2020年普通高等學校招生全國統一考試1卷理科數學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的..若z=l+3則|z'-2z|=( )A.0 B.1 C.y/2 D.2【答案】D由題意首先求得的值，然后計算其模即可.【詳解】由題意可得：r=(l+/)2=2z,則z2-2z=2i-2(l+i)=-2.故歸一2z卜卜2卜2.故選：D..設集合力二{x大：-4W0},比{x|2戶aWO),且月G比{x|-2WxWl),則 )A.-4 B.-2 C.2 D.4【答案】B由題意首先求得集合A,B,然后結合交集的結果得到關于<3的方程，求解方程即可確定實數a的值.【詳解】求解二次不等式片一4Ko可得：A={x\-2<x<2},求解一次不等式2x+aK0可得：B=^x\x<-^..由于Ac8={x|-2Vx〈l},故：—3=1,解得：a=-2.2故選：B..埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面枳等于該四棱錐一個側面三角形的面枳，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()

V5+14V5+14【答案】C設CD=a,PE=b,利用= 得到關于。力的方程，解方程即可得到答案.2【詳解】如圖,、設CD=a,PE=b,【詳解】如圖,、設CD=a,PE=b,則po=[PE?-OE?=由題意尸。，=2。必，即必一±=!4人化簡得4（2『一2-2一1=0,2 4 2 aa解得2=11正（負值舍去）.a4故選：C.TOC\o"1-5"\h\z.已知力為拋物線C/=2px（p>0）上一點，點月到。的焦點的距離為12,到y軸的距離為9,則正：（ ）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設拋物線的焦點為凡由拋物線的定義知|A尸卜4+§=12,即12=9+§,解得P=6.乙 乙故選：C.5.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x（單位：°C）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據（X，X）（i=L2,…,20）得到下面的散點圖：-2-由此散點圖，在10°C至40。C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（ ）A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+bhix【答案】D根據散點圖的分布可選擇合適的函數模型.【詳解】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數函數的圖象附近，因此，最適合作為發芽率）和溫度x的回歸方程類型的是y=o+〃lnx.故選：D.6.函數= 2丁的圖像在點（1，/（I））處的切線方程為（ ）A.y=-2x-l b.y=-2x+lc.y=2x-3 D.y=2x+l【答案】B【分析】求得函數的導數r（x）,計算出了⑴和r。）的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.【詳解】??,f（^）=X4-2x, = -6/,⑴二一1,r⑴二一2,因此，所求切線的方程為）葉1二-2（xT）,即），=-2x+l.故選：B.7.設函數〃x）=cos（5+3在［—兀河的圖像大致如下圖，則f（x）的最小正周期為（ ）10kA.——94兀C.—3【答案】C710kA.——94兀C.—3【答案】C7兀B.——637rD.——2由圖可得：函數圖象過點一4不,0,即可得到cos-兀C0+—6=0,結合一4乃,0是函數/(x)圖象與x軸負半軸的第一個交點即可得到一士￡?口+-二9 62即可求得。=—,再利用三角函數周期公式即可得解.【詳解】由圖可得：函數圖象過點一,0，將它代入函數/(X)【詳解】由圖可得：函數圖象過點一,0，將它代入函數/(X)可得：cos7t?0+—6=0,0是函數/(x)圖象與x軸負半軸的第一個交點,所以一文?刃+工二T二所以函數/(x)的最小正周期為'"故選：C8?(X+工)。+》)5的展開式中V/的系數為(XA.5B.A.5D.20C.D.20【答案】C-4-

求得（x+y）5展開式的通項公式為7；M=C#Jyr（reN且，-<5）,即可求得X+—與（％+y）5展開式X\/的乘積為。;產了或C04一）產形式，對，?分別賦值為3,1即可求得/產的系數，問題得解.【詳解】（x+y）5展開式的通項公式為（+1=。；產了（廠￡"且/<5）TOC\o"1-5"\h\z/ 2\所以1+2_的各項與“+卜）5展開式的通項的乘枳可表示為：Ix）xTr+l=xC；x-ryr=C；x6~ryr和X"=x。；/了=C#"）產X X在過+i=C""，y中，令r=3,可得：xT4=C^y\該項中心戶的系數為10,在二7；+]=。""3尸2中，令r=1,可得：匕.2=0*3）,3,該項中W的系數為5x -所以X：,且女os22-8cose=5,,且女os22-8cose=5,則sine=9.已知，B.A/B.3D.1D.C.—3【答案】A用二倍角余弦公式，將已知方程轉化為關于cosa的一元二次方程，求解得出cos。，再用同角間的三角函數關系，即可得出結論.【詳解】3cos2a—8cosc=5,得6cos,a-Scosa—S=0，2即3cos2e-4cos2-4=0，解得cosa=-1或cosa=2（舍去），又a￡（0,乃）,「.sina=Jl-cos'a=專.故選：A..己知A,民。為球。的球面上的三個點，。。1為6c的外接圓，若。。1的面積為4兀，AB=BC=AC=OOl9則球。的表面積為（）

