本文格式為Word版，下載可任意編輯——《數學分析簡明》尹小玲第9章答案第九章再論實數系

§1實數連續性的等價描述

2．利用緊致性定理證明單調有界數列必有極限．

證明設數列{xn}單調遞增且有上界，則{xn}是有界數列，由緊致性定理知數列{xn}必有收斂子數列{xnk}，設limxnk?c，則由{xn}單調遞增知c必為數列{xn}的上界，且根

k??據數列極限的定義知???0,?K,當k?K時，有xnk?c??，即

c???xnk?c??，

特別地xnK?1?c??，

取N?nk?1，則當n?N?nk?1時，由數列{xn}單調遞增且c為它的上界知

c???xnK?1?xn?c?c??，

即xn?c??，從而limxn?c，即單調遞增有上界數列必有極限．

n??同理可證{xn}單調遞減有下界時必有極限，因而單調有界原理成立．

3．用區間套定理證明單調有界數列必有極限．

證明不妨假設數列{xn}單調遞增有上界（{xn}單調遞減有下界可同理證明)，即存在

b?R，使得a?x1?x2???xn???b，下證數列{xn}有極限．

若a?b，則{xn}為常駐列，故{xn}收斂，因而以下假設a?b．取a1?a,b1?b，二等分區間[a1,b1]，分點為則令a2?a1,b2?a1?b1a?b1，若1仍為{xn}的上界，22a1?b1a?b1a?b1；若1不是{xn}的上界，即存在m，使xm?1，則

222令a2?a?b2a?b2a1?b1,b2?b1.二等分區間[a2,b2]，分點為2，若2為{xn}的上界，

222a?b2a2?b2a?b2,b3?b2.?；若2不是{xn}的上界，則令a3?2222則令a3?a2,b3?依此類推得一閉區間套?[an,bn]?，每一個區間的右端點都是{xn}的上界，由閉區間套定理知存在唯一的c?R，使得c屬于所有閉區間，下證數列{xn}的極限為c．

由于lim(bn?an)?limn??b?a?0，故根據數列極限的定義，???0，存在N，當

n??2n?1n?N時，都有bn?an??2，而c?[an,bn]，故

[an,bn]?(c??,c??).（*）

另一方面，由閉區間套的構造知?K，使得an?xK?bn，故對?n?K，由于xn?xK，故an?xK?xn?bn.而由（*）知c???xn?c??，即xn?c??，從而limxn?c，

n??因而單調有界數列必有極限.

4．試分析區間套定理的條件：若將閉區間列改為開區間列，結果怎樣？若將條件

[a1,b1]?[a2,b2]??去掉或將條件bn?an?0去掉，結果怎樣？試舉例說明．

分析（1）若將閉區間列改為開區間列，結果不真．如開區間列??0,????1????滿足n???1??1??1??1??1?lim??0??0且?0,???0,???0,?????0,???，但不存在r，使r屬于n??n???1??2??3??n?所有區間．

（2）若將定理其它條件不變，去掉條件[a1,b1]?[a2,b2]??，則定理仍不成立，如

??1??n,n????是閉區間列，且bn?an?0，但顯然不存在r，使r屬于所有區間．?n????（3）若去掉定理條件bn?an?0，則定理仍不成立，如閉區間序列??1?????11??,3???nn??滿足[a1,b1]?[a2,b2]??，此時區間[1,3]內任意一點都屬于閉區間序列的任何區間，與唯一性矛盾．

5．若{xn}無界，且非無窮大量，則必存在兩個子列xnk??,xmk?a（a為有限數）．證明由于{xn}無界，故?k?N，都存在xnk，使得xnk?k，因而limxnk??．

k??又由于{xn}不是無窮大量，根據無窮大量否定的正面陳述知?M0，對?K?0，存在

mk?K，使得|xmk|?M0.從而對于?K?0，數列{xmk}為有界數列，從而必有收斂子

列{xmk}．故結論成立．

6．有界數列{xn}若不收斂，則必存在兩個子列xnk?a,xmk?b(a?b)．

證明由于{xn}為有界數列，由緊致性定理知數列{xn}必有收斂的子列{xnk}，不妨設

xnk?a(k??)，又由于數列{xn}不收斂于a，故從{xn}中去掉{xnk}后所得的項還有

無窮多項(否則數列{xn}就收斂于a)．記其為數列{xnk}，又由于{xnk}為有界數列，故有收斂子列，設此子列的極限為b，則a?b，而此子列也是{xn}的子列，故設其為{xmk}，因而limxmk?b(a?b).

k??7．求證：數列{an}有界的充要條件是，{an}的任何子數列{ank}都有收斂的子數列．證明必要性：由緊致性定理知結論成立．

充分性：反設數列{an}無界．若{an}是無窮大量，則{an}的任何子列都不存在收斂的子列，矛盾；若{an}不是無窮大量，則由第5題知{an}有一子列{ank}是無窮大量，從而

