預測10幾何圖形的探究幾何圖形的探究是全國中考的熱點！全國各地的中考數學試題都把幾何圖形的探究作為壓軸題之一。1．從考點頻率看，三角形和四邊形的綜合探索與證明以及幾何的動態問題是高頻考點。2．從題型角度看，以解答題形式考查，分值約10分。相似三角形模型8字形模型8字形反8字形A字形模型A字形反A字形共邊反A字形一線三等角模型一線三等角一線三直角1．（2019年湖南省常德市中考數學試題）在等腰三角形中，，作交AB于點M，交AC于點N．（1）在圖1中，求證：；（2）在圖2中的線段CB上取一動點P，過P作交CM于點E，作交BN于點F，求證：；（3）在圖3中動點P在線段CB的延長線上，類似（2）過P作交CM的延長線于點E，作交NB的延長線于點F，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到，利用AAS定理證明；（2）根據全等三角形的性質得到，證明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根據相似三角形的性質列出比例式，證明結論；（3）根據△BMC≌△CNB，得到，證明△AMC∽△OMB，得到，根據比例的性質證明即可．【詳解】證明：（1）∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴；（2）∵，∴，∵，∴△CEP∽△CMB，∴，∵，∴△BFP∽△BNC，∴，∴，∴；（3）同（2）的方法得到，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又，∴△AMC∽△OMB，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．2．（2019年山東省煙臺市中考）(1)問題發現

如圖1,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一條直線上.

填空:線段AD,BE之間的關系為

.(2)拓展探究

如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,請判斷AD,BE的關系,并說明理由.

(3)解決問題

如圖3,線段PA=3,點B是線段PA外一點,PB=5,連接AB,將AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC,隨著點B的位置的變化,直接寫出PC的范圍.

【答案】(1)AD=BE，AD⊥BE．(2)AD=BE，AD⊥BE．(3)5-3≤PC≤5+3．【解析】【分析】（1）根據等腰三角形性質證△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延長BE交AD于點F，由垂直定義得AD⊥BE．（2）根據等腰三角形性質證△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定義得∠OHB=90°，AD⊥BE；（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，PC=BE，當P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE；當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE，故5-3≤BE≤5+3.【詳解】（1）結論：AD=BE，AD⊥BE．理由：如圖1中，∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt△ACD和Rt△BCE中

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠EBC=∠CAD延長BE交AD于點F，∵BC⊥AD，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．∴AD=BE，AD⊥BE．故答案為AD=BE，AD⊥BE．（2）結論：AD=BE，AD⊥BE．理由：如圖2中，設AD交BE于H，AD交BC于O．∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE，在Rt△ACD和Rt△BCE中