64兀48兀64兀48兀36兀32兀【答案】A由已知可得等邊aAbC的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出。。】的值，根據球的截面性質，求出球的半徑，即可得出結論.【詳解】設圓半徑為小球的半徑為R,依題意，得九戶=4萬,.二/=2, △A6C為等邊三角形，由正弦定理可得AB=2rsin60°=2 ，:.OO,=AB=20，根據球的截面性質oq_L平面ABC,OQ_LOAR=OA= +0A2=Joo：+產=4，球O的表面枳S=4兀R2=64乃.故選：A.已知。MV+f—2x—2y—2=0,直線/：2x+y+2=0,。為/上的動點，過點。作。M的切線PA,PB,切點為48,當1PMi最小時，直線A6的方程為（）A.2x-y-l=0 b.2x+y-1=0 c.2x-y+l=0d,2x+y+l=0【答案】D由題意可判斷直線與圓相離，根據圓的知識可知，四點A,P,5,M共圓，且45，以，根據|尸物?卜可=4S"a"二4/刊可知，當直線用尸_L/時，|尸加上|4回最小，求出以為直徑的圓的方程,根據圓系的知識即可求出直線AB的方程.【詳解】圓的方程可.化為(x—l『+(y—l『=4,點M到直線/的距離為1=與券F=J^>2,所以直線/與圓相離.-6-

依圓的知識可知，四點API,“四點共圓，且A5LMP，所以|PM|-^|=4SFAA/=4xix|PA|x|AM|=4|PA|,而附|=J|M葉一4,1y=-X4-, 22x+y+2當直線"P_L/時，慳尸￡=萬，|產兒面=1,此時歸1y=-X4-, 22x+y+2/.MP:y-l=—(^-1)&P/.MP:y-l=—(^-1)&Py=-x+-,由22解得， .=0 〔尸。所以以A/P為直徑的圓的方程為(x—l)(x+l)+y(y—1)=0,即/+)，2-)，-1=0,兩圓的方程相減可得：2x+)，+l=0,即為直線46的方程.故選：D..若2"+log?。=4"+2log4人，則()A.a>2b B.a<2b C.a>b~ D.a<b2【答案】B設/(A)=2V+10g2A-,利用作差法結合/(M的單調性即可得到答案.【詳解】設〃刈=2'+10&%,則/W為增函數，因為2“+10g?4=4”+210g/=2?+10g*所以/(?)-fQb)=2"+log.a一(22+log,2/?)=22/,+log2b一(2"+log,2b)=log2l=-l<0,所以/(〃)</(2b),所以fw-/(〃)=2"+log2a—(2，J+log2b2)=22h+log2b—(2U+log,b2)=22h-2fo：-log2b,當b=l時，f(a)_f(a)=2〉0,此時/(〃)>/(/),有當b=2時,f(a)-f(b2)=-l<0,此時/(。)</(從),有avb：所以C、D錯誤.故選：B.二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。2x+y-2<0,.若x,y滿足約束條件<工一了一1之。，則z=x^7y的最大值為.),+1之0,【答案】1首先畫出可行域，然后結合目標函數的幾何意義即可求得其最大值.【詳解】繪制不等式組表示的平面區域如圖所示，-7-目標函數Z=X+7,，即：)'=-y%+yZ,其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據此結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點月處取得最大值，[2x+y-2=0 4聯立直線方程：\ 11c，可得點火的坐標為：A1,0,[x-y-l=0據此可知目標函數的最大值為：^^=1+7x0=1.故答案為：1..設。力為單位向量，且m+5|=i,則|不一5|=.【答案】/整理已知可得：,再利用為單位向量即可求得2.〃=一1，對變形可得:a-b= -2a-b+b,問題得解.【詳解】因為為單位向量，所以忖=愀=1所以a+B=J(c7+B;=Ja-+2〃?BB-=)2+2〃?6=1故答案為：.已知尸為雙曲線C：匚-1=1">0,〃〉0)的右焦點，月為。的右頂點，6為。上的點，且如垂直于x軸.a-lr若四的斜率為3,則。的離心率為.【答案】2