{ank}沒有收斂的子數列，也矛盾．因而數列{an}有界．

8．設f(x)在[a,b]上定義，且在每一點處函數的極限存在，求證：f(x)在[a,b]上有界．

證明對?t?[a,b]，由于f(x)在t處的極限存在，故設limf(x)?A，則對??1?0，

x?t存在?t?0，?x，當0?|x?t|??t時，有f(x)?A???1，從而f(x)?|A|?1，取

M?max?f(t),|A|?1?，則?x?(t??t,t??t)，都有f(x)?M，即f(x)在區間

(t??t,t??t)上有界．

對所有t?[a,b]，在??1下所取的?t為半徑的開區間?(t??t,t??t)|t?[a,b]?構成閉區間[a,b]上的一個開覆蓋，由有限覆蓋定理知，存在t1,t2,?,tn?[a,b]，使得

[a,b]??(ti??ti,ti??ti)，

i?1n而f(x)在每個區間(ti??ti,ti??ti)(i?1,2,?,n)上有界，又由于區間個數有限，故f(x)在[a,b]上有界．

9．設f(x)在[a,b]無界，求證：存在c?[a,b]，對任意??0，函數f(x)在

(c??,c??)?[a,b]上無界．

證明反設結論不真，即?c?[a,b]，??c?0，函數f(x)在(c??c,c??c)?[a,b]上有界，則對所有的c，?(c??c,c??c)|c?[a,b]?構成區間[a,b]的一個開覆蓋，由有限覆蓋定理知其有有限子覆蓋，即?c1,c2,?,cn?[a,b]，使[a,b]??(ci??ci,ci??ci)，由

i?1n于函數在每一個(ci??ci,ci??ci)?[a,b]有界，而n是有限數，故f(x)在[a,b]有界，矛盾．因此結論成立.

f(x),limf(x)存在．10．設f(x)是(a,b)上的凸函數，且有上界，求證：lim??x?ax?b證明由于f(x)在(a,b)上有上界，故?M?0，對?x?(a,b),f(x)?M．

f(x)存在.在區間(a,b)中任取一點x0，并令先證明lim?x?bg(x)?f(x)?f(x0)，

x?x0則由f(x)是(a,b)上的凸函數知g(x)在(x0,b)上遞增，在(x0,b)中任取一點x1，考察區間(x1,b)，?x?(x1,b)，由于

g(x)?f(x)?f(x0)M?f(x0)，?x?x0x1?x0即g(x)在(x1,b)上有上界，從而g(x)在(x1,b)上單調遞增且有上界，由定理3．12知

x?b?limg(x)存在，不妨令limg(x)?A，則?x?b??f(x)?f(x0)limf(x)?lim(x?x)??f(x)00??A(b?x0)?f(x0)，?x?b?x?b?x?x0??f(x)存在．即lim?x?bf(x)存在.由于f(x)是(a,b)上的凸函數，從而g(x)在(a,x0)上遞增，再證明lim?x?a在(a,x0)中任取一點x2，考察區間(a,x2)，?x?(a,x2)，由于

g(x)?f(x)?f(x0)f(x0)?f(x)f(x0)?M，??x?x0x0?xx0?a即g(x)在(a,x2)上有下界，從而g(x)在(a,x2)上單調遞增且有下界，由定理3．12的推

g(x)?B，則論知lim?g(x)存在，設lim?x?ax?a??f(x)?f(x0)limf(x)?lim(x?x)??f(x)00??(a?x0)B?f(x0)，?x?a?x?a?x?x0??f(x)也存在．即lim?x?a11．設f(x)在[a,b]上只有第一類休止點，定義

?(x)?f(x?0)?f(x?0).

求證：任意??0,?(x)??的點x只有有限多個．

證明反證法，使用區間套定理.根據結論，反設存在?0?0，在[a,b]上使?(x)??0的點有無限多個．

記[a1,b1]?[a,b]，二等分區間[a1,b1]，則在?a1,??a1?b1??a1?b1?,?,b1?中至少有一?2??2?個區間含有無限多個x使?(x)??0，記此區間為[a2,b2]，再二等分區間[a2,b2]，在

?a2?b2??a2?b2?a,,,b2?中至少有一個區間含有無限多個x使?(x)??0，記此區間為?2??22????[a3,b3],?，如此繼續下去，得閉區間套[an,bn]，且每個區間[an,bn]中含有無限多個x使

?(x)??0．

由區間套定理可知存在唯一r?[an,bn],n?1,2,?

