教學設計5.6函數y=Asin(ωx+φ)（第一課時）學科數學年級高一學期秋季授課人王健學校安徽省六安第一中學東校區教科書書名：高中數學必修第一冊（2019A版）出版社：人民教育出版社教材分析課程標準：結合具體實例，了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義；能借助圖像理解參數的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響.教材的地位與作用：y=Asin(ωx+φ)是中學數學重要的內容之一，它既是解決生產實際問題的工具，又在數學、物理及其他應用學科中都有非常重要的應用；從y=sinx的圖像到y=Asin(ωx+φ)的圖像的變換過程，較完整的展現了圖像的平移變換、伸縮變換，是打開對一般圖形變換學習的一把鑰匙.學情分析1.學生之前已經學習了正、余弦函數的圖像與性質，也在初中掌握了二次函數圖像的平移變換，具備了用類比等思想解決這類問題的能力.2.但是高一學生正處在由經驗型到理論型的跨越階段，觀察能力和抽象概括能力還有待加強；因此，學生在勻速圓周運動的建模過程以及將參數的實際意義與函數圖象中的對應點相關聯的思路方法并不熟悉，需要問題引導.教學目標分析1.了解函數y=Asin(ωx+φ)的現實背景，經歷勻速圓周運動的數學建模過程，進一步體會三角函數與現實世界的密切聯系，發展數學建模核心素養.2.掌握參數對函數圖像的影響，理解參數在圓周運動中的實際意義，發展數學抽象、邏輯推理與直觀想象核心素養.3.會運用函數y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質解決簡單的數學問題和實際問題.培養數學運算核心素養．教學重難點教學重點：建模y=Asin(ωx+φ)以及參數對圖像的影響.教學難點：數學建模的過程與方法、圖像的變換和解析式中變量的變換之間的關系.教學方法教法：用問題串“串聯”所有的活動，層層遞進，引領學生積極思考；并通過實驗及幾何畫板軟件更加豐富的展現圖像的動態形成過程，提高課堂教學效率.學法：學生通過一連串的問題的回答，參與了知識的發生發展過程，并在自主探究、小組合作交流等過程中掌握知識，提高能力.教學過程設計教學過程設計意圖環節一：課前任務，情境引入問題1（課前）：筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生生產中得到使用，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖描繪了筒車的工作原理。假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.追問1：你能用一個合適的函數模型來刻畫盛水筒（視為質點）距離水面的相對高度與時間的關系嗎？追問2：與盛水筒運動相關的量有哪些？它們之間有怎樣的關系？活動一：課前探究，遇到困難時，請同學們逐個打開紙張背面的“錦囊”.“錦囊1”:因為筒車上的盛水筒運動具有周期性，可以考慮用三角函數來刻畫.“錦囊2”:建構函數模型如圖，盛水筒距離水面的高度H由以下量所決定：筒車轉輪的中心O到水面的距離h，筒車的半徑r，筒車轉動的角速度ω，盛水筒的初始位置P0，所經過的時間t．通過筒車模型引入，體現數學的實際價值，使學生感受發現問題、提出問題的過程，并嘗試分析問題和解決問題.將問題作為課前活動，既讓學生有充分的思考探究時間，又節省課堂時間，從而更好的完成本節課的教學任務.兩個“錦囊”，引導學生進行有序的思考，從而避免思維的盲目性；同時將參數中的字母進行統一，使得后續不同學生展示自己的“作品”時，方便共同理解.環節二：課堂展示，各抒己見活動二：PPT展示學生的課前作品，并讓該作品的作者闡述自己的做法及理由,老師點評并共同得出本節課的研究對象.師：兩位同學的思路很好，哪種建系方式更方便呢？生：第二個.師：函數H=rsin(ωx+φ)+h就是“筒車”問題要建立的數學模型，由于h是常量，可以只研究函數y=rsin(ωx+φ)的性質.這就是本節課要研究的函數——§5.6.2函數y=Asin(ωx+φ)的圖象讓學生自己講述自己的設計思路和求解過程，既讓學生有更多的課堂參與感，以學生為主體，又能解決學生的實際問題，方便比較方法的優劣.同時引出本節課的研究對象——y=rsin(ωx+φ)環節三：課前實驗，課中再現問題2：通過筒車運動的研究，我們得到了形如y=Asin(ωx+φ)的函數，這個函數在物理中也經常出現，你見過它的圖像嗎？生：這個解析式就是“簡諧運動”的解析式，它的圖像在實驗中獲取過.問題3：能否借助函數y=sinx的圖象與性質研究參數A，ω，φ對函數y=Asin(ωx+φ)的影響？以前用過這種方法嗎？