A-根據雙曲線的幾何性質可知，|6F|=—A-根據雙曲線的幾何性質可知，|6F|=—AF=c-a9即可根據斜率列出等式求解即可.【詳解】聯立a2b2a2=b2+c2b2AF\=c-a,即Z_ _3,變形得c+a=3a,c=2ac-aa(c-a)因此，雙曲線C的離心率為2.故答案為：2..如圖，在三棱錐尸一攝'的平面展開圖中，AOI,A8=AO=JJ，ABLAC,ABVAD,ZCA^3Q°,則cosZFCB=.P（P）P（P）【答案】一一*(P)【答案】一一4在△AC石中，利用余弦定理可求得CE，可得出C尸，利用勾股定理計算出5C、60，可得出8/，然后在^BCF中利用余弦定理可求得cosZFCB的值.【詳解】vAB1AC,AB=6AC=l,由勾股定理得BC=4AB?+AC2=2，同理得BD=?，.?.BF=BD=娓,在ZiAC石中，AC=L,AE=AD=8ZCAE=30s,由余弦定理得 =4C?+AE?-2AC?4Ecos30=l+3—2xlxJIx3=1,-9-

:.CF=CE=\,在&BCF中，BC=2,BF=a，CF=1,由余弦定理得cos/尸C6=CF2+BC2-BF2_1+4—6_由余弦定理得cos/尸C6=故答案為：一！.4三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22個試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據要求作答.(一)必考題：共60分.17.設｛%｝是公比不為1的等比數列，可為生，。3的等差中項.(1)求｛/｝的公比;(2)若q=1,求數列｛〃q｝的前〃項和.【答案】(1)一2；(2)s +卜2)〃 9(1)由己知結合等差中項關系，建立公比q的方程，求解即可得出結論；(2)由⑴結合條件得出｛%｝的通項,根據｛〃%｝的通項公式特征,用錯位相減法,即可求出結論.【詳解】(1)設｛〃”｝的公比為七外為生,生的等差中項，2%=a2+工0,?二q?+q-2=0,q手、：.q=-2；(2)設｛叫J前〃項和為S”，&=1,%=(-2)'1,S”=1x1+2x(-2)+3x(_2>+…+〃(一2)〃t,①-2S”=1x(-2)+2x(-2)2+3x(-2)3+???(〃-1)(-2尸+〃(一2)”,②①一②得，3\=1+(-2)+(If+…+(-2尸-〃(-2)〃TOC\o"1-5"\h\z1-(-2) ') 3.?D一 ?〃 9-10-18.如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.aASC是底面的內接正三角形，夕為。。上一點，PO=^DO.6（1）證明：平面08C：（2）求二面角5—PC—E的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）正.5（1）要證明Q4_L平面尸6C,只需證明QA_LP6，尸4_LPC即可；（2）以。為坐標原點，）為x軸，QV,為y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別算出平面PC5的法向—— 11.nj量為3,平面PC七的法向量為記，利用公式。。5〈團,〃>=1^；計算即可得到答案..HI|【詳解】（1）由題設，知△DAE1為等邊三角形，設4石=1,則。。=立，CO=BO=-AE=-,所以。。=漁。。=巫，TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 6 4PC=>jpo2+oc2=—,PB=ylPO2+OB2=—,4 4又448。為等邊三角形，則一竺=2。4,所以胡=正，sin60, 23PA2+PB2=-=AB2,則ZAP5=90'，所以PALPB，4同理EA_LPC,又PCCPB=P,所以尸A_L平面尸6C；（2）過0作ON〃勿交月6于點N,因為尸。1平面ABC,以。為坐標原點，）為x軸，"V為y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，-11-則鳳一今0,0）,P（0,0，￥）,8（-5日，0）,。（一：一手,0），設平面PCB的一個法向量為〃=（%,?,zJ，厘=4。邛）nPC=O

nPB=O得-5/3)；-5/2^=0+&「岳*=0設平面PCB的一個法向量為〃=（%,?,zJ，厘=4。邛）nPC=O

nPB=O得-5/3)；-5/2^=0+&「岳*=0令玉=應,得。=-1,%=°,設平面PCE的一個法向量為五二（a,乃,Zjth-PC=0m-PE=0-X2-揚3- =0-2尤-Viz,=0?—令公=1,得z?=—5/2,y2= ?所以而=（1,乎,_&）,,cos<m,n>=故小m 2>/2 2>/5內?向代乂回5