由于f(x)在[a,b]上只有第一類休止點，而r?[a,b]，故f(r?0)和f(r?0)存在，設f(r?0)?A,f(r?0)?B，則對上述?0?0，存在?1?0,?x?(r,r??1)時，有

f(x)?A??02，即A??02?f(x)?A??02，從而由極限不等式知，當x?(r,r??1)時，

?(x)??0；同理存在?2?0,?x?(r??2,r)時，?(x)??0．取??min??1,?2?，則在

(r??,r??)上滿足?(x)??0的點至多只能有r一個點．

而根據區間套性質知，?N,?n?N時，都有

[an,bn]?(r??,r??)，

從而在[an,bn]中最多只能有一個點，使得?(x)??0，這與區間套的構造矛盾．故原結論

成立．

12．設f(x)在[0,??]上連續且有界，對?a?(??,??)，f(x)?a在[0,??)上只有有限個根或無根，求證：limf(x)存在．

x???證明由f(x)在[0,??]上有界知f(x)在[0,??]上既有上界又有下界，不妨設上界為

v，下界為u，若u?v，則limf(x)?u?v，結論必然成立，故以下假定u?v．

x???令[u1,v1]?[u,v]，二等分區間[u1,v1]，分點為

u1?v1u?v1，由于f(x)?1在[0,??)22上只有有限個根或無根，而且f(x)連續，因而?X1?0,?x?X1時，有f(x)?u1?v1或2f(x)?u1?v1u?v1u?v?u?v1?．若f(x)?1，令[u2,v2]??1,v1?，若f(x)?11，則令222?2??u?v?[u2,v2]??u1,11?，因此?x?X1時，f(x)?[u2,v2]，即u2?f(x)?v2．

2??二等分區間[u2,v2]，分點為

u2?v2u?v2，由于f(x)?2在[0,??)上只有有限個根22或無根且f(x)連續，故?X2?X1,?x?X2時，有f(x)?u2?v2u?v2或f(x)?2．若22f(x)?u2?v2?u?v2??u?v2?，令[u3,v3]??2，因此,v2?，反之令[u3,v3]??u2,2?22??2???x?X2時，f(x)?[u3,v3]，即u3?f(x)?v3.依此類推，得一區間套{[un,vn]}，而

且由區間套的構造知，?Xn?Xn?1,?x?Xn時，un?f(x)?vn．由區間套定理知存在唯一的r?[un,vn],n?1,2,?，下證limf(x)?r．

x???事實上，對???0，由閉區間套{[un,vn]}的構造知，存在N，?n?N時，有

[un,vn]?(r??,r??)，

特別地取n?N?1，則[uN?1,vN?1]?(r??,r??)，按區間套的構造知?XN?1,?x?XN?1時，f(x)?[uN?1,vN?1]?(r??,r??)，即r???f(x)?r??，從而

f(x)?r??，

即limf(x)?r，也就是說limf(x)存在．

x???x???

§3實數的完備性

f(x)與1．設f(x)在(a,b)連續，求證：f(x)在(a,b)一致連續的充要條件是lim?x?ax?b?limf(x)都存在．

證明?)必要性

由f(x)在(a,b)一致連續知，???0,???0，?x?,x???(a,b)且|x??x??|??時，都

有

f(x?)?f(x??)??.特別地，當x?,x???(a,a??)時，x??x????，故

x?a?x?b?f(x?)?f(x??)??，由Cauchy收斂原理知limf(x)存在．同理可知limf(x)也存在．

?)充分性

證法

f(x)存在知??1，?x?,x???(a,a??1)時，1???0，由lim?x?ax?b?f(x?)?f(x??)??，又由于limf(x)也存在，故??2，?x?,x???(b??2,b)時，

f(x?)?f(x??)??．

取??min???1?2b?a?,,?，則由以上兩條知f(x)在(a,a??],[b??,b)上一致連224??續，而又由于f(x)在[a??,b??]上連續，因而一致連續，因此f(x)在(a,a??]、

[a??,b??]、[b??,b)上均一致連續，因此f(x)在(a,b)一致連續．

f(x)與limf(x)都存在，設lim?f(x)?A,limf(x)?B，令證法2由已知lim???x?ax?bx?ax?b?A?F(x)??f(x)?B?x?a;x?(a,b);x?b.則F(x)在[a,b]連續，因而一致連續，從而F(x)在(a,b)一致連續，而F(x)在(a,b)上就是f(x)，因而f(x)在(a,b)上一致連續．