活動三：學生思考辨析這種方法的可行性以及具體策略.生1：根據兩者圖像的相似性，應該可以.生2：根據初中二次函數圖像的平移變換的學習經驗，應該可以.追問1：三個參數同時變化時，難以觀察其圖象的變化規律，應該如何解決？生：逐個研究.師：多參數問題的一般研究策略——控制變量法.追問2：研究順序呢？師生：先φ，再ω，最后A.既通過實驗得出了函數y=Asin(ωx+φ)的圖像，了解其在物理上的應用，感受進一步學習它的必要性，又從中發現它與y=sinx圖像的相似性，為接下來通過變換得出圖像提供了可能.通過“問題3”引導學生從實驗結果以及類比之前“二次函數”的學習經驗確定這種探究思路的可行性，通過“追問1”明確多參數問題的一般研究策略——控制變量法，滲透將復雜問題逐個簡單化的化歸思想；通過“追問2”明確本節課對三個參數的研究順序.環節四：探索φ對y=sin(x+φ)圖象的影響問題4：按照剛才確定的研究思路，你計劃怎樣具體研究參數φ對函數y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響？生：確定A，ω的值，取φ的不同值研究圖像上任意點的位置變化.師生：不妨取A=1，ω=1，φ分別取0和π/6.即研究路徑y=sinxy=sin(x+π/6)追問1：從勻速圓周運動的數學模型y=Asin(ωx+φ)的角度，設動點M在單位圓上逆時針運動，A=1，ω=1分別表示什么意義，φ的不同值表示什么含義？生：A=1表示半徑為1，ω=1表示轉速為1，φ的不同值表示起始位置不同.追問2：當動點M起點位于Q0，即φ=0時，設經過x秒后點M的縱坐標為y，那么點M的縱坐標y與時間x的函數關系式是什么？生：y=sinx.追問3：設動點M經過x0秒后運動到點P，點P的縱坐標為y0，你能在單位圓和坐標系中分別標出x0、y0以及點P、點F（x0，y0）嗎？活動四：學生上臺在電子屏上分別標出兩處x0、y0.追問4：在單位圓上拖動起點Q0繞點O1旋轉π/6到Q1（即φ=π/6），讓動點以Q1為起點，此時點M的縱坐標y與時間x的函數關系式是什么？生：y=sin(x+π/6).追問5：此時，若到達相同點P，所需時間x是多少呢？生：x0-π/6.追問6：因此，點G（x0?π/6，y0）即在哪個函數圖像上，它由點F如何運動得出？生：點G（x0?π/6，y0）在y=sin(x+π/6)圖像上，它是由點F向左移動π/6個單位得到的.追問7：如上，我們找到了兩個函數圖像上任意點的變化，因此，如何從y＝sinx的圖像得到y＝sin(x+π/6)的圖像呢？生：將y＝sinx的圖像向左移動π/6個單位.追問8：如果使點Q0繞點O1旋轉-π/6,π/3,-π/3呢？活動五：小組合作探究，并請一位同學上臺用幾何畫板演示.追問9：“解析式的直觀變化”與“圖像的直觀變化”之間有沒有關聯呢？活動六：先讓學生填寫藍色字內容，再讓學生小組討論.通過“問題4”讓學生明確在三個參數中單獨研究參數φ的具體措施，通過“追問1”引導學生從勻速圓周運動的實際意義的角度來研究φ的變化對函數圖像的影響.通過“追問2”讓學生明確現在研究的函數解析式為y=sinx，通過“追問3”引導學生將時間x0與弧度角x0以及橫坐標x0對應起來，將點P的縱坐標y0與點F的縱坐標y0對應起來，從而建立起圓周運動中的點P與函數y=sinx圖像中的點F的對應關系，熟悉了數與形之間的相互切換，為下面建立點P、點F以及y=sin（x+π/6）中的點G這三個點之間的聯系做好鋪墊.通過“追問4”讓學生明確即將研究的函數解析式為y=sin（x+π/6），通過“追問5”確定函數圖像中點G的橫坐標，通過“追問6”明晰y=sin（x+π/6）圖像中的點G與y=sinx圖像中對應點F之間的幾何位置關系.通過“追問7”將點的變化轉化為圖像的變化，滲透了從本質研究表象的思維方式；通過“追問8”讓學生再次熟悉φ的不同取值對函數圖像的影響，通過幾何畫板的動態演示既驗證了大家的成果，又增強了學生們的直觀印象.前面本質的探究為表象的解釋提供理論依據，同時，剔除本質后，“表象→表象”的規律為以后解題提供了極大的方便。環節五：探索ω對y＝sin(ωx＋φ)圖象的影響問題5：類比參數φ對函數y=sin（x+φ）圖象影響的研究過程，你計劃怎樣具體研究參數ω對函數y=Asin（ωx+φ）圖象的影響？生：確定A，φ的值，取ω的不同值研究圖像上任意點的位置變化.師生：不妨從剛剛獲取的函數y=sin(x+π/6)入手去研究ω的變化對圖像的影響，不妨取A=1，φ=π/6，ω分別取1和2.即研究路徑y=sin(x+π/6)y=sin(2x+π/6).追問1：從勻速圓周運動的數學模型y=Asin(ωx+φ)的角度，設動點M在單位圓上逆時針運動，A=1，φ=π/6分別表示什么意義，ω的不同值表示什么含義？