第八章近代平差理論前面介紹的五種平差方法，我們常稱之為經典平差方法，隨著計算機技術的普及和矩陣理論在測量平差中的廣泛應用，產生了一些新的測量平差模型，如序慣平差、自由網平差、方差分量估計等理論，為區別起見，我們稱之為近代平差理論。本章將介紹這些平差理論及其應用，部分方法只闡述其原理，詳細內容將在后續課程中進一步學習。序慣平差也叫逐次相關間接平差，它是將觀測值分成兩組或多組，按組的順序分別做相關間接平差，從而使其達到與兩期網一起做整體平差同樣的結果。分組后可以使每組的法方程階數降低，減輕計算強度，現在常用于控制網的改擴建或分期布網的平差計算，即觀測值可以是不同期的，平差工作可以分期進行。本節的理論公式推導，以分兩組為例?！??1序貫平差一、序慣平差原理設某平差問題，觀測向量，現把它分為兩組，組內相關，組間互不相關，即：（8-1-1）按間接平差原理選取參數，取近似，改正數為，分組后兩組的誤差方程分別為權陣（8-1-2a）權陣

（8-1-2b）

即由上式可得

按分組平差，先對第一組誤差方程行第一次平差（因未顧及第二組觀測值，所以第一次平差只能得到的第一次近似值，用表示）。函數模型可改寫為權陣

（8-1-3）按間接平差原理，可以直接給出公式，其法方程為未知參數的第一次改正數

（8-1-4）（8-1-5）

未知參數的第一次平差值（8-1-6）

第一次平差后未知參數的權陣為（8-1-7）

將代入（8-1-3）式，得觀測值的第一次改正數，而。聯合第二組誤差方程。即：

（8-1-9）

其中或由（8-1-8）、（8-1-9）聯合組成法方程為即

（8-1-10）將上式代入（8-1-9）即可求得第二組觀測值的整體改正數。那么第一組觀測值的第二次改正數如何求呢？我們可以用分別代替（8-1-2)的，即：（8-1-11）

由上式可得參數的第二次改正數為因為經過第一次平差后，已使成立，所以有（8-1-12）

最后的平差值為：（8-1-13）

（8-1-14）（8-1-15）

下面給出精度評定公式。，但是并顧及

則有

（8-1-17）未知參數的協因數陣：（8-1-18）

未知參數函數的協因數及中誤差：設有參數函數的權函數式：

（8-1-19）

（8-1-20）解：本題，選兩點高程平差值為未知參數，并取其近似值為：，，，，，試按逐次間接平差法求兩點高程的平差值及點高程的中誤差?第一期同精度獨立觀測，第二期同精度獨立觀測,觀測值為:例[8-1]如圖8-1水準網，為已知點，圖8-1h3CDAh1h2Bh4h5列立第一期誤差方程權陣

寫成的形式為④求第一期觀測值的第一次改正數列立第二期誤差方程，可用第一期平差后的參數平差值直接列立，此時誤差方程常數項就是，即權陣

寫成矩陣形式

也可以用參數的初始近似值列出，此時的誤差方程常數項為，即其中則誤差方程可寫為結果一樣。⑥顧及第一次平差結果，組成法方程即⑦求解參數的第二次改正數及平差值⑧計算第二期觀測值的改正數

