意；D選項，原式＝a，故該選項符合題意；故選：D．6．【解答】解：A選項，三角形內角和為180°，故該選項符合題意；B選項，全國中學生人數眾多，適合抽樣調查的方式，故該選項不符合題意；C選項，抽樣調查的樣本容量越大，對總體的估計就越準確，故該選項不符合題意；D選項，三種信號燈持續的時間一般不相等，故該選項不符合題意；故選：A．7．【解答】解：由題意得：a﹣1≥0，∴a≥1，故選：B．8．【解答】解：將這組數據由小到大排列為：35，38，39，42，42，眾數為42，中位數為39，故選：C．9．【解答】解：，解①得x≥﹣1，解②得x＜3．則表示為：故選：A．10．【解答】解：對角線相等的平行四邊形是矩形，故A是真命題，不符合題意；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B是真命題，不符合題意；有一個內角是直角的平行四邊形是矩形，故C是假命題，符合題意；有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故D是真命題，不符合題意；故選：C．11．【解答】解：設下部的高度為xm，則上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），經檢驗，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故選：B．12．【解答】解：過D點作DE⊥AC于點E．∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，則CD＝AD＝y，即△ACD為等腰三角形，則DE垂直平分AC，∴AE＝CE＝AC＝3，∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠CAD，∠B＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△AED，∴，∴，∴y＝，∵在△ABC中，AB＜AC，∴x＜6，故選：D．二．填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分．）13．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案為：（x+1）2．14．【解答】解：原式＝＝＝4．故答案為：415．【解答】解：+＝＝＝2，故答案為：2．16．【解答】解：根據作圖過程可知：MN是線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴△ACD的周長為：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23．故答案為：23．17．【解答】解：由題意得，重物上升的距離是半徑為6cm，圓心角為120°所對應的弧長，即＝4π，故答案為：4π．18．【解答】解：∵∠BFG＝60°，∠BDG＝30°，∴∠DBF＝60°﹣30°＝30°，∴∠DBF＝∠BDF，∴DF＝BF＝AE＝10，Rt△BFG中，sin∠BFG＝，∴＝，∴BG＝5＝5×1.732≈8.66，∴BC＝BG+CG＝8.66+1.5≈10.2（m）．答：大雁雕塑BC的高度約為10.2m．故答案為：10.2．三．解答題（本大題共8個小題，19～20題每題6分，21～24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．【解答】解：（a+b）（a﹣b）+b（2a+b）＝a2﹣b2+2ab+b2＝a2+2ab，將a＝1，b＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．20．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．21．【解答】解：（1）調查學生總數為36÷30%＝120（人），選擇“E．數學園地設計”的有120﹣30﹣30﹣36﹣6＝18（人），故答案為：120，補全統計圖如下：（2）360°×＝90°，故答案為：90；（3）1200×＝300（人），答：參加成果展示活動的1200名學生中，最喜愛“測量”項目的學生大約有300人；（4）在A，B，C，D，E五項活動中隨機選取兩項，所有可能出現的結果如下：共有20種可能出現的結果，其中恰好選中B，E這兩項活動的有2種，所以恰好選中B，E這兩項活動的概率為＝．22．【解答】解：（1）設冰墩墩的進價為x元/個，雪容融的進價為y元/個，由題意可得：，解得，答：冰墩墩的進價為72元/個，雪容融的進價為64元/個；（2）設冰墩墩購進a個，則雪容融購進（40﹣a）個，利潤為w元，由題意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，∴w隨a的增大而增大，∵網店規定冰墩墩玩偶進貨數量不得超過雪容融玩偶進貨數量的1.5倍，∴a≤1.5（40﹣a），解得a≤24，∴當a＝24時，w取得最大值，此時w＝992，40﹣a＝16，答：冰墩墩購進24個，雪容融購進16個時才能獲得最大利潤，最大利潤是992元．23．【解答】解：（1）把A（3，1）代入y＝得：1＝，∴m＝3，∴反比例函數關系式為y＝；把B（﹣1，n）代入y＝得：n＝＝﹣3，∴B（﹣1，﹣3），將A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函數的關系式為y＝x﹣2；答：反比例函數關系式為y＝，一次函數的關系式為y＝x﹣2；（2）在y＝x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），設M（m，），N（n，n﹣2），而O（0，0），∵四邊形OCNM是平行四邊形，∴CM、ON的中點重合，，解得或，∴M（，）或（﹣，﹣）；24．【解答】解：（1）直線BE與⊙O相切，理由：連接OD，∵CD與⊙O相切于點D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴直線BE與⊙O相切；（2）設⊙O的半徑為r，在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，∴82+BE2＝（4+DE）2，∴64+DE2＝（4+DE）2，∴DE＝6，∴DE的長為6．25．【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣2，∴C（0，2），當y＝0時，x2﹣x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（2，0），設圖象W的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣2），把C（0，2）代入得：﹣2a＝2，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，∴圖象W位于線段AB上方部分對應的函數關系式為：y＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2）；（2）由圖象得直線y＝﹣x+b與圖象W有三個交點時，存在兩種情況：①當直線y＝﹣x+b過點C時，與圖象W有三個交點，此時b＝2；②當直線y＝﹣x+b與圖象W位于線段AB上方部分對應的函數圖象相切時，如圖1