（備戰中考）2013年中考數學深度復習講義

二次函數

?知識講解

①一般地，如果y=ax?+bx+c（a,b,c是常數且aWO）,那么y叫做x的二次函數，

它是關于自變量的二次式，二次項系數必須是非零實數時才是二次函數，這也是判斷函

數是不是二次函數的重要依據.

②當b=c=O時-，二次函數產ax?是最簡單的二次函數.

③二次函數y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，aWO）的三種表達形式分別為：一般式：

y=ax2+bx+c,通常要知道圖像上的三個點的坐標才能得出此解析式；頂點式：y=a（x-h）

2

+k,通常要知道頂點坐標或對稱軸才能求出此解析式；交點式：y=a（x-x.）（x-x2）,

通常要知道圖像與X軸的兩個交點坐標X”X2才能求出此解析式；對于y=ax?+bx+c而言,

其頂點坐標為（一2,絲匕生）.對于尸a（x-h）2+k而言其頂點坐標為（h,k）,由

2a4a

于二次函數的圖像為拋物線，因此關鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂

八占、、?

④二次函數y=ax?+bx+c的對稱軸為x=—白，最值為"?，（k>0時為最小值，k<0

時為最大值）.由此可知產ax?的頂點在坐標原點上，且y軸為對稱軸即x=0.

⑤拋物線的平移主要是移動頂點的位置，將丫=2乂2沿著y軸（上“+”，下“一”）平

移k（k>0）個單位得到函數y=ax2±k,將y=ax2沿著x軸（右“一”，左"十”）平移h

（h>0）個單位得到尸a（x±h）2.在平移之前先將函數解析式化為頂點式，再來平移,

若沿y軸平移則直接在解析式的常數項后進行加減（上加下減），若沿x軸平移則直接在

含x的括號內進行加減（右減左加）.

⑥在畫二次函數的圖像拋物線的時候應抓住以下五點：開口方向，對稱軸，頂點，與

X軸的交點，與y軸的交點.

⑦拋物線尸ax?+bx+c的圖像位置及性質與a,b,c的作用：a的正負決定了開口方向，

當a>0時，開口向上，在對稱軸x=-2的左側，y隨x的增大而減小；在對稱軸x=—2

2a2a

的右側，y隨x的增大而增大，此時y有最小值為產”士生，頂點（一2,處士）為

-4a2a4a

最低點；當a<0時，開口向下，在對稱軸x=-2的左側，y隨x的增大而增大，在對稱

軸x=-2的右側，y隨x的增大而增大，此時y有最大值為，頂點（一，如之）

2a4a4〃

為最高點.Ia|的大小決定了開口的寬窄，|a|越大，開口越小，圖像兩邊越靠近y

軸，|a|越小，開口越大，圖像兩邊越靠近x軸；a,b的符號共同決定了對稱軸的位

置，當b=0時，對稱軸x=0,即對稱軸為y軸，當a,b同號時，對稱軸x=—2<o,即

對稱軸在y軸左側，垂直于x軸負半軸，當a,b異號時，對稱軸x=—二>0,即對稱軸

在y軸右側，垂直于x軸正半軸；c的符號決定了拋物線與y軸交點的位置，c=0時，拋

物線經過原點，c>0時、與y軸交于正半軸；c<0時，與y軸交于負半軸，以上a,b,c

的符號與圖像的位置是共同作用的，也可以互相推出.

?例題解析

例1（2011湖南湘潭市，25,10分）（本題滿分10分）

如圖，直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一

點C（3,0）..y,

⑴求拋物線的解析式；JAK

⑵在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使△ABQ是等腰三角形？若/j\存

在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由.「J/一1一

【答案】解：（1）設拋物線的解析式為：y=a2+bx+c/|；\

Xo

???直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點

???A點坐標為（-1,0）、B點坐標為（0,3）.

又???拋物線經過A、B、C三點，

〃一/7+。=0

9o+3/?+c=0,解得:h=2,

；?拋物線的解析式為：y=-x?+2x+3.

（2）Vy=-x2+2x+3=-U-l）2+4,，該拋物線的對稱軸為x=l.

設Q點坐標為（1,m）,貝IJ4Q=44+/，8。=Ji+（3—⑼2,XA5=V10.

當AB=AQ時，,4+加2=V10,解得：m-±V6,

???Q點坐標為（1,屈）或（1,-V6）;

當AB=BQ時，V10=-Ji+（3-m）2,解得：網=0,機,=6,

???Q點坐標為（1,0）或（1,6）；

當AQ=BQ時，"+〃?2=Jl+（3-〃?）2,解得：/??=1,

???Q點坐標為（1,1）.

，拋物線的對稱軸上是存在著點Q（1,后）、（1,-V6）＞（1,0）、（1,6）、（1,1）,使

△ABQ是等腰三角形.