二、序慣平差的三種特殊情況1．第二次平差增加新的參數設兩組的誤差方程為

權陣

（8-1-21）

權陣（8-1-22）式中是共同的未知參數，是新增加的未知參數。第一次平差可得：

（8-1-23）（8-1-24）

（8-1-25）

第二次平差的誤差方程為權陣（8-1-26）

權陣

（8-1-27）

式中：

或（8-1-28）

（8-1-29）

（8-1-30）

解算法方程可得，代入（8-1-27）可求得。最后得參數平差值為組成法方程為

2．二次平差的參數僅是第一次平差參數的一部分設兩組的誤差方程為：權陣

（8-1-31）

權陣

（8-1-32）權陣

（8-1-37）

式中：或

顧及（8-1-35）式，組成法方程如下：

（8-1-38）

（8-1-39）

由（8-1-38）式可得：

（8-1-40）將代入（8-1-39）式，整理后得

（8-1-41）

式中

（8-1-42）

由（8-1-41）可解得。參數的平差值為（8-1-43）（8-1-44）

3．上述兩種情況的綜合兩組的誤差方程為：權陣

權陣

（8-1-45）（8-1-46）

權陣試按逐次間接平差法求未知參數的平差值。解：本題符合第三種特殊情況，即符合如下形式：即第一次平差的法方程為：

即其解為未知參數的權陣為第二次平差的法方程為即其解為而參數的平差值為即§8-2秩虧自由網平差在前面介紹的經典平差中，都是以已知的起算數據為基礎，將控制網固定在已知數據上。如水準網必須至少已知網中某一點的高程，平面網至少要已知一點的坐標、一條邊的邊長和一條邊的方位角。當網中沒有必要的起算數據時，我們稱其為自由網，本節將介紹網中沒有起算數據時的平差方法，即自由網平差。在經典間接平差中，網中具備必要的起算數據，誤差方程為（8-2-1）

式中系數陣為列滿秩矩陣，其秩為。在最小二乘準則下得到的法方程為

（8-2-2）由于其系數陣的秩為，所以為滿秩矩陣，即為非奇異陣，具有凱利逆，因此具有唯一解，即（8-2-3）

當網中無起算數據時，網中所有點均為待定點，設未知參數的個數為u，誤差方程為（8-2-4）式中d為必要的起算數據個數。盡管增加了d個參數，但B的秩仍為必要觀測個數，即其中B為不滿秩矩陣，稱為秩虧陣，其秩虧數為d。組成法方程（8-2-5）式中且所以N也為秩虧陣，秩虧數為：（8-2-6）由上式知，不同類型控制網的秩虧數就是經典平差時必要的起算數據的個數。即有：在控制網秩虧的情況下，法方程有解但不唯一。也就是說僅滿足最小二乘準則，仍無法求得的唯一解，這就是秩虧網平差與經典平差的根本區別。為求得唯一解，還必須增加新的約束條件，來達到求唯一解的目的。秩虧自由網平差就是在滿足最小二乘和最小范數的條件下，求參數一組最佳估值的平差方法。下面將推導自由網平差常用兩種解法的有關計算公式。一、直接解法根據廣義逆理論，相容方程組雖然具有無窮多組解，但它有唯一的最小范數解，即：（8-2-7）式中，稱為矩陣的最小范數g逆。稱為矩陣的g逆。代入（8-2-7）式得（8-2-8）上式就是根據廣義逆理論直接求解參數的唯一最小范數解的公式。由于廣義逆計算較為復雜，下面將公式做進一步改化：令（8-2-9）（8-2-10）式中行滿秩，即，于是有（8-2-11）而，所以為滿秩方陣，按照降階法求矩陣廣義逆的方法，即：如果有矩陣其中存在凱利逆，則有的g逆（8-2-12）根據上式可得（8-2-13）代入（8-2-8）式，得（8-2-14）或寫成（8-2-15）未知參數的協因數陣為：（8-2-16）二、附加條件法（偽觀測值法）前面已提及，秩虧自由網平差就是在滿足最小二乘和最小范數的條件下，求參數一組最佳估值的平差方法，實際上就是求相容方程組的最小范數解。附加條件法的基本思想：由于網中沒有起算數據，平差時多選了d個未知參數，因此在u個參數之間必定滿足d個附加條件式，即在原平差函數模型中需要加入d個未知參數間的限制條件方程，從而可以按附有條件的間接平差法求解。問題的關鍵是如何導出等價于的限制條件方程的具體形式。為敘述方便，我們先給出該限制條件方程，然后再推導平差計算公式，最后證明，在給定的限制條件方程下所求得的解，就是相容方程組的最小范數解。設等價于約束條件的限制條件方程為（8-2-17）

