nnnnnnnnnnna3nnnnnnnnnnnnna3nn數(shù)列通公的種法

a))))nn2(2n2(2一公式法

n

n

2

)例已數(shù){}滿足a，2，求列{}通公式n1naaaa3解2a兩邊以2n數(shù){n}以22222a3為首，為公的差列由差列通公，n，以列{a}通項2n2公式n)2n。a3a評注本解的鍵把推系2a轉化n，明數(shù){}等2n2na3數(shù)列再接用差列通公求n，進求數(shù){}通公。2n二累加法

3(1n所以n評注本解的鍵把推系a轉化a，而出nnaaa)aa)，即數(shù)列{}的通公式nn211例已數(shù){}足aa，數(shù){}的項式nn1na1解：n兩除3n，n，n3例已數(shù)

{}滿a

n，求數(shù)列{}n

的通公。

則

aann3

，故解：aa得nnnna))a))n221[2(2[(n2)

aaaann)n)n))133a3n3n21n11123))))n323

(nn

n

11)nn2n2所以列{}通公為a2。n評注：本題解題的關是把遞推關系式轉化為nnna))a)，得列{}的通項式nnnn21例已數(shù){}滿足，求列{}通公。n1解：得nn

，進而求出

1(1n2(n因此，3n3132221則32aa評注本解的鍵把推系轉為n，而出n3aaaaaa(n)n)nn1)，得列項式最再3333333求數(shù)

{}

的通公。三累乘法例已數(shù)

{}

滿足

n

，n

，求列

{}

的通公。1nnnnnn222nnn1nn21nnnnnn222nnn1nn2解：為，，以annaaan32aaan1

，則

nnn

，故

四待定系數(shù)法例已數(shù){}足2a解：n)nn

n

61④

，求列

式。n[2(n][2(nn](n(n(n!

]

將n代入④式得nnx兩除5⑤

ann，等兩邊消去2，得nn，得3xx,則代入式nn)nn所以列

{}

的通公為

ann

n(n2

!.

由

1

及⑤得

an

n

0

則

nn

nn

則數(shù)

{}n

是以

a11

為首評注：本題解題的關鍵是把遞推系an2，即得數(shù){}n

1)5n的通公。

n

轉化為

nnn

，進而求出

項，公的比列則2，。n評注本解的鍵把推系a2轉化an)，而知nnnn列{n}等數(shù)，而出列{}通公，后求數(shù){}的項式n例（2004年全I第15題，題是空）知列{a}滿足aaaa2)，求{}的項式112nn

例已數(shù){}足，1解：)⑥n

，求列

{}

的通公。解：為

aana(nn2

①

將

n

ann

代入式得所以

aa2

na

②

ny3(ann用②－式

a

n

na.n

整理

(5x)nxny

。則ann2)nn故nna所以n3(naann2

!

2

③

x令，則，入式y(tǒng)22)n由a⑦，1

⑦由an(n，2a，則a，又，n2212n!，代③a。2n!所以{}通公式2評注本解的鍵把推系nan2)轉為，進求nnnann，從可當n，a的表式最再出數(shù){}通公。ann

n得an0，n，n故數(shù){522}是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此n1，nnn評注本解的鍵把推系轉為nn2)，而知列{2}是比列進求數(shù)nn{n的通公，最再數(shù){}通公。nn例已數(shù){}足2，，數(shù){}的通公。neq\o\ac(○,入)eq\o\ac(○,)lgaeq\o\ac(○,及)則，n2nn5eq\o\ac(○,入)eq\o\ac(○,)lgaeq\o\ac(○,及)則，n2nn5解：((n2yn)⑧nn將a2an代⑧，nn2((nn

，則

lg3lglg3lg3lg2代11式得(n5(lgan)416416lg3lg2lg由lg712式416416

eq\o\ac(○,12))nn

2

xyxyan

2

yn

得

lg

lg34

n

lg3lg216

，等式邊去2，(3x)yx2z解方組，則，代入式得yz2n18)⑨nn由a320及式得an13(則n，數(shù){2為以nn為項以為比等數(shù)列因1

，

lg3lg2a(4164a416lg3lg3lg2lg2所以列{lga}以lg74164164lg3lg3lg2lg3lg2lg因此4161643lg3lg3lglg2lg7nn4441114(lglg34n16