例2（2011湖北荊州，22,9分）（本題滿分9分）如圖，等腰梯形ABCD的底邊AD在x

軸上，頂點C在y軸正半軸是，B（4,2）,一次函數）=晨-1的圖象平分它的面積，關于x

的函數y=/"/—（3,/+A）X+2/”+A的圖象與坐標軸只有兩個交點，求m的值.

【答案】解：過B作BE_LAD于E,連結OB、CE交于點P,

TP為矩形OCBE的對稱中心，則過P點的直線平分矩形OCBE）用“

C/B

的面積./]-/一\

TP為OB的中點，而B（4,2），P點坐標為（2,1）//\r

Y

在RtZkODC與RtZkEAB中，OC=BE,AB=CD'

：.RtAODC^RtAEAB（HL）,

??SAODC=SAEBA

，過點（0,-1）與P（2,1）的直線即可平分等腰梯形面積，這條直線為y=kx-l

.*.2k-l=l,.*.k=l

又?:y=mx2-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標軸只有兩個交點，故

①當m=0時，y=-x+l,其圖象與坐標軸有兩個交點（0,1）,（1,0）

②當m邦時，函數>=混_(3血+幻》+2m+%的圖象為拋物線，且與y軸總有一個交點(0,

2m+l)

若拋物線過原點時，2m+l=0,BPm=--,此時△=(3m+l)2-4m(2m+l)=->0

24

，拋物線與X軸有兩個交點且過原點，符合題意.

若拋物線不過原點，且與X軸只有一個交點，也合題意，

此時△，=(3m+l)2-4m(2m+l)=0

解之得：mi=m2=-l

綜上所述，m的值為m=0或-工或-1.

2

例3已知關于x的二次函數y=x2—mx+y=x2—mx--1-2,這兩個二次函數的圖

22

像中的一條與x軸交于A,B兩個不同的點.

(1)試判斷哪個二次函數的圖像經過A,B兩點；

(2)若A點坐標為(-1,0),試求B點坐標；

(3)在(2)的條件下，對于經過A,B兩點的二次函數，當x取何值時，y的值隨x

值的增大而減小？

【解答】(1)對于關于x的二次函數產x2—mx+與L

由于b?—4ac=(—m)—4X1Xm+1=—m2~2<0>

2

所以此函數的圖像與x軸沒有交點.

對于關于x的二次函數y=x2—mx—m+2.

2

由于b?—4ac=(—m)2—4X1Xm+2=3m2+4>0>

2

所以此函數的圖像與x軸有兩個不同的交點.

故圖像經過A,B兩點的二次函數為尸x2—mx—

2

(2)將A(—1,0)代入y=x?—mx—"*.

2

得］+m—+2=0.整理，得m?-2m=0.解得m=0或m=2.

2

2

當m=0時，y=x—1.令y=0,得x?—1=0.解這個方程，得Xi=-1,x2=l.

此時，點B的坐標是B(1,0).

當m=2時，y=x2—2x—3.令y=0,得x?—2x—3=0.

解這個方程，得xi=l,X2=3.

此時，點B的坐標是B(3,0).

(3)當m=0時，二次函數為y=x2—1,此函數的圖像開口向上，對稱軸為x=0,

所以當x<0時-，函數值y隨x的增大而減小.

當m=2時，二次函數為y=x2—2x—3=(x—1)之一4,此函數的圖像開口向上，對稱軸為

x=l,所以當x<l時，函數值y隨x的增大而減小.

【點評】本題是一道關于二次函數與方程、不等式有關知識的綜合題，但它仍然是反映

函數圖像上點的坐標與函數解析式間的關系，抓住問題的實質，靈活運用所學知識，這

類綜合題并不難解決.

二次函數

一、選擇題

1.(2011山東濱州，7,3分)拋物線y=(x+2)2-3可以由拋物線y=Y平移得到，則下列平

移過程正確的是()

A.先向左平移2個單位，再向上平移3個單位

B.先向左平移2個單位，再向下平移3個單位

C.先向右平移2個單位，再向下平移3個單位

D.先向右平移2個單位，再向上平移3個單位

2.(2011廣東廣州市，5,3分)下列函數中，當x>0時一y值隨x值增大而減小的是().

2忌

A.y=xB.y-x~1C.4D.

【答案】D

3.（2011湖北鄂州，15,3分）已知函數則使y=k成立的x值恰好有

（x-5）--l（x>3）

三個，則k的值為（）A.0B.1C.2D.3

4（2011山東德州6,3分）已知函數y=（x-a）（x-/>）（其中a>b）的圖象

如下面右圖所示，則函數y=+b的圖象可能正確的是

【答案】D

5.（2011山東荷澤，8,3分）如圖為拋物線y=法+c的圖像，A、B、C為拋物線與坐

標軸的交點，且OA=OC=1,則下列關系中正確的是

A.。+。=一1B.a—b-—\C.b<2aD.ac<0

【答案】B

6.（2011山東泰安，20,3分）若二次函數yaf+bx+c的％與y的部分對應值如下表:

X-7-6-5-4-3-2

y-27-13-3353

則當％=1時，y的值為

A.5B.-3C.-13D.-27

【答案】D

7.（2011山東威海，7,3分）二次函數y=V—2x-3的圖象如圖所示.當y

V0時，自變量x的取值范圍是（）.