2．求證數列xn?1?12???1n，當n??時的極限不存在．

證明利用Cauchy收斂原理的否定形式證明．取?0?1?0,?N?0，任取n?N，則2n?N，從而2x2n?xn?1n?1?1n?2???12n

?1111111????????????0，n?1n?22n2n2n2n212???1n當n??時的極限不存在．

由Cauchy收斂原理的否定知數列xn?1?3．利用Cauchy收斂原理探討以下數列的收斂性．（1）xn?a0?a1q?a2q2???anqn（2）xn?1?(|q|?1,|ak|?M)；

sin1sin2sinn?2???n；22211n?11（3）xn?1?????(?1)．23nn?1n?1???0，?n?N時，?0，|?解（1）由|q|?1知limq從而?N，有|qn??1?|q|?，M對上述N,?n,m?N時（不妨m?n），有

xn?xm?xn?1?xn?2???xm?xn?1?xn?2???xm

?xn?1?xn?2???xm???|an?1||q|n?1?|an?2||q|n?2???M|q|?n?1?|q|n?2|q|n?1M1?|q|???M?????.

1?|q|1?|q|M?由Cauchy收斂原理知數列{xn}收斂．

（2）這是(1)中a0?1,ak?sink,q?收斂．

（3）證法1利用Cauchy收斂原理.

11的特別情形，由于ak?1,|q|?，故數列{xn}22???0，由lim，有m?n）

11?0知，?N，?n?N時??，對上述N,?n,m?N時（不妨n??nnxn?xm?(?1)n?2111?(?1)n?3???(?1)m?1n?1n?2m?由于

111????(?1)m?n?1.n?1n?2m111????(?1)m?n?1?0，故n?1n?2m111xn?xm?????(?1)m?n?1.

n?1n?2mxn?xm?111????(?1)m?n?1n?1n?2m若m?n為偶數，則

??若m?n為奇數，則

11?1?1?1?1???????????n?1?n?2n?3?m?2m?1??m1??.n?1111????(?1)m?n?1n?1n?2mxn?xm???11?1??1?1??????????n?1?n?2n?3??m?1m?1??.n?1因而由Cauchy收斂原理知數列{xn}收斂．

證法2先考慮數列{xn}的偶子列{x2n}，由于

x2(n?1)?1?111111????(?1)2n?3?1?????232n?2232n?21??11??1??11??1??1?????????????????2??34??2n?12n??2n?12n?2?1??1??11??1??1?????????????x2n，?2??34??2n?12n?故偶子列{x2n}是單調遞增的數列，又由于

x2n?1?1111??11??1????(?1)2n?1?1???????????1，232n?23??2n?12n?因而偶子列{x2n}是單調上升且有上界的數列，由單調有界原理知{x2n}必有極限存在，設

limx2n?a.又由于x2n?1?x2n?n??11?0，從而且limn??2n?12n?1limx2n?1?limx2n?limn??n??1?a.

n??2n?1于是我們證得數列{xn}的奇、偶子列均收斂而且極限一致，故數列{xn}收斂.

4．證明：極限limf(x)存在的充要條件是：對任意給定??0，存在??0，當

x?x00?x??x0??,0?x???x0??時，恒有f(x?)?f(x??)??.

證明?)必要性

設limf(x)?A，則???0,???0,?x,0?x?x0??，就有f(x)?A?x?x0?2，因此

由0?x??x0??,0?x???x0??知

f(x?)?f(x??)?(f(x?)?A)?(f(x??)?A)?f(x?)?A?f(x??)?A??，

因而必要性成立.

?)充分性

設{xn}是任意滿足limxn?x0且xn?x0的數列，由已知???0,???0，只要

n??0?x??x0??，0?x???x0??時，有f(x?)?f(x??)??.

對上述??0，由于limxn?x0，且xn?x0，故?N,?n?N時，有0?|xn?x0|??；

n???m?N時，有0?|xm?x0|??，于是f(xn)?f(xm)??，即{f(xn)}是基本列，由實

數列的Cauchy收斂準則知limf(xn)存在．

n??由{xn}的取法知任意趨向于x0而不等于x0的實數列{xn}都有極限limf(xn)存在．下

n??證它們的極限都相等．

??x0(xn??x0)，但limf(xn)?limf(xn?)，則定反設limxn?x0(xn?x0),limxnn??n??n??n??義一個新的數列

?,x2,x2?,?}，{yn}?{x1,x1由{yn}的構造知limyn?x0(yn?x0)，但limf(yn)有兩個子序列極限不相等，故極限

n??n??limf(yn)不存在，矛盾．

n??從而任意趨向于x0而不等于x0的實數列{xn}構成的數列f(xn)都有極限存在．而且它們的極限都相等．由Heine歸結原則知limf(x)存在．

x?x0

xn?[a,b]，從而

xn?1?xn?f(xn)?f(xn?1)?kxn?xn?1?knx1?x0，

因此

xm?xn?xm?xm?1?xm?1???xn?1?xn?xm?xm?1???xn?1?xn

?km?1x1?x0???knx1?x0?(km?1???kn?1?kn)x1?x0

?(k?knn?1kn??)x1?x0?x1?x0??.

