2江蘇省專本高等數學模擬測試2一．選擇題(小題4,共24分)1.當

x時1cosxln(1

2

)

是等價無窮小,常數地值為()A.1B.2C.3D.4解：本題考查無窮小階地比較,是求兩個函數比值地極限件說是等價無窮小,么比值地極限是1,有limx0

2xln(12)

x2x0ax2a則

,B.2.曲線

y

x2x(x2)

地垂直漸近線是)A.

x

B.

x

C.

x

D.沒有垂直漸近線解所謂垂直漸近線是若

fx)xx

（也可以是單側極限,即左極限或右極限為無窮大稱

x

x0

為垂直漸近線.一般拿來討論極限地

x

為函數中無定義地,本有三個無定義地,即

x,x,x,但是在求極限時函數經過化簡后變成

,此只lim以選C.x2x3.設

()

t)

,

()0A.C.

sinxcosxsinx)xxln(1sinx)

B.D.

sinxln(1sinx)sinxsinx)解：本題考查變上限積分函數求導公式A.4.下列級數中條件收斂地是)A.

nn

B.

nnn

C.

(

n

D.

(2解本題考查絕對收斂與條件收斂地概念,首先要知道無論是絕對收斂還是條件收斂都是滿足收斂,是收斂“強度不同罷了.選項A與D是滿足絕對收斂地項般項地極限不是零然發散,有選項B滿足條件收斂5.將二重積分

2

y

2

dxdy

,Dx,y)xy

成極坐標下地二次積分,則得()A.

r2dr

B.

r2

C.

04

rdr

D.

04

2

rdr解：本題考查二重積分地極坐標變換,先關鍵是畫出積分區域來,圖如下：本題積分區域形如右圖陰影部分,然答案選D.6.函

y

單調遞減且其圖形為凸地區間是()A

(

B.

(1,

C.

(2,1)

D.

解：單調減就是一階導數小于零,就是二階導數小于零,是1/7

y),

)e(

,D.二．填空題（每小題,共24分）7.

lim(x

)

2

解：本題考查型地冪指函數求極,用“重要極限地推廣公式”x2lim()lim()xlim(1)xx2x2x

2x

limlim

2

f(2)(2)8.已f2則lim_______________x0解考查導數地定義,限中地只是一個字母,個無窮小而已,同原始定義中地一,從極限分子中可以看自變量改變了

(2

)x)x

,是limx0

f(2x)f(2xf(2)f(2)x03

f

9.定分

44

2x

2

x

dx

___________.解：本題考查定積分化簡計算,利用函數奇偶性4

sinxcos2x

2

4

sinxcos2x

4

xdx

0

tan2xdx

0

(secdx2(tan

2

)

40

210.設

(1,2,0),b

則

(a)a)

_________.解：本題考查向量坐標地加法、減法以及叉乘運算由已知可得

(a)

a)(2,0,

,則ij(a)012,11.設函數

(,

由方程

zyz

所確定,

_______.解：本題考查多元隱函數求偏導,可選擇地方法有很多,比如“公式法分法求法”,里我們采用兩邊求地方法,即對原方程兩邊同時關于x求偏導得

e,解得y

.然本題用公式法做也很簡單.2/7

x0x012.冪級數

nn

n

地收斂域為_________.解：本題考查利用系數模比值法求冪級數地收斂域(因為

limn

n(

nlimn

,以

n于是

x,1x

；當

x

時,

n1n(nnn

（發散-P-數當

x

時,

n(nnx2)nnn

（收斂-萊布尼茨別法綜上,斂域為

(1,3]三．計算題（每題,共64）13.求極限

limx0

sin3xarcsinxx3lim解：原式=xarcsinx

x0

1

3211

2

x0

3212

31x22,即

1

2

用

x

(x0)

,則0

2(1

1))2

1()x2

214.設函數

y(x)由方所確定,

解：本題考查隱函數求導,且是求具體點地導數值當

x

時,入原方程得

0方程兩邊同時關于x求導得

e

x

(1

)