A.-l<x<3B.x<-lC.x>3D.xV—l或無>3

【答案】A

8.（2011山東煙臺，10,4分）如圖，平面直角坐標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則

下列關系正確的是（）

A.9左>〃B.

C.k/?D."7<M,k~~h

【答案】A

9.（2011浙江溫州，9,4分）已知二次函數的圖象（0心3）如圖所示.關于該函數在所給

自變量取值范圍內，下列說法正確的是（）

A.有最小值0,有最大值3B.有最小值一1,有最大值0

C.有最小值一1,有最大值3D.有最小值一1,無最大值

【答案】D

10.（2011四川重慶，7,4分）已知拋物線yuaf+bx+c（存0）在平面（第9題圖）

直角坐標系中的位置如圖所示，則下列結論中正確的是0

A.Q>0B.b<0C.c<0D.a-\~b-\-c>0

【答案】D

11.（2011臺灣臺北，6）若下列有一圖形為二次函數y=2?-8x+6的圖形，則此圖為何?

【答案】A

12.（2011臺灣臺北，32）如圖（十四），將二次函數y=31/—999x+892的圖形畫在坐標平面上，判斷方程

^31.r2-999x+892=0的兩根，下列敘述何者正確？

A.兩根相異，且均為正根B.兩根相異，且只有一個正根

C.兩根相同，且為正根D.兩根相同，且為負根

【答案】A

13.（2011臺灣全區，28）圖（十二）為坐標平面上二次函數y=a/+法+。的圖形，且此圖形通（一］,

1）、（2,-1）兩點.下列關于此二次函數的敘述，何者正確？

A.y的最大值小于OB.當x=0時，y的值大于1

C.當x=l時，y的值大于ID.當x=3時，y的值小于0

【答案】D

14.(2011甘肅蘭州，5,4分)拋物線y=x2-2x+l的頂點坐標是

A.(1,0)B.(-1,0)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】A

15.(2011甘肅蘭州，9,4分)如圖所示的二次函數)，=辦2+法+c的圖象中，劉星同學觀

2

察得出了下面四條信息：(1)b-4ac>0；(2)c>l；(3)2a-b<0；(4)a+b+c<00你認

為其中埼誤的有

A.2個B.3個C.4個D.1個

【答案】D

16.(2011江蘇宿遷,8,3分)已知二次函數y=o?+云+c(aWO)

象如圖，則下列結論中正確的是(▲)

A.a>0B.當l>1時，y隨工的增大而增大

C.c<0D.3是方程ax2+o%+c=o的一個根

【答案】D

17.(2011山東濟寧，8,3分)已知二次函數》=辦2+以+'中,

其函數y與自變量x之間的部分對應值如下表所示:

x...01234

y...41014

點A(王，弘)、B(x2,y2)在函數的圖象上,則當Ie%<2,3<工2<4時,%與%的大小

關系正確的是

A.%>%B.%<y2c.>y2D.<y2

【答案】B

18.(2011山東聊城，9,3分)下列四個函數圖象中，當x<0時-，函數值y隨自變量x的

增大而減小的是()

【答案】D

19.(2011山東濰坊，12,3分)已知一元二次方程*2+bx+c=0(a>0)的兩個實數根石、x2

滿足玉+工2=4和玉々=3，那么二次函數y=ax?+/?x+c(a>0)的圖象有可能是()

【答案】c

20.(2011四川廣安，10,3分)若二次函數y=(x-加了-1.當xWl時，y隨x的增大而減

小，則加的取值范圍是()

A.m=1B.m>1C.加NID.mW1

【答案】c

21.(2011上海，4,4分)拋物線y=-Q+2)2—3的頂點坐標是().

(A)(2,一3)；(B)(-2,3)；(C)(2,3)；(D)(-2,-3).

【答案】D

22.(2011四川樂山5,3分)將拋物線y=-d向左平移2個單位后,得到的拋物線的解析

式是A.y--(x+2)2B.y--x2+2C.y--(x-2)2D.y--x2-2

【答案】A

23.(2011四川涼山州,12,4分)二次函數丁=江+》+’的圖像如圖所示，反比列函數片2

X

與正比列函數）"云在同一坐標系內的大致圖像是（）

【答案】B

24.（2011安徽蕪湖，10,4分）二次函數>=辦2+云+c的圖象如圖所示，則反比例函數y=3

X

與一次函數y=bx+c在同一坐標系中的大致圖象是（）.