1?k因此由Cauchy收斂原理知limxn存在.

n???（2）設方程x?f(x)在[a,b]上有兩個不同的解c,d，則

c?d?f(c)?f(d)?kc?d?c?d，

矛盾，故根是唯一的．

§4再論閉區間上連續函數的性質

1．設f(x)在[a,b]上連續，并且最大值點x0是唯一的，又設xn?[a,b]，使

n???limf(xn)?f(x0)，

求證limxn?x0．

n???證明不妨設x0?(a,b)，當x0?a或x0?b時同理可證．

對任意0???min{x0?a,b?x0}，由于f(x)在[a,b]上連續，故f(x)在[a,x0??]、

[x0??,x0??]、[x0??,b]上連續，由閉區間連續函數的最值定理，f(x)在[a,x0??]、[x0??,x0??]、[x0??,b]上均有最大值，顯然f(x)在[x0??,x0??]上的最大值為f(x0)，設f(x)在[a,x0??]和[x0??,b]上的最大值為M，由最大值點的唯一性可知f(x0)?M．

取

f(x0)?M?0，由limf(xn)?f(x0)知?N,?n?N時，

n???2f(xn)?f(x0)?f(x0)?M，

2即f(xn)?f(x0)?f(x0)?Mf(x0)?M??M，

22而f(x)在[a,x0??]和[x0??,b]上的最大值為M，故xn?(x0??,x0??)，即

|xn?x0|??，

從而limxn?x0．

n???2．設f(x)在[a,b]上連續，可微；又設(1)minf(x)?p?maxf(x)；

a?x?ba?x?b(2)假使f(x)?p，則有f?(x)?0，求證：f(x)?p的根只有有限多個．

證明利用區間套定理．

反設f(x)?p在[a,b]上有無窮多個根，設[a1,b1]?[a,b]，二等分區間[a1,b1]，則在兩個子區間中必有一個區間含有f(x)?p的無窮多個根，設此區間為[a2,b2]，再二等分區間[a2,b2]，則在兩個子區間中必有一個區間含有f(x)?p的無窮多個根，設此區間為[a3,b3],?．依此類推得一區間套{[an,bn]}，由區間套的構造知f(x)?p在任意

[an,bn]有無窮多個根.

由區間套定理知?r?[a,b]，使得對于任意n?N?,r?[an,bn]．

若f(r)?p，則令g(x)?f(x)?p，g(x)也在[a,b]連續，且g(r)?f(r)?p?0，從而由保號性知??,?x?(r??,r??)時，都有g(x)?0，即f(x)?p，而由區間套知

?N,?n?N時[an,bn]?(r??,r??)，即f(x)?p在[an,bn]無根，這與區間套的構造

矛盾．

im若f(r)?p，則f?(r)?0，即l時，有

x?rf(x)?f(r)?0，從而???,?x，當0?|x?r|???x?rf(x)?f(r)?0，即f(x)?p，從而在(r???,r???)上f(x)只有一個根r，而

x?r由區間套知?N,?n?N時[an,bn]?(r??,r??)，即f(x)?p在[an,bn]只有一個根，這與區間套的構造矛盾．

因此f(x)?p在[a,b]上只有有限多個根．

3．設f(x)在[a,b]上連續，f(a)?0,f(b)?0，求證：存在??(a,b)，使f(?)?0且f(x)?0(??x?b)．

證明令E?{x|x?[a,b]且f(x)?0}，由于f(a)?0,f(b)?0，且f(x)在[a,b]上連續，由介值性定理知E??，從而E為非空有界數集，由確界原理知E有上確界，設

??supE，下證f(?)?0．

事實上，由于??supE，由本章第一節習題3知可以在E中選取數列{xn}，使

limxn??，又由f(x)連續知

n??f(?)?f(limxn)?limf(xn)?0，

n??n??又對于?x?(?,b]，由于x?E，從而f(x)?0，又根據f(b)?0知f(x)?0，因而結論成立．

4．設f(x)是[a,b]上的連續函數，其最大值和最小值分別為M和m(m?M)，求證：必存在區間[?,?]，滿足條件：

(1)f(?)?M,f(?)?m或f(?)?m,f(?)?M；(2)m?f(x)?M，當x?(?,?)．

證明由于f(x)是[a,b]上的連續函數，且有最大值M和最小值m，故由最值定理知

?c?[a,b]，使得f(c)?M；?d?[a,b]，使得f(d)?m，由于m?M，故c?d，令

??min{c,d}，??max{c,d}，則在區間[?,?]上滿足：

（1）f(?)?M,f(?)?m或f(?)?m,f(?)?M；

（2）對?x?(?,?)，由于f(?)?M,f(?)?m或f(?)?m,f(?)?M，而M,m分別為[a,b]上的最大值和最小值，故m?f(x)?M．

5．設f(x)在[0,2a]上連續，且f(0)?f(2a)，求證：存在x?[0,a]，使

f(x)?f(x?a)．

證明考慮輔助函數g(x)?f(x)?f(x?a)，x?[0,a].