式中且滿足S稱為附加陣。故秩虧自由網平差的函數模型為權陣為P按照附有條件的間接平差可得法方程（8-2-18）式中且唯一不同的是這里N為秩虧陣。為解決秩虧問題，將（8-2-18）中的第二式左乘S矩陣后，再加到第一組中得：（8-2-19）式中，且

根據附有條件的間接平差原理，上式的解為（8-2-20）（8-2-21）由于上述解是通過增加未知參數間滿足的d個附加條件，按照附有條件的間接平差法而實現的，因此人們把此法稱為附加條件法。但它又不同于經典的附有條件的間接平差法，其主要表現為：當S陣滿足BS=0時，必定有下式成立（證明從略）（8-2-22）將（8-2-22）式代入（8-2-21）式，可得參數的解為（8-2-23）就是法方程的最小范數解。為此只需證明是的最小范數g逆中的一個即可，即只需證明滿足以下兩式：現在只需證明，按（8-2-23）式求得的解（8-2-24）現證明如下：因為所以有右乘S陣并展開，則有而，所以有（8-2-25）由于，存在逆陣，則有（8-2-26）所以有（8-2-28）（8-2-27）因此（8-2-24）第一式得到驗證由（8-2-27）式得考慮到（8-2-26）式，則上式為（8-2-29）（8-2-28）、（8-2-29）兩式說明是的最小范數g逆中的一個，因此按（8-2-23）式求得的一定是相容方程組的最小范數解。三、精度評定單位權中誤差估值的計算（8-2-30）式中可以直接計算，也可以按下式求得（8-2-31）未知參數的協因數陣為

（8-2-32）實際計算時，通常要對S進行標準化，設標準化后的S陣用G表示,即不僅要求滿足BG=0，還要求滿足,此時(8-2-26)式變成，轉置后有，因此（8-2-32）式將變成如下形式（8-2-33）四、兩點說明①若將代入法方程，則法方程變為上式相當于下列誤差方程聯合組成的法方程上式的第一式為觀測值的誤差方程，第二式可以看作是為求最小范數解而人為增設的d個虛擬誤差方程，因此附加條件法又叫偽觀測值法。②該方法的特點就是用求凱利逆替代了求廣義逆，因此便于計算和計算機編程，但首要條件是必須知道附加陣S，關于附加陣的確定問題，本教材不準備作詳細討論，下面直接給出常見控制網的附加陣S及其標準化后G的矩陣的具體形式：水準網（設有u個點）（8-2-34）測邊網（設有m個點）（8-2-35）式中為第I點的近似坐標（8-2-36）式中是以中心坐標為原點的第I點的近似坐標，它們的計算如下：元素,在（8-2-36）式中增加一行元素即可得到相應的S陣和G陣。測角網（設有m個點）只需在（8-2-35）式中增加一行例[8-3]如圖8-2水準網，A,B,C點全為待定點，同精度獨立高差觀測值為，，平差時選取A,B,C三個待定點的高程平差值為未知參數，并取近似值試分別用直接法和附加條件法求解參數的平差值及其協因數陣。解：1．直接解法誤差方程為法方程為由法方程易知所以有未知參數的改正數為未知參數的平差值為未知參數的協因數陣為2．附加條件法解法一中已求得法方程為的具體形式為：該水準網有3個待定點，所以附加陣為

則有

所以有未知參數的的協因數陣為結果與直接解法完全相同?！?-3附加系統參數的平差經典平差中總是假設觀測值中不含系統誤差，但測量實踐表明，盡管在觀測過程中采用各種觀測措施和預處理改正，仍會含有殘余的系統誤差。消除或減弱這種殘余系統誤差可借助于平差方法，即：通過在經典平差模型中附加系統參數對系統誤差進行補償，這種平差方法稱為附加系統參數的平差法。經典的高斯—馬爾可夫模型為

