PAGEPAGE6《相似圖形》測試一、試試你的身手（每小題3分，共30分）1．在比例尺為1∶500000的福建省地圖上，量得省會福州到漳州的距離約為46厘米，則福州到漳州實際距離約為千米．2．若線段，，，成比例，其中，，，則．3．已知，則的值為．4．兩個相似三角形面積比是9∶25，其中一個三角形的周長為36cm，則另一個三角形的周長是．5．把一個矩形的各邊都擴大4倍，則對角線擴大到倍，其面積擴大到倍．6．廚房角柜的臺面是三角形(如圖1)，如果把各邊中點連線所圍成三角形鋪成黑色大理石，其余部分鋪成白色大理石，則黑色大理石的面積與白色大理石的面積之比為．7．頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖2，，，都是黃金三角形，已知，則的長．8．在同一時刻，高為1.5m的標桿的影長為2.5m，一古塔在地面上影長為50m，那么古塔的高為．9．如圖3，中，，，，，則．10．如圖4，在和中，，與的周長之差為10cm，則的周長是．二、相信你的選擇(每小題3分，共30分)1．在下列說法中，正確的是（）A．兩個鈍角三角形一定相似B．兩個等腰三角形一定相似C．兩個直角三角形一定相似D．兩個等邊三角形一定相似2．如圖5，在中，，分別是、邊上的點，，，，則（）A．60° B．45° C．30° D．20°3．如果三角形的每條邊都擴大為原來的5倍，那么三角形的每個角（）A．都擴大為原來的5倍B．都擴大為原來的10倍C．都擴大為原來的25倍D．都與原來相等4．如圖6，在中，，于，若，，則（）A．2 B．4 C．2 D．35．如圖7，，，分別是線段和線段的中點，那么線段的長是（）A．6 B．5 C．4.5 D．36．如圖8，點是的邊延長線上的一點，與相交于點，是的對角線，則圖中相似三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對7．如圖9，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是（）8．如圖10，梯形的對角線交于點，有以下四個結論：①；②；③；④．其中始終正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．用作相似圖形的方法，可以將一個圖形放大或縮小，相似中心位置可選在（）A．原圖形的外部 B．原圖形的內部C．原圖形的邊上 D．任意位置10．如圖11是小孔成像原理的示意圖，根據圖中所標注的尺寸，這支蠟燭在暗盒中所成的像的長是（）A．cm B．cm C．cm D．1cm三、挑戰你的選擇(本大題共60分)1．(8分)我們已經學習了相似三角形，也知道:如果兩個幾何圖形形狀相同而大小不一定相同，我們就把它們叫做相似圖形．比如兩個正方形，它們的邊長，對角線等所有元素都對應成比例，就可以稱它們為相似圖形．現給出下列4對幾何圖形：①兩個圓；②兩個菱形；③兩個長方形；④兩個正六邊形．請指出其中哪幾對是相似圖形，哪幾對不是相似圖形，并簡單地說明理由．2．（8分）如圖12，梯形中，，，為上一點，且．若，，BE∶EC=1∶2，求AB的長．3．（8分）如圖13，已知中，點是的中點，，則和有怎樣的關系？請你說明理由．5．(14分)陽光通過窗戶照到室內，在地面上留下2.7米寬的光亮區，如圖15，已知亮區一邊到窗下墻腳的距離8.7米，窗口高1.8米，那么窗口底邊離地面的高是多少米？6．(14分)如圖16，在一個長40m、寬30m的長方形小操場上，王剛從A點出發，沿著A→B→C的路線以3m/s的速度跑向C地．當他出發4s后，張華有東西需要交給他，就從A地出發沿王剛走的路線追趕，當張華跑到距B地m的D處時，他和王剛在陽光下的影子恰好重疊在同一條直線上．此時，A處一根電線桿在陽光下的影子也恰好落在對角線AC上．（1）求他們的影子重疊時，兩人相距多少米(DE的長)？（2）求張華追趕王剛的速度是多少(精確到0.1m/s)？2.（2012四川巴中，31，12分）如圖12，在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點D與點A關于y軸對稱，，點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且∠CEF=∠ACB.（1）求AC的長和點D的坐標；（2）說明△AEF與△DCE相似；（3）當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標.【答案】解：（1）∵四邊形ABCO為矩形，∴∠B=90°，∵，AB=16，∴.∴AC=20.又∵點D與點A關于y軸對稱，∴OD=AO=BC=12∴D（12,0）（2）∵點D與點A關于y軸對稱，∴AC=DC∴∠CDE=∠EAF,∵BC∥AD，∴∠EAF=∠ACB.∵∠CEF=∠ACB，∴∠CEF=∠CDE.∵∠CEF+∠AEF=∠CDE+∠DCE，∴∠AEF=∠DCE，∴△AEF∽△DCE.（3）①當EF=FC時，作FM⊥CE，CE=2EM，∵，則∴由（2）可得，即，AE=.∴OE=∴②當CE=EF時，∴AE=CD=20,則OE=20－12=8∴③當CE=CF時，E與D重合與題目矛盾。∴綜上，當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標為或.20．