若f(0)?f(a)，根據已知條件f(0)?f(2a)可知，取x?0或x?a時，均有

f(x)?f(x?a)，命題已證．

若f(0)?f(a)，則g(0)?f(0)?f(a)，g(a)?f(a)?f(2a)?f(a)?f(0)，從而g(0)與g(a)符號相反，由零點定理知?x?[0,a]，使g(x)?0，即f(x)?f(x?a)．

6．設f(x)在[a,b]上連續，且取值為整數，求證f(x)?常數．

證明反設f(x)不恒為常數，則?x1,x2?[a,b]，使得f(x1)?f(x2)，又由于f(x)取值為整數，故f(x1),f(x2)均為整數，在f(x1),f(x2)之間任取一非整數c，則由介值性定理知???[a,b]，使得f(?)?c，這與f(x)取值為整數矛盾．

7．設f(x)在(a,b)一致連續，a,b???，證明：f(x)在[a,b]上有界．

證明由于f(x)在[a,b]上一致連續，故取??1?0，則???0，當x1?x2??時，有f(x1)?f(x2)?1.取定a1,b1，其中a?a1?a??，b???b1?b，則?x?(a,a1]，有x?a1??，故f(x)?f(a1)?1，因而f(x)?f(a1)?1；同理?x?[b1,b)，有

x?b1??，故f(x)?f(b1)?1，因而f(x)?f(b1)?1，因此f(x)在區間(a,a1]和

區間[b1,b)均有界.另一方面，由于f(x)在[a1,b1]上一致連續，根據閉區間上連續函數的性質可知存在M1?0，使得?x?[a1,b1],f(x)?M1.

取M?max{M1,f(a1)?1,f(b1)?1}?0，則?x?(a,b)，均有f(x)?M，因而

f(x)在(a,b)上有界．

8.若函數f(x)在(a,b)上滿足利普希茨（Lipschitz）條件，即存在常數K，使得

f(x?)?f(x??)?Kx??x??，x?,x???(a,b).

證明：f(x)在(a,b)上一致連續．

證明???0,取??1?,則對?x?,x???(a,b),x??x????，由Lipschitz條件知2Kf(x?)?f(x??)?Kx??x???K?1???，因而依定義知f(x)在(a,b)上一致連續．2K9．試用一致連續的定義證明：若函數f(x)在[a,c]和[c,b]上都一致連續，則f(x)在

[a,b]上也一致連續．

證明對???0，由函數f(x)在[a,c]一致連續知??1?0，對?x1,x2?[a,c]而且就有f(x1)?f(x2)?x1?x2??1，

?2；又根據函數f(x)在[c,b]上一致連續知??2?0，

?x1,x2?[c,b]且x1?x2??2時，就有f(x1)?f(x2)??2．

取??min{?1,?2}，則?x1,x2?[a,b]且x1?x2??時，若x1,x2同屬于[a,c]，有

f(x1)?f(x2)??2??；若x1,x2同屬于[c,b]，也有f(x1)?f(x2)??2??；若x1,x2一

個屬于[a,c]，另一個屬于[c,b]，則由x1?x2??知x1?c??,x2?c??，從而

f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(c)?f(c)?f(x2)??2??2??.

因而?x1,x2?[a,b]且x1?x2??時，f(x1)?f(x2)??.因此由一致連續的定義可知

f(x)在[a,b]上一致連續.

10．設函數f(x)在(??,??)上連續，且極限limf(x)與limf(x)存在．證明：f(x)x???x???在(??,??)上一致連續．

證明對???0，由于limf(x)存在，根據Cauchy收斂原理知，存在X1?0，任意

x???x1,x2??X1時，就有f(x1)?f(x2)??；又由于limf(x)存在，故存在X2?0，任

x???意x1,x2?X2，就有f(x1)?f(x2)??.