生：A=1表示半徑為1，φ=π/6表示起始位置為Q1處，ω的不同值表示轉速不同.追問2：當起點位于Q1，即φ=π/6時，若取ω=1，設經過x秒后點M的縱坐標為y，那么點M的縱坐標y與時間x的函數關系式是什么？生：y=sin(x+π/6).追問3：設動點M經過x0秒后運動到點P，點P的縱坐標為y0，你能在單位圓和坐標系中分別標出x0、y0以及點P、點G（x0，y0）嗎？生：可以！追問4：仍然取起點Q1，即φ=π/6時，但是取ω=2，設經過x秒后點M的縱坐標為y，那么點M的縱坐標y與時間x的函數關系式是什么？生：y=sin(2x+π/6).追問5：此時，若到達相同點P，所需時間x是多少呢？生：x0/2.追問6：因此，點K（x0/2，y0）即在哪個函數圖像上？它由點G如何運動得出？生：縱坐標不變，橫坐標變為原來的1/2倍.追問7：如上我們找到了兩個函數圖像上任意點的變化，因此，如何從y=sin（x+π/6）的圖像得到y=sin（2x+π/6）的圖像呢？生：壓縮為原來的1/2倍.師：很好，也可以說圖像上的每個點縱坐標不變，橫坐標變為原來的1/2倍.追問8：如果分別取ω=1/2，3，1/3，對應的函數圖象與函數y=sin（x+π/6）的圖象之間存在怎樣的變換關系？周期如何？活動七：小組合作探究，并請一位同學上臺用幾何畫板演示驗證.追問9：“解析式的直觀變化”與“圖像的直觀變化”之間還滿足有剛才的規律嗎？追問10：你能將以上具體的數值變為參數φ和ω，進而得出一般性的結論嗎？生：可以！通過“追問1”引導學生繼續從勻速圓周運動的實際含義的角度來研究ω的變化對函數圖像的影響.通過“追問2”讓學生明確現在研究的函數解析式為y=sin（x+π/6），通過“追問3”引導學生將時間x0與弧度角x0以及點G的橫坐標x0對應起來，將點P的縱坐標y0與點G的縱坐標y0對應起來，從而建立圓周運動中點P與函數y=sin（x+π/6）圖像中的點G的對應關系，為下面建立點P、點G以及y=sin（2x+π/6）中的點K這三個點之間的聯系做好鋪墊.通過“追問4”讓學生明確現在研究的函數解析式為y=sin（2x+π/6），通過“追問5”確定函數圖像中點K的橫坐標，通過“追問6”明晰y=sin（x+π/6）圖像中的點G與y=sin（2x+π/6）圖像中對應點K之間的幾何位置關系.通過“追問7”將本質上點的變化轉化為表象上的圖像的變化，滲透了從本質研究表象的思維方式，“追問8”讓學生再次熟悉ω的不同取值對函數圖像的影響的分析過程，通過幾何畫板的動態演示既驗證了剛才的分析過程，又增強了學生們的直觀印象,讓數學的學習變得有畫面感.通過“追問9”既復習了剛剛學過的“規律”，又通過聚集展示發現這種“規律”的普適性，并通過“追問10”由學生歸納出從具體到一般的結論，培養學生抽象概括能力，這種由“表象→表象”的規律為以后解題帶來極大的方便.環節六：課后自主學習A對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響課后探究1：當參數A變化時，對函數y=Asin（ωx+φ）圖象有什么影響？類比問題4與5，請同學們課后自主探究！課后探究2：按照路線y=sinxy=sin（x+φ）y=sin（ωx+φ）y=Asin（ωx+φ），總結一下從函數y=sinx出發，通過圖象變換得到函數y=Asin（ωx+φ）的過程與方法.并將每一步平移和伸縮變換的過程詳細寫出來.通過前面對參數φ、ω的研究，學生已經有了一定的實踐經驗和理論基礎，應該有能力解決此問題.通過兩個自主探究，讓學生自己設計并再次感受勻速圓周運動與三角函數解析式及其圖像之間的本質聯系；并通過對觀察到的現象進行理性的思考，用數學的語言準確的描述數學對象，進一步提升學生的直觀想象和邏輯推理素養.環節七：課時小結，回歸y=Asin(ωx+φ)１．本節課我們研究了什么問題？研究的路徑是怎樣的？勻速圓周運動的數學建模；函數y=Asin(ωx+φ)的圖象.構建構建抽象轉化實際問題數學問題三角函數模型y=Asin(ωx+φ)函數y=Asin(ωx+φ)的圖象運用了什么數學方法？控制變量法（局部到整體）、特殊到一般.蘊含著哪些數學思想？轉化化歸、數形結合，類比遷移.隨著學生對知識、方法、思想三個方面問題的回答，無形中將本節所學知識回顧了一遍.環節八：達標檢測，摸底y=Asin(ωx+φ)1、已知函數y＝3sin（x+π/5）的圖象為C．（1）為了得到函數y＝3sin（x?π/5）的圖象，只要把C上所有的點（）A．向右平行移動π/5個單位長度B．向右平行移動π/5個單位長度C．向右平行移動2π/5個單位長度D．向右平行移動2π/5個單位長度（2）為了得到函數y＝3sin2x的圖象，只要把C上所有的點（）A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變