（2012四川成都，20,10分）如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合．將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．（1）如圖①，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：△BPE≌△CQE；（2）如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ；并求當BP=，CQ=時，P、Q兩點間的距離(用含的代數式表示)．【答案】（1）∵E為BC的中點∴BE=CE∵△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AP=AQ∴AB-AP=AC-AQ即BP=CQ在△BPE和△CQE中，∵∴△BPE≌△CQE(2)∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴，∵BP=a，CQ=a，BE=CE，∴BE=CE=a，∴BC=3a，∴AB=AC=BC?sin45°=3a，∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，連接PQ，在Rt△APQ中，PQ==a．21．（2012四川內江，21，9分）如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，點G是BC、AE延長線的交點，AG與CD相交于點F． (1)求證：四邊形ABCD是正方形； (2)當AE=2EF時，判斷FG與EF有何數量關系？并證明你的結論．DDABGCFE【答案】(l)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠BCD=90°，∵∠BAE=∠BCE，∴∠BAD－∠BAE=∠BCD－∠BCE，即∠EAD=∠ECD，∵∠AED=∠CED，ED=ED， ∴△AED≌△CED， ∴AD=CD， ∴矩形ABCD是正方形．(2)FG=3EF．理由∵BG∥AD，∴∠G=∠EAD ，由于∠EAD=∠ECD ，∴∠G=∠ECD，∵∠CEG=∠FEC，∴△CEG∽△FEC，∴，由(1)知CE=AE，而AE=2EF，故CE=2EF，∴EG=2CE=4EF，即EF+FG=4EF，∴FG=3EF．19.(2012四川南充，19，8分)矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于點F，連接FC.（1）求證：△AEF∽△DCE；（2）求tan∠ECF的值.【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=900.∵EF⊥EC，∴∠FEC=900.∴∠FEA+∠CED=900.∵∠FEA+∠EAF=900.∴∠EAF=∠CED.∴△AEF∽△DCE.（2）∵AB=2AD，E為AD的中點,∴.∵⊿AEF∽⊿DCE.∴.在中，.2.（2012福建莆田，24,12分）（1）（3分）如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點D.求證：;(2)(4分)如圖②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長BE交AC于點F．，求的值；(3)(5分)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為直線BC上的動點(點D不與B、C重合)，直線BE⊥ＡD于點E，交直線AC于點F.若，請探究并直接寫出的所有可能的值(用含的式子表示)，不必證明．圖①圖②【答案】（1）證明：∵BD⊥AC∴∠ADB＝90°又∠ABC＝90°∴∠ADB＝∠ABC又∠A=∠A∴△ABD∽△ACD∴∴(2)證明：過點C作CM⊥AD,垂足為M∵BE⊥AD,CM⊥AD∴∠BED＝∠CMD＝90°∵點D為BC的中點∴BD＝CD又∠BDE＝∠CDM∴△BDE≌△CDM∴DM＝DE∵BE⊥AD∴∠BED＝90°∴∠BED+∠EBD=90°∵∠ABC＝90°∴∠ABE+∠EBD=90°∴∠BED=∠ABE又∠BDE＝∠CDM∴∠CDM=∠ABE又∠CMD＝∠AEB=90°∴△ABE∽△CDM∴∵∴AB=BC,BD=DC∵點D為BC的中點∴∴∴∴BE=2DM∴BE=2DE∵∠AEB＝∠BED=90°，∠ABE=∠BDE∴△ABE∽△BDE∴∴∴∵BF⊥AD，CM⊥AD∴EF∥CM∴(3)《相似圖形》水平測試二參考答案一、1．2302．cm3．94．60或5．4，166．7．8．30m9．910．25cm二、1．D2．C3．D4．A5．D6．B7．A8．C9．D10．D三、1．①、④是相似圖形，②、③不一定是相似圖形理由：兩個圓和兩個正六邊形分別為相似圖形，因為它們的對應元素都成比例；兩個菱形和兩個長方形都不是，因為它們的對應元素不一定都成比例（或舉出具體的反例）．2．解：因為，且，所以及．所以．故．又，所以．所以．又，且及，故．所以．3．解：．因為，所以，，所以，所以．同樣，所以，所以，又是的中點，所以．4．解:（1）如圖，