由于f(x)在(??,??)上連續，故f(x)在區間[?X1?1,X2?1]上連續，因而在

[?X1?1,X2?1]上一致連續，由一致連續的定義知，對上述??0，存在?1?0，任意

x1,x2?[?(X1?1),X2?1]，只要x2?x1??1，就有f(x1)?f(x2)??．

取??min{?1,1}?0，則?x1,x2?(??,??)，只要x1?x2??，則x1,x2同屬于區間(??,?X1)、[?(X1?1),X2?1]或(X2,??)，由上述探討知，不管在哪種狀況下，都

有f(x1)?f(x2)??，因而f(x)在(??,??)上一致連續．

11．若f(x)在區間X（有窮或無窮）中具有有界的導數，即f?(x)?M，x?X，則f(x)在X中一致連續．

證明對???0，取???，則對任意x1,x2?X，只要|x1?x2|??，根據LagrangeM中值定理，存在?在x1,x2之間，且

f(x1)?f(x2)?|f?(?)(x1?x2)|?Mx1?x2?M???，

從而f(x)在X中一致連續．

12．求證：f(x)?證明由于f(x)?xlnx在(0,??)上一致連續．

故f?(x)?xlnx，

1x?12xlnx?2?lnx2x，f??(x)??lnx4xx，

令f??(x)?0得x?1，故x?1是f?(x)的穩定點，當x?(0,1),f??(x)?0，從而f?(x)單調遞增；而當x?(1,??),f??(x)?0，故f?(x)單調遞減，因此x?1是f?(x)的極大值點，也是最大值點，而f?(1)?1，從而對?x?(0,??)，f?(x)?1．

?2?2再令f?(x)?0得x?e，在區間[e,??)上，由于f?(x)?0，因而在[e,??)上

?20?f?(x)?1，即f?(x)?1，由上題結論知f(x)在[e?2,??)上一致連續．此外，由于

x?0?limf(x)?limxlnx?0，若令?x?0?xlnxg(x)???0x?0,x?0.

則g(x)在[0,2]連續，因而一致連續，從而g(x)在(0,2]上一致連續，即f(x)在(0,2]一致連續．

?2?2對???0，由f(x)在[e,??)上一致連續知，??1?0，對任意x1,x2?[e,??)且

x1?x2??1，都有f(x1)?f(x2)??；又由f(x)在(0,2]上一致連續知，??2?0，對

任意x1,x2?(0,2]且x1?x2??2，也有f(x1)?f(x2)??．

取??min{則當x1,x2?(0,??)且x1?x2??時，要么x1,x2?(0,2],?1,?2,1}?0，

要么x1,x2?[e?2,??)，從而f(x1)?f(x2)??．因此f(x)?連續．

xlnx在(0,??)上一致

13．設f(x)在(a,??)上可導，且limf?(x)???，求證：f(x)在(a,??)上不一致

x???連續．

證明取?0?1，對???0，由于limf?(x)???，故?X?0，當x?X時，有

x???f?(x)?2?，任取x1?X，x2?x1??2?X，雖然有x1?x2??2??，但根據lagrange

中值定理知，存在??(x1,x1??2)，使得

2???1??0.?2f(x1)?f(x2)?f?(?)?x1?x2?根據一致連續的否定定義知f(x)在(a,??)上不一致連續．

14．求證：f(x)?xlnx在(0,??)上不一致連續．

證明由于limf?(x)?lim(lnx?1)???，由上題結論知結論成立．

x???x???

§5可積性

1.判斷以下函數在區間[0,1]上的可積性：（1）f(x)在[0,1]上有界，不連續點為x?1(n?1,2,?)；n?????sgn?sin?,x?(0,1],（2）f(x)??x???0,x?0;??1?1????,x?(0,1],（3）f(x)??x??x??x?0;?0,?1?,x?(0,1],（4）f(x)???1?x?x?0.?0,解（1）由于f(x)在[0,1]上有界，故存在M?0，對?x?[0,1]，都有f(x)?M，故在區間[0,1]的任何子區間上，f(x)的振幅??2M.

對任給??0，由于lim4M4M??0，故?N,?n?N時，都有?，特別地取

n??nn2也有n0?N?1時，

?14M?.由于在f(x)??n02?n0?1?n0?因而是可積的，,1?上只有有限個休止點，

?即??1?0，使得對區間???,1?的任何??max(?xi?)??1的分法，都有??i'?xi'?．

2i'?n?1?取??min??1,?，對[0,1]的任意??max(?xi)??的分法，下證??i?xi??.

ni?10??由于

11?(0,1)，故對上述任意分法，都存在分點xi0?1,xi0，使得xi0?1??xi0，因而n0n0???x????xiiii?1i?1ni0?1i??i0?xio?i?i0?1???xini?2M??xi?2M??i?1i0?1i?i0?1???xini