為首，為公的比列則nn

2

n

n

，則

n

n

n

2

n

。

14

1

14

n

lg(3

n4

1

14

)評注本解的鍵把推系a2an轉化為nn2n18)而可數(shù){nnn列，而出列{n的項式最再出列{a}的項式nn

是等數(shù)

11nlg(3)55)五對數(shù)變換法

5n

516

54

)例10已知列{}足a2，a，求列{}的項式nnn解：為a2na7，所，。25nn1nnn3⑩n設lga(y)eq\o\ac(○,11)nn

式兩取用數(shù)

5n5則4。n評注本解的鍵通對變把推系a25轉為nnlg3lg2lg3lg3lg2lga(nan)，從可數(shù)416416將⑩代式得5lglg3lgxynn得(lg3)nylg2xny，則

，兩消

5lg

n

并整，

lg3lg3lg2{lgn}等比列進求數(shù)416再求數(shù){}通公。

lg3lg2{lga}4164

的通公，后

lg3yy

x，故lg3y16

六迭代法例已知列{}足an解：為a，所

n，a，求列{}1nanan]nn

的通公。(((nnnn(((nnnnnaa323nn1nnn3(na](3(nn3(

2k2(2k2(2k2k21](22(22(2k2k2k23

(

2(2k2k(22(2又

a1

，所數(shù)

{}

的通公為

a3n

(

。

3)3)評注本還綜利累法對變法數(shù)的項式即將式an兩取常nlga用對數(shù)得3(n，即n3(n，再由累乘法可推知lgalg(n，從而2。lgalgnn2

[2(kk2由此知當?shù)纫擦⒏鶕?jù)（知等對何

*

都成。七數(shù)學歸納法

評注本解的鍵通首和推系先出列前項，而出列通公，后例12已知列

{}滿n

8(nn2n

，a

，求列

{}

的通公。

再用學納加證。八換元法解：

n2(2

及

，得

例已數(shù)

{}

滿足

a

116

(11a)，an

，求列

{}

的通公。213

8(1(299258(282(249

解：故an

1，則(b，代nn

1a)

得43

8(32(249

124

b2

11[1(b1624

]由此猜

(2(22

，往用學納證這結。

即4b2n因為b24a，n

124

（）當時

8(29

，所等成。

則

2n

n

，即

n

b

，（）假當時等成，

(22(22

，則

n

時，

可化

b

1(b2

，

k2(2k

所以

{b3}是以b124n1

為首，

為公的比列因22專題講座1nn)1nn12nn1(nnnn22專題講座1nn)1nn12nn1(nnnn1b2()2

1)2

，則

1b)2

即1)

，得

評注題題關鍵通將

24

的換為得給推關式化

b

12

32

形式21a()n)n。313評注題題關鍵通將124a的元b得給推系轉b形，nn從而知列{b為等數(shù)，而出列{3}通公，后求數(shù)列{}的項nnn式。九不動點法

從而知列{b為等數(shù)，而出列{b3}通公，后求數(shù){}的項nn式。——數(shù)求的本法和巧★列高考中的要求1．等數(shù)和比列兩最本最要使最泛數(shù)，他列題解決往助它完，經(jīng)變轉為差等數(shù)，利等、比列研方。所等數(shù)和等比列基知是列最本最要最把的識例14已知列

{}

滿足

n

a，an

，求列

{}

的通公。

2．數(shù)的項數(shù)最要最見表形，是列核。弄通公的意—項數(shù)n的函解項式作—可用項式數(shù)的意項值及數(shù)進一性解因為

x244x

xx1

是函

f()

21

的兩不點

研究3．數(shù)的推是列另種達式可是階性推二線遞、次函形遞推勾數(shù)式推和偶系遞等是考熱。注疊、乘迭代解技的訓練21a4212413a26ann。所數(shù)以aa279nna413a1311為項以為比等數(shù)，n2(，。49913n921x評注本解的鍵先出數(shù)f()的動，方的個ax，x，而可出n，從可數(shù)比列再出列a9an項式，后出列{}通公。na例15已知列{}足an，，數(shù){}通公。an3x解：，2，則是函fx)的不點4x