7忑設二面角6—PC-E的大小為夕，則cos￡=2.519.甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、-12-乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為之,2（1）求甲連勝四場的概率：（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.1 3 7【答案】(1)—:(2)-；(3)—.16 4 16（1）根據獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；（2）計算出四局以內結束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列舉出甲羸的基本事件，結合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.【詳解】（1）記事件【詳解】（1）記事件A/:甲連勝四場，則P（M）=pyJ;116（2）記事件A為甲輸，事件8為乙輸，事件C為丙輸,則四局內結束比賽的概率為(1\Pr=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)= -3所以，需要進行第五場比賽的概率為P= =（3）記事件人為甲輸，事件8為乙輸，事件C為丙輸，記事件M:甲贏，記事件N:丙贏，則甲贏的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC,<1A4A1V9所以，甲贏概率為P（M）=-+7x-=—.'，［2）⑶ 32由對稱性可知，乙嬴的概率和甲贏的概率相等，716,、 71620.已知人8分別為橢圓公20.已知人8分別為橢圓公（<2>1）的左、右頂點，6為￡的上頂點，AGGB=3^尸為直線尸6上的動點，用與E的另一交點為。，所與E的另一交點為2-13-

(1)求上的方程；(2)證明：直線⑦過定點.【答案】(1)二+)3=1；(2)證明詳見解析.9，(1)由已知可得：4(—。,0),5(。,0),G(0,l),即可求得而.麗=/一1，結合已知即可求得：/=9,問題得解(2)設P(6,)，0),可得直線AP的方程為：y=5(x+3),聯立直線AP的方程與橢圓方程即可求得點C的坐標為「3婷+27的坐標為「3婷+27<)'；+9程，整理直線CO的方程可得:)!=4K3、X--2J程，整理直線CO的方程可得:)!=4K3、X--2J命題得證.【詳解】(1)依據題意作出如下圖象:AG=(a,l)，GB=(a,-l)AG-GB=—1=8? a2=9橢圓方程為：—+r=19.(2)證明：設P(6,y0),v—0 ，則直線a尸的方程為：y二6；13)0+3)，即：y=?(x+3)-14-

X2,豆+>=1聯立直線A聯立直線AP的方程與橢圓方程可得：y=A(x+3)(%2+9卜2+6%2“+9)2-81=0,解得:X7或x=一”+27' %-+9將戶與差代入直線，甘…可得：產含將戶與差代入直線，甘…可得：產含所以點。的坐標為(-3婷+所以點。的坐標為(-3婷+276%]、婷+9')廣+9/同理可得：點。的坐標為’3)獷一312),。'

、>o2+13o：+1>二直線CD的方程為：y—一2)'o二直線CD的方程為：y—一2)'o6K

),；+9一2%bo2+lj-31+273”、31兒一+1)>02+9 ”2+1整理可得：)，+8)o年+1 6(9-)，))I6(3-婷/兒一+174y整理可得：)，+8)o年+1 6(9-)，))I6(3-婷/兒一+174y整理得：)'="J''

3(3-%)4)'。V-33(3-才)3x--2故直線co過定點21.已知函數f(x)=ex+ax2-x(1)當時，討論f(x)的單調性;(2)當才20時，f(X)—A^+b求<2的取值范圍.2【答案】(1)當xe(一吟0)時，尸(x)vOJ(x)單調遞減，當xe(O,+s)時，/(x)>0J(x)單調遞增.(2)- (2)- 7 \7-e-⑴由題意首先對函數二次求導，然后確定導函數的符號，最后確定原函數的單調性即可.⑵首先討論產0的情況，然后分離參數，構造新函數，結合導函數研究構造所得的函數的最大值即可確定實數&的取值范圍.-15

【詳解】(1)當4=1時,f(x)=ex+x2-x9r(x)=e'+2x—1,由于/〃（力="+2>0,故于。）單調遞增,注意到r（0）=0,故:當X￡（—8,O）時，r（x）<0J（x）單調遞減,當xe（O,+8）時，r（x）>0J（x）單調遞增.⑵由/（工）之2X3+1得，e'+aF— +l,其中xNO,.當戶0時，不等式為：121，顯然成立，符合題意；px-,Lr3-X—1.當x>0時，分離參數a得，、,2 ，廠-X2-X-12-X2-X-12X3、 e--x-x-l(g?=——，g,3=—令/?(1)=靖一；/一工一1(工20),則h'(^x)=ex-x-\.,〃"(x)=h—1之0,故〃'（力單調遞增,〃（力之磯0）=0,故函數〃（x）單調遞增,A（x）>A（0）=0,由之0可得：婷一!/一1一120恒成立，2故當x￡（0,2）時,g'x>0,g（x）單調遞增;當X￡（2,+S）時，g,X<0,g（x）單調遞減:因此，［g（x）L=g（2）=綜上可得，實數a的取值范圍是二二,+8.L4 ）（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。［選修4一4：坐標系與參數方程］c 「 x=COS*t,22.在直角坐標系xQv中，曲線G的參數方程為〈_.k”為參數）?