?2Mn11????2M?????，n0n0222這里最終一項

i?i0?1??i?xi?ni?i0?1?2是由于xi0?1,1?????1??1?,1?，而f(x)在?,1?可積，故函數在區

?n0??n0?nii間xi0?1,1可積，因而

?????x???x?2．因此lim?ii?0i?1??0，即f(x)在[0,1]上可積．

（2）由于f(x)在[0,1]上有界，且不連續點為x?的證法知f(x)在[0,1]上可積．

1(n?1,2,?)和x?0，根據（1）n（3）由于f(x)在[0,1]上有f(x)?1，故f(x)有界，而且f(x)的不連續點為x?0和

x?1(n?1,2,?)，由（2）的證法知，f(x)在[0,1]可積．n（4）由于f(x)在[0,1]上有0?f(x)?1，故f(x)有界，而且f(x)的不連續點只有

x?1(n?1,2,?)，由（1）的證明知f(x)在[0,1]可積．n2．探討f(x),f(x),f(x)三者之間可積性的關系．

22解f(x),f(x),f(x)三者之間可積性的關系是：若f(x)可積，則f(x)與f(x)均

22可積，反之不然；f(x)可積與f(x)可積等價．下面給出證明：

（1）先由f(x)可積推導f(x)可積.

由f(x)可積知lim??0???xii?1ni?0，而對于任一所探討區間[xi?1,xi]中的任意兩點

**都有f(x?)?f(x??)?f(x?)?f(x??)，即?i??i（其中?i是f(x)在?xi?1,xi?x?,x??，

nn上的振幅），因而0???i?1*i?xi???i?xi?0(??0)，即f(x)可積．

i?1再由f(x)可積推導f2(x)可積.

由f(x)可積知f(x)有界，即存在M?0，對定義域中的任意x，都有f(x)?M，

而且lim??0???xii?1ni?0.對任一區間?xi?1,xi?中的任意兩點x?,x??，由于（設?i?是f2(x)在

?xi?1,xi?上的振幅）

f2(x?)?f2(x??)?f(x?)?f(x??)?f(x?)?f(x??)?2Mf(x?)?f(x??)，

故0?????xii?1ni?2M??i?xi?0(??0)，從而f2(x)可積.

i?1n（2）再說明f(x)與f2(x)可積不能推出f(x)可積，例如令函數

x?[0，1],且x?Q,?1,f(x)???1,x?[0，1],且x?R\\Q，?則任意x?[0,1]時，f(x)?f(x)?1，故在[0,1]上f(x)與f2(x)均可積，但對于函數

2f(x)而言，在[a,b]的任一子區間上，振幅?i?2，故??i?xi?2?0，于是f(x)在[a,b]i?1n上不可積.

（3）最終證明f(x)可積與f2(x)可積等價．先由f(x)可積推導f(x)可積.由于

2f2(x?)?f2(x??)?f(x?)?f(x???f(x?)?f(x??

??f(x?)?f(x????f(x?)?f(x???2M?f(x?)?f(x??，

因而由f(x)可積知f(x)可積．

2再由f2(x)可積推導f(x)可積.

不妨令f2(x)?c(c?0)，否則考慮函數g(x)?f2(x)?c，則g(x)與f2(x)有同樣的可積性．對任一區間?xi?1,xi?中的任意兩點x?,x??，由于

f(x?)?f(x??)?f(x?)?f(x??)?f2(x?)?f2(x??)，

故f(x?)?f(x??)?f2(x?)?f2(x??)f(x?)?f(x??)?12cf2(x?)?f2(x??)，

從而由f2(x)可積可得f(x)可積.因此f(x)可積與f2(x)可積等價．

3．設f(x),g(x)都在[a,b]上可積，證明：

M(x)?max(f(x),g(x)),m(x)?min(f(x),g(x))

在[a,b]上也是可積的．

f(x)?g(x)1?f(x)?g(x)，而f(x),g(x)都在[a,b]上可積，

22f(x)?g(x)1m(x)??f(x)?g(x)，故由積分的可加性和上題結果知M(x)可積；同理，

22證明由于M(x)?因而m(x)可積．

4．設f(x)在[a,b]上可積，且f(x)?r?0，求證：

（1）

1在[a,b]可積；f(x)（2）lnf(x)在[a,b]可積．

證明由于f(x)在[a,b]上可積，故lim??0???xii?1nni?0，即對???0,???0，對區間

[a,b]的任意??max(?xi)??的分法，都有??i?xi??．

i?1（1）對上述[a,b]的任意???的分法，設?i為函數

*1在區間?xi?1,xi?上的振幅，f(x)并設?i?*11，由于?f(x?)f(x??)

maxf(x)?a?x?bb1bf(x)dx?f?(x)dx.??aab?a證明由于函數f(x)在[a,b]有連續的導函數，故f(x)在[a,b]連續，從而由最大值定理知，?x0?[a,b]，使得|f(x0)|?maxf(x)，又由積分中值定理知，存在??[a,b]，

a?x?b使得f(?)?1b1bf(x)dx，從而f(?)?f(x)dx，因此??aab?ab?amaxf(x)?f(x0)?f(x0)?f(?)?f(?)?f(x0)?f(?)?f(?)

a?x?b???ax0f?(x)dx?f(?)??x0?f?(x)dx?f(?)