25.（2011江蘇無錫，9,3分）下列二次函數中，圖象以直線x=2為對稱軸，且經過點（0,

1）的是0

A.y=（x-2）2+lB.y=（x+2）2+lC.y=（x-2）2-3D.y=（無+2產-3

【答案】C

26.（2011江蘇無錫，10,3分）如圖，拋物線y=f+l與雙曲線y=《的交點A的橫坐標是

1,則關于X的不等式由+d+l<0的解集是（）

A.x>lB.x<-lC.0<x<lD.-l<x<0

【答案】D

(x-1)'-1(x^3)

27.(2011湖北黃岡,15,3分)已知函數y=<則使y=k成立的x值恰好

(X-5)2-1(X>3)

有三個，則k的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

28.（2011廣東肇慶，10,3分）二次函數y=/+2x-5有

A.最大值-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6

【答案】D

29.（2011湖北襄陽，12,3分）已知函數y=（k_3*+2x+l的圖象與％軸有交點，則攵的取

值范圍是

A.k<4B,k<4C.k<4且左43D.k44且

【答案】B

30.（2011湖南永州，13,3分）由二次函數y=2（x-3>+l,可知（）

A.其圖象的開口向下B.其圖象的對稱軸為直線x=-3

C.其最小值為ID.當為<3時，y隨X的增大而增大

【答案】C.

31.（20011江蘇鎮江,8,2分）已知二次函數^=-/+犬_：，當自變量x取m時,對應的函數值大

于。當自變量x分別取時對應的函數值7、為,則必值V，%滿足（）

A.y>0,J2>0B.y,<0,y2<0C.y,<0,%>0口.必>0,y2<0

答案[B]

32.（2011安徽蕪湖，10,4分）二次函數y=ax2+Z^+c的圖象如圖所示，則反比例函數y=@

X

與一次函數y=bx+c在同一坐標系中的大致圖象是（）.

【答案】D

33.（2010湖北孝感，12,3分）如圖，二次函數丫=2乂2+6乂+（:的圖

象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為1,1],下列結論：①acVO；②

a+b=O；③4ac-b'J4a；④a+b+cVO.其中正確的個數是（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

34.（2011湖南湘潭市，8,3分）在同一坐標系中，一次函數y=ax+l與二次函數y=/+a的圖像可能是

二、填空題

1.（2011浙江省舟山，15,4分）女

象經過點（一1,0）,（1,-2

圍是—.

【答案】

2

2.（2011山東日照,17,4分）如|,是二次函數y=ax2+bx-\-c（QWO）的圖象的一部

分，給出下列命題：①a+b+c=（②b>2a；③af+bx+c=O的兩根分別為-3和1；④

a-2b+c>0.其中正確的命題是.（只要求填寫正確命題的序號）

【答案】①③.

7.（2011浙江省嘉興，15,5分）如圖，已知二次函數尸產+加+。的圖象經過點（-1,0）,

（1,-2）,該圖象與x軸的另一個交點為C,則AC長為.

【答案】3

8.（2011山東濟寧，12,3分）將二次函數y=/_4x+5化為y=（x-4+女的形式，則y=.

【答案】y=（x-獷+1

9.（2011山東濰坊，14,3分）一個y關于x的函數同時滿足兩個條件：①圖象過（2,1）

點;②當x>0時,y隨x的增大而減小.這個函數解析式為

（寫出一個即可）

【答案】如：y=2,）,=—x+3,y=—x2+5等，寫出一個即可.

X

10.（2011重慶江津，18,4分）將拋物線y=x?—2x向上平移3個單位，再向右平移4個

單位等到的拋物線是.

【答案】y=（x-5）2+2或y=x2-10x+27

11.（2011江蘇淮安，14,3分）拋物線y=f-2%-3的頂點坐標是.

【答案】（1,-4）

12.（2011貴州貴陽，14,4分）寫出一個開口向下的二次函數的表達式.

【答案】y-f+2%+1

13.（2011廣東茂名，15,3分）給出下列命題：

命題1.點（1,1）是雙曲線），=’與拋物線）,=/的一個交點.

X

命題2.點（1,2）是雙曲線y=2與拋物線y=2/的一個交點.

X

命題3.點（1,3）是雙曲線），=3與拋物線>=3代的一個交點.

X

請你觀察上面的命題，猜想出命題"（〃是正整數）：

【答案】點（1,〃）是雙曲線）一四與拋物線y=〃》2的一個交點.

X

14.（2011山東棗莊，18,4分）拋物線>=公2+法+'上部分點的橫坐標了,縱坐標），的對

應值如下表：

X???-2—1012???

4

y0466???