，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如圖3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，∴PC=BE，圖3-1中，當P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE=5-3，圖3-2中，當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE=5+3，∴5-3≤BE≤5+3，即5-3≤PC≤5+3．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找三角形全等的條件，學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．3.（遼寧省朝陽市2019年中考數學試卷）如圖，四邊形ABCD是正方形，連接AC，將繞點A逆時針旋轉α得，連接CF，O為CF的中點，連接OE，OD．（1）如圖1，當時，請直接寫出OE與OD的關系（不用證明）．（2）如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？請說明理由．（3）當時，若，請直接寫出點O經過的路徑長．【答案】（1），，理由見解析；（2）當時，（1）中的結論成立，理由見解析；（3）點O經過的路徑長為．【解析】【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質可得OD與OE的數量關系；根據旋轉的性質和正方形的性質可得AC=AF以及△ACF各內角的度數，進一步即可求出∠COE與∠DOF的度數，進而可得OD與OE的位置關系；（2）延長EO到點M，使，連接DM、CM、DE，如圖2所示，先根據SAS證明△COM≌△FOE，得，，再根據正方形的性質和旋轉的性質推得，進一步在△ACF中根據三角形內角和定理和正方形的性質得出，再一次運用SAS推出△ADE≌△CDM，于是，進一步即可得出OE、OD的位置關系，然后再運用SAS推出△COM≌，即可得OD與OE的數量關系；（3）連接AO，如圖3所示，先根據等腰三角形三線合一的性質得出，即可判斷點O的運動路徑，由可得點O經過的路徑長，進一步即可求得結果.【詳解】解：（1），；理由如下：由旋轉的性質得：，∠AFE=∠ACB，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴，∴，∵，O為CF的中點，∴，同理：，∴，∴，，∴，∴；（2）當時，（1）中的結論成立，理由如下：延長EO到點M，使，連接DM、CM、DE，如圖2所示：∵O為CF的中點，∴，在△COM和△FOE中，，∴△COM≌△FOE（SAS），∴，.∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∵繞點A逆時針旋轉α得，∴，，∴，，∵，，，∴，∵，，∴，在中，∵，∴，∵，∴，∴，在和△CDM中，，∴≌△CDM（SAS），∴，∵，∴，在△COM和中，，∴△COM≌（SAS），∴.∴，∴，；（3）連接AO，如圖3所示：∵，，∴，∴，∴點O在以AC為直徑的圓上運動，∵，∴點O經過的路徑長等于以AC為直徑的圓的周長，∵，∴點O經過的路徑長為：．【點睛】本題是正方形的綜合題，綜合考查了正方形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質和判斷動點運動路徑等知識，考查的知識點多、綜合性強，倍長中線構造全等三角形、熟知正方形的性質、靈活應用旋轉的性質和全等三角形的判定與性質是解（2）題的關鍵.4．（山西省2019年中考數學試題）綜合與實踐動手操作：第一步：如圖1，正方形紙片ABCD沿對角線AC所在直線折疊，展開鋪平.在沿過點C的直線折疊，使點B，點D都落在對角線AC上.此時，點B與點D重合，記為點N，且點E，點N，點F三點在同一直線上，折痕分別為CE，CF.如圖2.第二步：再沿AC所在的直線折疊，△ACE與△ACF重合，得到圖3第三步：在圖3的基礎上繼續折疊，使點C與點F重合，如圖4，展開鋪平，連接EF，FG，GM，ME，如圖5，圖中的虛線為折痕.問題解決：(1)在圖5中，∠BEC的度數是，的值是；(2)在圖5中，請判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由；(3)在不增加字母的條件下，請你以圖中5中的字母表示的點為頂點，動手畫出一個菱形(正方形除外)，并寫出這個菱形：.【答案】(1)67.5°；；(2)四邊形EMGF是矩形，理由見解析；(3)菱形FGCH或菱形EMCH(一個即可).【解析】【分析】(1)由正方形的性質可得∠B=90°，∠ACB=∠BAC=45°，根據折疊的性質可得∠BCE=22.5°，繼而可求得∠BEC=67.5°，在Rt△AEN中，由sin∠EAN=可得AE=EN，即可求得；(2)四邊形EMGF是矩形，理由如下：由折疊的性質可得∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，MC=ME，GC=GF，∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，繼而可得∠MEF=∠GFE=90°，再根據等腰直角三角形的性質可得∠CMG=45°，由三角形外角的性質得∠BME=∠1+∠5=45°，根據平角的定義求得∠EMG=90°，根據有三個角是直角的四邊形是矩形即可得到四邊形EMGF是矩形；(3)如圖所示，四邊形EMCH是菱形，理由如下：先證明四邊形EMCH是平行四邊形，再根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明平行四邊形EMCH是菱形.(同理四邊形FGCH也是菱形).