（8-3-1）當觀測值中含有系統誤差時，顯然在這種情況下，需要對經典的高斯—馬爾可夫模型進行擴充。設觀測誤差包含系統誤差和偶然誤差，即考慮平差是線性模型，可設，于是有（8-3-2）及將（8-3-2）式代入（8-3-1）式，即得附加系統參數的平差函數模型為：（8-3-3）由（8-3-3）式得誤差方程為（8-3-4）其法方程為（8-3-5）令上式可簡寫為（8-3-6）由分塊矩陣求逆公式得（8-3-7）式中（8-3-8）如果平差模型中不含有系統誤差，即，則有考慮到此關系式，則（8-3-7）式可寫成（8-3-9）和（8-3-10）由（8-3-7）式知，和的協因數陣為（8-3-11）（8-3-12）單位權中誤差為（8-3-13）§8-4方差分量估計我們知道，平差前觀測值向量的方差陣一般是未知的，因此平差時隨機模型都是使用觀測值向量的權陣。而權的確定往往都是采用經驗定權，也稱為隨機模型的驗前估計，對于同類觀測值可按第一章介紹的常用定權方法定權；對于不同類的觀測值，就很難合理地確定各類觀測值的權。為了合理地確定不同類觀測值的權，可以根據驗前估計權進行預平差，用平差后得到的觀測值改正數來估計觀測值的方差，根據方差的估計值重新進行定權，以改善第一次平差時權的初始值，再依據重新確定的觀測值的權再次進行平差，如此重復，直到不同類觀測值的權趨于合理，這種平差方法稱為驗后方差分量估計。此概念最早由赫爾默特（F.R.Helmert）在1924年提出，所以又稱為赫爾默特方差分量估計。一、赫爾默特方差分量估計公式為推導公式簡便起見，設觀測值由兩類不同的觀測量組成，不同類觀測值之間認為互不相關，按間接平差時的數學模型為（函數模型）（隨機模型）（8-4-1）（8-4-2）其誤差方程為權陣P1

（8-4-3）權陣P2

（8-4-4）作整體平差時，法方程為（8-4-5）式中

一般情況下，由于第一次給定的權P1、P2是不恰當的，或者說它們對應的單位權方差是不相等的，設為和，則有（8-4-6）但只有才認為定權合理。方差分量估計的目的就是根據事先初定的權P1、P2進行預平差，然后利用平差后兩類觀測值的、來求估計量，再根據（8-4-6）式求出，由這個方差估值再重新定權，再平差，直到為止。為此需要建立、與估計量之間的關系式。由數理統計知識可知，若有服從任一分布的q維隨機變量,已知其數學期望為,方差陣為，則向量的任一二次型的數學期望可以表達為：（8-4-7）式中B為任意q階的對稱可逆陣?，F用V向量代替上式中的Y向量，則其中的應換為，應換為，B陣可以換成權陣P，于是有（8-4-8）前面已經證明，于是有：（8-4-9）而

對上式應用協因數傳播律得

將代入上式，整理后得將上式代入（8-4-9）式，得顧及矩陣跡的性質，上式可寫為同理可得也改用估值符號表示，整理順序去掉上面兩式的期望符號，相應的單位權方差后得（8-4-10）（8-4-11）其矩陣形式可寫為（8-4-13）（8-4-12）式中

（8-4-12）、（8-4-13）兩式即為赫爾默特方差分量估計的嚴密公式。由此式可以求得兩類觀測值的單位權方差估值，從而可以根據（8-4-6）式求得觀測值方差的估值，以此方差估值再次定權，再次平差，直至滿足要求為止。

現將以上推導擴展至m組觀測值。誤差方程為令則得參數的估值為按照上述類似的推導，則有去掉期望符號，相應的單位權方差也改為用估值符號，則有（8-4-14）式中

二、計算步驟1.將觀測值分類，并進行驗前權估計，即確定各類觀測值的權的初值；2.進行第一次平差，求得；3.按（8-4-14）式求各類觀測值單位權方差估值；4.按（8-4-6）式計算各類觀測值方差的估值；5.依據定權公式再次定權，再次平差，如此反復，直到各類單位權方差的估值相等或接近相等為止§8-5習題

8.1設有兩組誤差方程：－（mm）－（mm）其中，L1與L2的權為，未知數的近似值為(m)，試按序貫平差求及。8.2在圖8.1的水準網中，已知A，B，C點的高程為m，m，m，P為待定點，各路線觀測高差為：設h