從上表可知，下列說法中正確的是—.（填寫序號）

①拋物線與x軸的一個交點為（3,0）；②函數廣江+云+c的最大值為6；

③拋物線的對稱軸是x=；;④在對稱軸左側，y隨x增大而增大.

【答案】①③④

15.

三、解答題

1.（2011廣東東莞，15,6分）已知拋物線y=；Y+x+c與X軸有交點.

（1）求c的取值范圍；

（2）試確定直線y=cx+l經過的象限，并說明理由.

【答案】（1）:?拋物線與x軸沒有交點

/VO,g|Jl-2c<0

解得c>!

2

（2）Vc>-

2

直線y=-x+l隨x的增大而增大，

2

Vb=l

二.直線y='x+l經過第一、二、三象限

2

2.(2011重慶江津,25,10分)已知雙曲線y=&與拋物線y=zx2+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、

X

c(—3,n)三點.

⑴求雙曲線與拋物線的解析式；

(2)在平面直角坐標系中描出點A、點B、點C,并求出AABC的面積，

【答案】(1)把點A(2,3)代入y=&得：k=6?

X

...反比例函數的解析式為：y=9?

X

把點B(m,2)、C(—3,n)分別代入y=9得：m=3,n=-2?

X

把A(2,3)、B⑶2)、C(-3,-2)分別代入y=ax2+bx+c得：

a=——1

4。+2b+c=33

<9Q+36+C=2解之得<b=Z

3

9a-3h-^c=-2

c=3

二.拋物線的解析式為：y=--x2+-x+3?

33

(2)描點畫圖

SAABC=-(1+6)X5-1X1X1-1X6X4=--1-12=5?

22222

3.(2011江蘇泰州，27,12分)已知：二次函數尸亦十以一3的圖像經過點P(-2,5).

(1)求匕的值，并寫出當1V%W3時y的取值范圍；

(2)設點P](〃如)、P2(機+1,”)、P3(機+2,丁3)在這個二次函數的圖像上.

①當加=4時，為、乃、刈能否作為同一個三角形的三邊的長？請說明理由；

②當加取不小于5的任意實數時，刃、％、為一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明

理由.

【答案】解：(1)把點P代入二次函數解析式得5=(-2)2—2b—3,解得b=-2.

當1VXW3時y的取值范圍為一4<yW0.

(2)①m=4時，yi、y2>y3的值分別為5、12、21,由于5+12V21,不能成為三角形的

三邊長.

22

②當m取不小于5的任意實數時，yi>y2>丫3的值分別為m—2m—3>m?—4、m+2m

—3,由于，m2—2m—3+m2—4>m2+2m—3,(m—2)2—8>0,

當m不小于5時成立，即yi+y2>y3成立.

所以當m取不小于5的任意實數時，yi>丫2、丫3一定能作為同一個三角形三邊的長，

4.(2011廣東汕頭，15,6分)已知拋物線y=；/+x+c與％軸有交點.

(1)求c的取值范圍；

(2)試確定直線y=cx+l經過的象限，并說明理由.

【答案】(1)\?拋物線與x軸沒有交點

/V0,即l—2cV0

解得c>，

2

(2)Vc>-

2

...直線y=lx+l隨x的增大而增大，

2

Vb=l

.?.直線y=Lx+l經過第一、二、三象限

2

5.(2011湖南懷化，22,10分)已知：關于X的方程/—(l-3a)x+2a-1=0

(1)當a取何值時,二次函數>=以2-(1-3a)x+2a-l的對稱軸是x=-2；

(2)求證：a取任何實數時，方程(1-3a)x+2a-1=0總有實數根.

【答案】

(1)解：?二次函數y=a/_(1_3a)x+2“_1的對稱軸是x=-2

.?.「(1一3嘰_2

2a

解得a=-l

經檢驗a=-l是原分式方程的解.

所以a=-l時，二次函數>=好2_(1-3a)x+2a-l的對稱軸是x=-2；

（2）1）當a=0時-，原方程變為-x-l=O,方程的解為x=-l；

2）當a，0時、原方程為一元二次方程，以2一（1一34）工+24-1=0,

當4“c20時，方程總有實數根，

[-（l-3a）]2-4a（2a-l）>0

整理得，?2-2?+1=0

（a-1）2>0

Va^O時（a—1產20總成立

所以a取任何實數時，方程/—（i_3a）x+2"1=0總有實數根?中.考.資源網

6.（2011江蘇南京，24,7分）（7分）已知函數丫=0^—6*+1（m是常數）.

⑴求證：不論m為何值，該函數的圖象都經過y軸上的一個定點；

⑵若該函數的圖象與x軸只有一個交點，求m的值.

【答案】解：⑴當x=0時-，y=l.

所以不論〃z為何值，函數y=〃1-6x+l的圖象經過y軸上的一個定點（0,1）.