代入

x

,

0

得

再對（

）式兩邊同時關于求得

[

x

(1xy整理得

e

x

(1

2

e

x

)y

代入

x

0,及

得

3/7

1115.求不定積分

e

x

dx解：令

x

,

x

2

dxtdt

,入得

exdxt)t2(tet

xe

x

16.求定積分

40

xx

dx解：令

x

,

x

t

2

,

；當

x

時

t

,

時

t

；代入得

x

t2tdtt9

(

tdt()3

17.設

z

f(2x,ye

x

)

,中

f

有二階連續偏導數,

解：

f

x

2f

x

f

(2f

x

f

f211

x

)

x

[1

f2

21

22

x

)]f

21112

21

2

x

f

211

x

f12

2

f

2212

2118.

設直線通過點(-1,2,0),直于直線

xtyt

又與平面

xyz

平行,其方程

解：設直線

xtyt

地方向向量為s,面0

x

地法向量n,0ijk

,設所求直線地方向量為

,sn13(11,7,1)0于是所求直線方程為

yz1174/7

dy110dy11019.計算二重積分

xdxdy,D{(x2

y解：由已知條件可知積分區域由曲線

y

2

,x

2

y

2

所圍成,第一象限中地交點坐標為1,1）如右圖陰影部分,以D

xdxdy

120

0

x()

2y

dy

0

2

yyy211)1)3注：本題有些同學可能會錯誤地認為陰影部分應該是,是不正確地這是因為

D

{(x,y)yxy

若D

{(xy)|

y2

,就是第二個圖中地陰影部分了.xy20.求微分方程地通解解：原方程對應齊次線性微分方程地特征方程為

r

r

得rr2所以對應齊次線性微分方程地通解為

Y

e1

2

；又

為其中地一個特征根,以原方程地一個特解為

y*Axe

,則

y

*

A)e

,

y

*

(2)

,代入原方程得)e

x

A(1)

x

Axe

x

x

,化簡得

所以

y*

x

,以通解為

ex1四．證明題（每小題,共18分）21.證明：當

x

時,e

x2證明：令

f()

x

,則

f

xf

x

x0(0x

,所以

f

單調遞減,

f以f所f

單調遞減,

f0,以f0

,以5/7

fff()

單調遞減,

f

0

,以

f()

0

,當

x

時,

x2注是利用三階導數相關信息一次次反推到原來地函數連續使用了三次利用導數證明不等式地方法具體地系圖如下：fff

ff

f()f(f(0)22.設函數

xf()3

,明

fx)

在

x

處連續但不可導證明：顯然因為

fx)f2在函數值為f(x)ex2,limf(x)lim(3xxx0

2

,所以

limf(x0所以

lim()fx

,

fx)

在

處連續因為limxlimx

f(x)f(0)xxlimxxx0xxf(x)f(0)33xlimxx所以

f

(0)f

(0)

,左導數不等于右導數,所以

f()

在

x

處不可導綜上所述

fx)

在處續但不可導五．綜合題（每題分共20分）23.設函數

y3在x

處取得極大值,其圖形地拐點,常數

,

地值解為函數

y32

顯然滿足一階和二階可導,以它地極值點

x

是駐階導數等于零地點它地拐(0,3)二階導數等于零地點因為

y

2

,

,在曲線上所以綜上得

f

f(0)a得6a

c24.微分方程

xdyy)dx

地一個解

yy(x

,使線

yy(x)

于直線

及x軸圍成地平面圖形繞軸旋轉一周所得地旋轉體體積最小6/7

22x1222x12解：將上述微分方程變形為

dy220ydxdxx即

,是一個一階非齊次線性微分方程,其中

P(x)()通解為

y

2()x

[

2()dxx

dx]

2

(

(

)dx)x2(x2

2

V)2117C)

C2x4x(Cx32dx)3即

VCC)

,顯然此時地體積

V

是一個關于參數

地一元二次函數,一條拋物線,由學數學可15知拋物線地頂點是最小值點點坐標公式為

()a4

,當

b2a

3125

75124

時取得最小值2x因此所求函數為注本題涉及到畫圖地問題于拋物線

yC