本文格式為Word版，下載可任意編輯——高數石油大學習題2套高等數學第一冊期末

一、填空題(此題共6小題，每題3分，共18分).

ln(1?3x)lim1.x?0sin2x=.

2.設函數y?f(arctanx)，其中f(x)在(0,??)內可導，則dy=.

1dx?223.設a?0，則a?2x=____________.

11?x2ln??121?xdx4.=__________.5.

=__________.

6.微分方程y???y?4sinx的通解是.

二、選擇題(此題共4小題，每題3分，共12分).

??1．設f(x)為可導的奇函數，且f(x0)?5，則f(?x0)?（）.

a?a?4?sin2xdx55?(A)?5；(B)5；(C)2；(D)2.

2.設函數f(x)在點x0的某鄰域有定義，則f(x)在點x0處可導的充要條件是

（）.

（A）

?x?x0limf(x)?limf(x)?x?x0；（B）

x?x0limf?(x)?f?(x0)；

??（C）f?(x0)?f?(x0)；（D）函數f(x)在點x0處連續.3.下圖中三條曲線給出了三個函數的圖形，一條是汽車的位移函數s(t)，一條是汽車的速度函數v(t)，一條是汽車的加速度函數a(t)，則（）.

（A）曲線a是s(t)的圖形，曲線b是v(t)

的圖形，曲線c是a(t)的圖形；（B）曲線b是s(t)的圖形，曲線a是v(t)的圖形，曲線c是a(t)的圖形；

（C）曲線a是s(t)的圖形，曲線c是v(t)的圖形，曲線b是a(t)的圖形；

（D）曲線c是s(t)的圖形，曲線b是v(t)的圖形，曲線a是a(t)的圖形.

Otyabc4.設y?f(x)是(a,b)內的可導函數，x1、x2(x1?x2)是(a,b)內任意兩點，則().

?（A）f(x2)?f(x1)?f(?)(x2?x1)，其中?為(x1,x2)內任意一點；?（B）至少存在一點??(x1,x2)，使f(x2)?f(x1)?f(?)(x2?x1)；

?（C）恰有一點??(x1,x2)，使f(x2)?f(x1)?f(?)(x2?x1);

f(x)dx?f(ξ)(x2?x1)???(x,x)x12（D）至少存在一點，使.

1x2

三、計算題（此題共4小題，每題6分，共24分）.

?1??x???(1?x)?e1.設函數f(x)????????a,???,x?0;在x?0處連續，求常數a的值.??x?01x

1??2?(n?1)?lim?sin?sin???sinn??nnnn?2.求極限

???.

?3.求定積分

4?1xxdx.

4.求廣義積分

???21dx(x?7)x?2.

四、解答題（此題共4小題，每題6分，共24分）.1.設函數y?y(x)是由方程

?y0edt??costdt0t2x2dy所確定的函數，求dx.

f(x)?2．設函數

1?sinx1?sinx，求f(x)的原函數.

?3．求微分方程y?ycosx?e

?sinx的通解．

3y?5?3x?x的凸性與拐點.4．判斷曲線

五、應用題（此題共3小題，每題6分，共18分）.

x?2?y2x?y1.曲線，及x軸圍成一平面圖形,求此平面圖形繞y軸旋轉而成的立

體的體積.

L:y?2.求曲線

圍圖形的面積最小.

1?x24位于第一象限部分的一條切線，使該切線與曲線L以及兩坐標軸所

3．有一半徑為R的半圓形薄板，垂直地沉入水中，直徑在上，且水平置于距水面h的地方，

求薄板一側所受的水壓力.

六、證明題（此題4分）.

nn?1n?2???x?1(n?2,3,4?)在(0,1)內必有唯一實根xn，證明方程x?x?x

并求

limxnn??.

?1,f(x)???0,1.設

x?1x?1,則f?f[f(x)]??.

?a(1?cosx),x?0?x2???x?0f(x)??8,?x?t?bsinx??0edt,x?0??x2.設函數連續，則a?，b?.

3．極限

4．設x?0

lim(1?3x)x?02sinx?.limf(x)?2?x,且f(x)在x?0連續,則f(0)=.dyy5．設方程x?y?e?0確定函數y?y(x),則dx=.

?xy?2cos3x,則dy=.6．設

27．拋物線y?x?2x?8在其頂點處的曲率為.

?8．設f(x)可導，y?f?f[f(x)]?，則y?.

9．

??f(x)?f(?x)?sinx??aaa2?x2dx?.

y??10．微分方程

二、單項選擇題（此題共10小題，每題2分，共20分。每題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.）

1.“數列極限存在〞是“數列有界〞的（）

(A)充分必要條件；(B)充分但非必要條件；

(C)必要但非充分條件；(D)既非充分條件，也非必要條件.

2．極限

(A)2;(B)3;(C)1;(D)5;

3．設常數k?0，則函數

(A)3個;(B)2個;(C)1個;(D)0個.

n???y?x2?0x的通解是.

limn2n?3n?（）

f(x)?lnx?x?k(0,??)內零點的個數為（）e在

f?x??1?e1x1x2?3e,則x?0是f(x)的().4．設

(A)連續點;(B)可去休止點;

(C)騰躍休止點;(D)無窮休止點.

???5．設函數f(x)二階可導，且f(x)?0，f(x)?0，令?y?f(x??x)?f(x)，當

?x?0時，則().

(A)?y?dy?0;(B)?y?dy?0;(C)dy??y?0;(D)dy??y?0.

6．若f(?x)??f(x)(???x???)，在(??,0)內f?(x)?0，f??(x)?0，則

f(x)在(0,??)內().

?(A)f(x)?0,?(C)f(x)?0,

f??(x)?0(B)f?(x)?0,f??(x)?0(D)f?(x)?0,f??(x)?0f??(x)?0

x?x0處二階可導,且x?x07．設f(x)在

(A)(C)

limf?(x)??1x?x0,則().

x0是f(x)的極大值點;(B)x0是f(x)的微小值點;(x0,f(x0))是曲線y?f(x)的拐點;(D)以上都不是.

8．以下等式中正確的結果是().

?f?(x)dx?f(x);(B)?df(x)dx?f(x);d[f(x)dx]?f(x);(f(x)dx)??f(x);(C)?(D)?

(A)

9．以下廣義積分收斂的是().

??lnx1dxdx??eexxlnx(A)(B)

????11dxdx?ex(lnx)2?exlnx(C)(D)

??

10．設f(x)在x?a的某個領域內有定義，則f(x)在x?a處可導的一個充分條件是

().

f(a?2h)?f(a?h)1limh[f(a?)?f(a)]存在lim存在h???h?0hh(A)(B)

f(a?h)?f(a?h)f(a)?f(a?h)lim存在lim存在h?0h?02hh(C)(D)

三、計算題：（此題共3小題，每題5分，共15分。）

7cosx?3sinxdx?5cosx?2sinx1.求不定積分

2.計算定積分

?e1elnxdx.

???3．求微分方程y?5y?4y?3?2x的通解.

四．解答題：（此題共6小題，共37分。）

?x?a(t?sint),??t?y?a(1?cost),在2處的切線的方程.1．（此題5分）求擺線?

x3y?2x?2x?3的漸進線.2.（此題6分）求曲線

3．（此題6分）求由曲線xy?1及直線y?x,y?2所圍成圖形面積。

1?x4．（此題6分）證明：對任意實數x，恒有xe?1.

5.（此題6分）設有盛滿水的圓柱形蓄水池,深15米,半徑20米,現