⑵①當m=0時,函數y=-6x+1的圖象與x軸只有一個交點；

②當機00時，若函數y=加_6》+1的圖象與x軸只有一個交點，則方程/nr?_6》+1=0

有兩個相等的實數根，所以（-6）2-4血=0,加=9.

綜上，若函數y=g2-6x+l的圖象與x軸只有一個交點，則機的值為。或9.

10.（2011四川綿陽24,12）已知拋物線:y=%2-2x+m-l與x軸只有一個交點，且與y軸交

于4點，

如圖，設它的頂點為8

（1）求m的值；

（2）過A作x軸的平行線，交拋物線于點C,求證是aABC是等腰直角三角形；

（3）將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線C,且與x軸的左半軸交于E點，與y

軸交于尸點，如圖.請在拋物線C上求點尸，使得△互1。是以97為直角邊的直角三角形.

Ay

【答案】(1)拋物線與X軸只有一個交點，說明△=(),.，.m=2

(2)?.?拋物線的解析式是y=x2-2x+l,.\A(0,1),B(1,0).,.AAOB是等腰

直角三角形，又AC〃OB,「.ZBAC=ZOAB=45°A,C是對稱點，/.AB=BC,

A△ABC是等腰直角三角形。

(3)平移后解析式為y=x2-2x-3,可知E(-l,0),F(0,-3).*.EF的解析式為：y=-3x-3,平面內互

相垂直的兩條直線的k值相乘=-1,所以過E點或F點的直線為yjx+b把E點和F點分

別代入可得b=1或-3-Jy=1x+；或y=|x-3列方程得^+3解方程x[=-l足蘭內是E

[y=x2-2x-3

點坐標舍去，把X2=￥代入得y卷,.「Pi(學-y)同理°=產3易得X]=o舍去，X2=1K

[y=x2-2x-3

,20.720、

入丫=一百丁n:2(亨-瓦)

11.(2011貴州貴陽，21,10分)

如圖所示，二次函數y=-f+2x+加的圖象與x軸的一個交點為A(3,0),另一個交點

為B,且與y軸交于點C.

(1)求相的值；(3分)

(2)求點8的坐標；(3分)

(3)該二次函數圖象上有一點。(％,y)(其中％>0,y>0),使Sx8o=Sj8c，求點

。的坐標.(4分)

y

八:

(第21題圖)

【答案】解：(1)將(3,0)代入二次函數解析式，得

-32+2X3+m=0.

解得,m=3.

(2)二次函數解析式為尸-f+2尤+3,令產0,得

~X2+2X+3=0.

解得尸3或x=T.

...點3的坐標為(-1,0).

(3)SaABD=&ABC，點。在第一象限，

...點C、D關于二次函數對稱軸對稱.

???由二次函數解析式可得其對稱軸為尸1,點C的坐標為(0,3),

.?.點。的坐標為(2,3).

12.(2011廣東省，15,6分)已知拋物線y=；f+x+c與％軸有交點.

(1)求c?的取值范圍；

(2)試確定直線y=cx+l經過的象限，并說明理由.

【答案】(1)?拋物線與x軸沒有交點

/V0,即1—2cV0

解得c>!

2

(2)Vc>-

2

二.直線y=-x+l隨x的增大而增大，

2

Vb=l

.?.直線丫=!*+1經過第一、二、三象限

2

13.（2011廣東肇慶，25,10分）已知拋物線），=/+加x—3加2（〃?〉（））與方軸交于4、B兩

4

點.

（1）求證：拋物線的對稱軸在y軸的左側；

（2）若-L—-L=2（。是坐標原點），求拋物線的解析式；

OBOA3

（3）設拋物線與y軸交于點C,若AA8C是直角三角形，求AA8C的面積.

【答案】（1）證明：,機〉0/.x=—=--<0

2a2

二?拋物線的對稱軸在y軸的左側

（2）解：設拋物線與x軸交點坐標為A（再，0）,B（x2,0）,

3

貝（JX］+X2=一機<0,X］?%=-<0，?*X1x2^T*勺

又二——L=2>0...。4>。8由（1）知：拋物線的對稱軸在y軸的左側

OBOA3

?二不<0,x2>0/.OA=|xj=-%j,OB=x2

代入LL=得：L_L」+L2

OBOA3x2-x}x2尤13

即土出=2,從而二^_=2,解得：m=2

西飛3_3m23

4

工拋物線的解析式是y=/+2x—3

（3）［解法一］:當x=0時，產-：療...拋物線與），軸交點坐標為。（0,一如2）

?.'△ABC是直角三角形，且只能有ACJ_BC,XOC±AB,

：.ZCAB=90°-ZABC,Z.BCO=90°—/ABC,：.ZCAB=ZBCO

:.RtAAOCsRNOB,

器=票,即必3加.一%

即以，獷解得：吧找中.考.資源.網

此時一評=［筍）2=7,.?.點C的坐標為（0,-1）:.oc=\

*/m>0,/.卜-=2m即AB=2m/.AABC的面積=gAB-OC=gx2mxl=

［解法二］:略解:當x=0時，y=—3蘇.?.點c(0,_3m2)