．數(shù)列求和的問題往往和其他知識綜合在一起，綜合性教強。數(shù)列求和就顯得特別重要，數(shù)列求和就需要根據(jù)數(shù)列的特點選擇最適合的方法，那么必須掌握幾種常用的數(shù)列求和方法。．自文不數(shù)歸法來數(shù)歸法乎了個科考內(nèi)。且常和縮、函數(shù)調(diào)、造等系一，力求高．縱近年高，年有極的目常選題填題形命，時也為一大的一出，度大．數(shù)的用其泛因盡現(xiàn)的用多概統(tǒng)，不除數(shù)使題的能也有能數(shù)和率匯．數(shù)常函、等、析何立幾、數(shù)三、量二式知聯(lián)系一，以它復多、合強解靈等征為考中題壓題一、利常求公求n(a)(n1、等數(shù)求公：nad22na(2、等數(shù)求公：S)aq11因為

n

a5anaann

，所

3、

n

k

kn(n

、

n

k

k

2

n(2a()3

1)n23

。

5、

n

k

k

3

n

211[例已知列

n

n

n

≠s數(shù)列前n項和求s。n

解：題知{

}通是差列{的項等數(shù){}通之n解：時

snn

設

S

2462n2223n

………………①當≠時，

n

數(shù)，比x

Sn

2(n2n

nn

……………②（制由等數(shù)求公得

2xx(1n＝

（利常公）

位）12①－得)222

22222221n

22n

（錯相）【固習1已知列

n

式為

an，s為n

項和

∴

S

n2n（）求

s

；（）求

項。n

三、反相法和解：二、錯相法和

這是導差列前項公時用方，是一數(shù)倒來列反它原數(shù)相，可得n(1這種法在導比列前n項和式所的法這方主用求數(shù){a·

b}

例求：

C

C

前項，中{}{b}別是差列和比列.n[例求和Sx

……（x）

證明設CCn把①右倒過得

……………..①解：當，

n

n

2

C(2Cnnn

（反）當≠時

……….①

又由

Cnn

可得①式邊乘得

xSn

1xx

2

3

n

n

n

（設錯

C

(2C

C

……..…..②位）①－得(1S2x再利等數(shù)的和式：(1)S

n

4x1nx(2nx1

（錯相）

①②得(2nC∴(【固習3求sin2

n的值

（反相）∴

Sn

(2n

n

(2x(1)

n

)

解：sinsin22將①右反得

sin23

sin2

①【固習2

求數(shù)

24,,,2223

2n2n

,

前項和

2

sin

2

i

i

1

②（反）又因

sinxcos(90

),sin2x2222222nnn2nnnnnn222222nnn2nnnnnn①+②得（反相）2(sin)2)89＝89

＝

nn2

(∴＝44.5四、分法和有一數(shù)，不等數(shù)，不等數(shù)，將類列當開可為個等、比或常的列然分求，將合即形如其{a}{b}等數(shù)n列、比列常的列.

五、裂法和這是解組思在列和的體用.裂項的質(zhì)是數(shù)中每（項分，后重組，之消一項最達求的通分（項如sin1（1）f(f()（）tancos(111[例求數(shù)的n項和4,，aaan1解：4)7)aa

（3）

an

111nnn

（）

n

(2n)2(2nn

1(2n

)將其一拆再新合11Sa2an

)

（分）

（5）

an

1n

11[2((nn

]當a＝時，

S

(3n(3nn＝2

（分求）

n

1(2(2nn

n

(

n

則

n

(n

n當a時，

11

1a1a

(3na1(3n＝2

（7）

a

n

1(An)

11(CAn

)【固習4

求數(shù)列{的項和.

（8）

n(n

=

1－n(n

（）

an

1n

n解：1)(2kkk∴(k1)(2k＝(2knk將其一拆再新合

2

)

11例求數(shù)1221解：n

1,nn

,

的前項和.

（裂）S＝

k

k3k

k2

k

k

（分）

則

Sn

112

1nn

（裂求）＝

3

＝

(23

2)＝

n2(n2

2

n1)(2nn(22

（分求）

＝

【固習】①在列{}，

a

12n

nn

，又

n

n

n

，求列{}nnnn的前項的和.

＝解：∵

1an

nn2

【固習在各均正的比列，

aa9,logaa53②

求證

8()∴nn2∴數(shù){}前項和11111S8[(1))))]2234n8＝)＝11cos10cos2sin1

（裂）（裂求）

的值.

aloga解：n