【詳解】(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=∠BCD=45°，∠BAC=∠BAD=45°，∵折疊，∴∠BCE=∠BCE=22.5°，BE=EN，∠ENC=∠B=90°，∴∠BEC=90°-22.5°=67.5°，∠ANE=90°，Rt△AEN中，sin∠EAN=，∴，∴AE=EN，∴，故答案為67.5°，；(2)四邊形EMGF是矩形，理由如下：∵四邊形ABCD正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，由折疊可知：∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，由折疊可知：MH、GH分別垂直平分EC，FC，∴MC=ME，GC=GF，∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，∴∠MEF=∠GFE=90°，∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°，又∵∠BME=∠1+∠5=45°，∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，∴四邊形EMGF是矩形；(3)如圖所示，四邊形EMCH是菱形，理由如下：由(2)∠BME=45°=∠BCA，∴EM//AC，∵折疊，∴CM=CH，EM=CM，∴EM=CH，∴EMCH，∴四邊形EMCH是平行四邊形，又CM=EM，∴平行四邊形EMCH是菱形.(同理四邊形FGCH是菱形，如圖所示).【點睛】本題考查了折疊的性質，正方形的性質，矩形的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正確把握相關知識是解題的關鍵.5．（2019年杭州中考）根據相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊成比例的兩個凸四邊形叫做相似四邊形．相似四邊形對應邊的比叫做相似比．（1）某同學在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫“真”或“假”）．①條邊成比例的兩個凸四邊形相似；（命題）②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似；（命題）③兩個大小不同的正方形相似．（命題）（2）如圖1，在四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，，求證：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．（3）如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點O，過點O作EF∥AB分別交AD，BC于點E，F．記四邊形ABFE的面積為S1，四邊形EFDE的面積為S2，若四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求的值．【答案】（1）①假，②假，③真；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據相似多邊形的定義即可判斷．（2）根據相似多邊形的定義證明四邊成比例，四個角相等即可．（3）四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，證明相似比是1即可解決問題，即證明DE=AE即可．【詳解】解（1）①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似，是假命題，角不一定相等．②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似，是假命題，邊不一定成比例．③兩個大小不同的正方形相似．是真命題．故答案為假，假，真．（2）證明：分別連接BD，B1D1，且，，，，，，，，，，，，，，，四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似.（3）如圖2中，∵四邊形ABFG與四邊形EFCD相似，，，，，，，，，，，即AE=DE，【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，相似多邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．1．（2019年四川省成都市中考一模數學試題）如圖1，在中，，，點分別在邊上，，連接、，點為的中點．（1）觀察猜想圖1中，線段與的數量關系是______，位置關系是________；（2）探究證明把繞點逆時針方向旋轉到圖2的位置，小航猜想（1）中的結論仍然成立，請你證明小航的猜想；（3）拓展延伸把繞點在平面內自由旋轉，若，，請直接寫出線段的取值范圍．【答案】（1），；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）如圖1中，設PA交BE于點O．證明△DAC≌△EAB（SAS），結合直角三角形斜邊中線的性質即可解決問題．（2）結論成立．如圖2中，延長AP到M，使得PM=PA，連接JC．延長PA交BE于O．證明△EAB≌△MCA（SAS），即可解決問題．（3）利用三角形的三邊關系求出AM的取值范圍，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，設PA交BE于點O．∵AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠EAB，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴BE=CD，∠ACD=∠ABE，∵∠DAC=90°，DP=PC，∴PA=CD=PC=PD，∴PA=BE．∠C=∠PAE，∵∠CAP+∠BAO=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∴∠AOB=90°，∴PA⊥BE，故答案為：，（2）延長交于延長到使，連接，則，，，，，，又，，，又，，，，，又，，即（3）∵A在平面內自由旋轉,∴(2)的圖形仍然可用,由已知得AC=10，CM=4，∴10-4≤AM≤10+4，∴6≤AM≤14，∵AM=2AP，∴3≤PA≤7．