44

?.,△ABC是直角三角形，AB2AC2+BC2

22222

/.(X1-X2)-x：+(--m)+x；+(--m)

-2x.-x=—m4-2(--??z2)=—m4

12848

解得：機=2有

3

?*,SMBC=；、4即|0。|=；卜|一了21-j〃?2=gx2，〃x|■機2

i3

14.(2011江蘇鹽城，23,10分)已知二次函數y=-x+1.

(1)在給定的直角坐標系中，畫出這個函數的圖象；

(2)根據圖象，寫出當yVO時一，％的取值范圍；

(3)若將此圖象沿x軸向右平移3個單位，請寫出平移后圖象所對應的函數關系

式.

y

+-+-+-+-++-+-+-+-+

+-+-+-+-+?

4--4-4-1-++-4---i—+—I-

+-4--+-+-+

-i—!—I—i—i--l—i—l—i—F'

--+++-+-+-++++-X

-I—1--4-1--4-—i—4—I—

-i-I—I-1--+

—4-4-+-+-+--i—i—

【答案】(1)畫圖(如圖);

(2)當yVO時，區的取值范圍是％V-3或x>l；

(3)平移后圖象所對應的函數關系式為廣」(x-2)2+2(或寫成y=1/+2x).

15.(20011江蘇鎮江,24,7分)如圖，在AABO中,已知點A(百,3)&(-1,-1),0(0,0),正比例y=-x

的圖象是直線1,直線AC〃x軸交直線1于點C.

(1)C點坐標為;

(2)以點0為旋轉中心，將△ABO順時針旋轉角a(0。<a<180°),使得點B落在直線1上的

對應點為*，點A的對應點為A，得到△A。9.

①Na=;

②畫出△408';

(3)寫出所有滿足△DOCsaAOB的點D的坐標.

【答案】解：⑴C點坐標為(-3,3)；(2)①Na=90°②略(3)4(9,-36)，&(36，-9).

16.(2011廣東中山，15,6分)已知拋物線y=#+x+c與九軸有兩個不同的交點.

(1)求c的取值范圍；

(2)拋物線y=；/+x+c與X軸兩交點的距離為2,求C的值.

【解】(1)..?拋物線與X軸有兩個不同的交點

...力>0,即l—2c>0

解得eV：

2

(2)設拋物線y=?2+x+c與％軸的兩交點的橫坐標為王,，

???兩交點間的距離為2,

/.Xj-x2=29

由題意,得玉+*2=-2

角阜得士=0,工2=—2

/.c-x1-x2=0

即C的值為0.

17.(2011貴州安順，27,12分)如圖，拋物線y=gPW—2與1軸交于A、B兩點，與

y軸交于。點，且4(一1,0).

⑴求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

(3)點M(加，0)是x軸上的一個動點，當CM+OM的值最小時，求加的值.

給C7旦市囪

【答案】(1)???點A(-1,0)在拋物線產法一2上，.?.；、(-1)2+川(-1)-2=0,解

得分=一：

2

.二拋物線的解析式為y=1f-3%-2.產,%2_2%_2=_1(工2_3*_4)=_1(*-3)2_紀

■22222228

...頂點D的坐標為(3,-紀).

28

(2)當x=0時尸-2,；.C(0,-2),OC=2o

當y=0時，^X2-^X-2=0,x1--1,X2=4,B(4,0)

03=4,A8=5.

'：AB2^25AC2^OA2+OC2^5,BC2^OC2+OB2^20,

：.AC2+BC2=AB2.：.△ABC是直角三角形.

(3)作出點C關于x軸的對稱點C',則C'(0,2),。。'=2,連接C，

。交x軸于點M,根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MO的值最

解法一：設拋物線的對稱軸交x軸于點E.

ED〃y軸,ZOC'M=/EDM,ZC'OM=ZDEM

.'./XC/OM^/XDEM.

?OM_OC

??~EM~~ED

2?_24

???m----=，??m---?

32541

----m

28

解法二：設直線CD的解析式為y=kx+n,

n=2

則4325，解得〃=2,

—k+n=---12

128

?41「

??y=x+2.

12

/.當y=0時，一￡工+2=0,

12

2424

x=一m=——

4141

18.(2010湖北孝感，25,2分)如圖(1),矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中x軸上,

折疊邊AD,使點D落在x軸上點F處,折痕為AE,已知AB=8,AD=10,并設點B坐標為(m,0),

其中m>0.

(1)求點E、F的坐標(用含m的式子表示)；(5分)

(2)連接0A,若△OAF是等腰三角形，求m的值；(4分)

(3)如圖(2),設拋物線y=a(x—m—6^+h經過A、E兩點，其頂點為M,連接AM,若N

0AM=90。，求a、h、m的值.(5分)

【答案】解：(1)?四邊形ABCD是矩形，

.*.AD=BC=10,AB=CD=8,ZD=ZDCB=ZABC=90°.

由折疊對稱性：AF=AD=10,FE=DE.

在RtAABF中,BF=>JAF2-AB2=V102-82=6.

FC=4.

在RtAECF中，42+(8-x)2=x2,解得x=5.

/.CE=8-x=3.

VB(m,0),.*.E(m+10,3),F(m+6,0).

(2)分三種情形討論：

若AO=AF,VAB±OF,AOB=BF=6.Am=6.

若OF=AF,貝ljm+6=10,解得m=4.

若AO=OF,在R3AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64,

(m+6)2=m2+64,解得m=L

3

綜合得m=6或4或N.

3

(3)由(1)知A(m,8),E(m+10,3).

依題意，得卜(〃i—6?=8,

。(小+10-團-6)~+0=3

，_1

解得"=『

/?=—1.

AM(m+6,-1).

設對稱軸交AD于G.

AG(m+6,8),AAG=6,GM=8—(-1)=9.

VZOAB+ZBAM=90°,NBAM+NMAG=90。，

二.ZOAB=ZMAG.

又：/ABO=NMGA=90。,

.,.△AOB^AAMG.

?OBABjjpm8

??MG-AG，9-6'

.*.m=12.

19.

21.（2011湖北宜昌，24,11分）已如拋物線y=ax?+bx+c與直線y=mx+n相交于兩點，這

兩點的坐標分別是（0,-1）和（m-b,m--mb+n,其中a,b,c,m,n為實數，且a,m不為

2

0.

⑴求C的值；

（2）設拋物線y=ax、bx+c與x軸的兩個交點是（X1,0）和（/，0），求士看的值;

（3）當-IWxWl時，設拋物線y=ax、bx+c與x軸距離最大的點為P（/,汽），求這時|凡|的最小值.

【答案】解：（1）：（0,-1）在y=ax2+bx+c上，A-1=ax02+bx0+c,Ac

=j（l分）

（2）又可得n=-；。\?點（m—b,m2—mb+n）在y=ax2+bx+c上，m2—

mb--=a（m—b）2+b（m—b）--,（a—1）（m—b）2=0,（2分）若（m

22

—b）=0,則（m—b,m2—mb+n）與（0,-工）重合，與題意不合....a=l.（3

2

分，只要求出a=l,即評3分）

?'.拋物線y=ax?+bx+c,y=x2+bx-^-.△=b2—4ac=b2—4x（-1）>

0,（沒寫出不扣分）.?.拋物線y=ax?+bx+c與x軸的兩個交點的橫坐標就是

關于x的二次方程0=ax?+bx+c的兩個實數根，???由根與系數的關系，得x1X2

=（4分）

2

（3）拋物線y=x?+bx-；的對稱軸為x=-1,最小值為-（沒寫出不扣分）

設拋物線y=x2+bx」在x軸上方與x軸距離最大的點的縱坐標為H,在x軸

2

下方與x軸距離最大的點的縱坐標為h.

①當一_1<一1,即b>2時，在x軸上方與x軸距離最大的點是（1,y0）,AI

HI=y0=g+b>g,（5分），在x軸下方與x軸距離最大的點是（-1,yo）,

二.IhI=IyI=I--bI=b-->-,（6分），IHI>IhI..,.這

0222

時Iy。I的最小值大于g（7分）

②當一七一上0,即0sbS2時，在x軸上方與x軸距離最大的點是（1,yo）,

IH|=y=-+b>-,當b=0時等號成立.在x軸下方與x軸距離最大點的

022

是（L一心），.?.?hI=I-匕吆I當b=o時等號成立....這

24442

時Iy0I的最小值等于:.（8分）

③當0〈一|金，即一2WbV0時，在x軸上方與x軸距離最大的點是（-1,y0）,

IHI=y=1+（—1）b—-=--b>-,在x軸下方與x軸距離最大的點

0222

???這時I1。I的最小值大于;.（9分）

④當IV-g,即b<一2時，在x軸上方與x軸距離最大的點是（一1,y0）,

IHI=g—b>g,在x軸下方與x軸距離最大的點是（l,y0）,IhI=I

1+bI=—（b+1）>I，IHI>IhI?.這時Iy。I的最小值大于10

分）

綜上所述，當b=0,x（）=0時，這時Iy°I取最小值，為Iy0I=g.（l1分）

2011中考模擬分類匯編：二次函數的圖象和性質

一、選擇題

A組

1、（中江縣2011年初中畢業生診斷考試）小