∴PA的最大值為7，最小值為3．所以：3≤PA≤7．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．2．（2020年湖南省長沙市長郡濱江中學中考數學3月模擬試題）類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整.原題：如圖1，在平行四邊形中，點是邊上的中點，點是線段上一點，的延長線交射線于點，若，求的值.（1）嘗試探究在圖1中，過點作交于點，則和的數量關系是______，和的數量關系是______，的值是______；（2）類比延伸如圖2，在原題條件下，當時，參照問題（1）的研究結論，請你猜想的值（用含的代數式表示），并證明你的猜想；（3）拓展遷移如圖3，梯形中，，點是延長線上一點，和相交于點，當，時，請你求出的值（用含、的代數式表示）.【答案】（1），，;（2）見解析;（3）ab.【解析】【分析】（1）可利用三角形相似、平行四邊形的有關性質求得結果；（2）體現了“一般”的情形，雖然不再是一個確定的數值，但可類比問題（1）的解題思路去猜想、證明的值；問題（3）的解答體現了“類比”與“轉化”的情形，可過點E作交BD的延長線于點H，將（1）、（2）問中的解題方法推廣轉化到梯形中.【詳解】解（1）解：（1）如圖1：∵EH//AB.∴△ABF∽△EHF又∵E為BC中點，∴EH為△BCG的中位線，∴CG=2EH.故答案為，，=.，，=.（2）猜想：.證明：如圖1：∵EH//AB.∴△ABF∽△EHF∴，則.∵，∴.∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG，∴，∴，∴.（3）如下圖所示，過點作交的延長線于點，則有EH∥AB∥CD，.∵，∴△BCD∽△BEH.∴，∴.又∵，∴.∵，∴△ABF∽△EHF.∴.3．（黑龍江齊齊哈爾市2019屆九年級中考一?？荚嚁祵W試題）綜合與實踐旋轉是圖形變化的方法之一，借助旋轉知識可以解決線段長、角的大小、取值范圍、判斷三角形形狀等問題，在實際生活中也有著十分重要的地位和作用.問題背景一塊等邊三角形建筑材料內一點到三角形三個頂點的距離滿足一定條件時，我們可以用所學的知識幫助工人師傅在沒有刻度尺的情況下求出等邊三角形的邊長.數學建模如圖，等邊三角形內有一點，已知，，.問題解決（1）如圖，將△ABP繞點順時針旋轉60°得到△CBP′，連接，易證∠BP′P=__°，△____為等邊三角形，____，___°.（2）點H為直線BP′上的一個動點，則的最小值為______；（3）求長；拓展延伸己知：點在正方形內，點在平面內，，.（4）在圖中，連接PA、PC、PQ、QC，，若點、、在一條直線上，則____.（5）若，連接，則______≤PD＜______；連接，當、、三點在同一條直線上時，△BDQ的面積為______.【答案】（1）60°，△BP′P，∠CP′P，150；（2）；（3）；（4）；（5），，【解析】【分析】（1）根據旋轉的性質可得BP=BP′，∠PBP′=60°，AP=P′C，∠APB=∠BP′C，即可求出∠BP′P=60°，即可得△BP′P是等邊三角形，根據勾股定理的逆定理可得∠CP′P=90°，即可得∠CP′B的度數，根據旋轉性質可得∠APB=∠CP′B，即可得∠APB的度數；（2）過C作CH⊥BP′，交BP′的延長線于H，根據含30°角的直角三角形的性質求出CH的值即為最小值；（3）利用勾股定理可求出HP′的長，即可得BH的長，利用勾股定理求出BC的長進而可得答案；（4）由等腰直角三角形的性質可得∠BPQ=∠BQP=45°，PQ=，根據兩銳角互余的關系可得∠CBQ=∠ABP，利用SAS可證明△ABP≌△CBQ，進而可得PA=CQ，∠BQC=∠BPA=135°，可得∠PQC=90°，利用勾股定理可求出PC的長，根據余弦的定義即可得答案；（5）連接BD，以B為圓心，1為半徑畫圓，交BD于P，交AB、BC于E、F，連接DF，則OP為最小值，根據正方形的性質及勾股定理求出DP、DF的值即可；當D、P、Q在同一條直線上時，過B作BM⊥DQ，根據等腰直角三角形的性質可得BM=QM=PQ，利用勾股定理可求出DM的長，進而可得DQ的長，利用三角形面積公式即可得答案.【詳解】（1）∵△ABP繞點順時針旋轉60°得到△CBP′，∴BP=BP′=4，∠PBP′=60°，AP=P′C=2，∠APB=∠BP′C，∴∠BP′P=60°，∴△BP′P是等邊三角形，∴PP′=BP=4，∵PC2=(2)2=28，PP′2=42=16，P′C2=(2)2=12，∴PC2=PP′2+P′C2，∴△PP′C是直角三角形，∠CP′P=90°，∴∠BP′C=∠CP′P+∠BP′P=90°+60°=150°，∴∠APB=∠BP′C=150°，故答案為60°，△BP′P，∠CP′P，150°（2）過C作CH⊥BP′，交BP′的延長線于H，∵∠BP′C=150°，∴∠P′HC=180°-150°=30°，∴CH=P′C=，故答案為（3）∵CH=，P′C=PA=2，∴P′H==3，∴BC===2，∴AB=BC=2.（4）∵BP=BQ=1，BQ⊥BP，∴∠BPQ=∠BQP=45°，PQ=，∴∠APB=135°，∵∠ABP+∠PBC=90°，∠CBQ+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠CBQ，∵AB=BC，∠ABP=∠CBQ，BQ=BP，∴△ABP≌△CBQ，∴QC=AP=，∠BQC=∠APB=135°，∴∠PQC=90°，∴PC==，∴cos∠PCQ===，故答案為（5）如圖，連接BD，以B為圓心，1為半徑畫圓，交BD于P，交AB、BC于E、F，連接DF，∵BP=1，∴點P在以B為圓心，1為半徑的圓上，∴DP為最小值，∵AB=AD=2，∴BD=2，∴DP=BD-BP=2-1，∵BF=1，CD=2，∴DF=，∵點P正方形內，∴2-1≤DP<，如圖，當D、P、Q在同一條直線上時，過B作BM⊥DQ，∵BQ=BP=1，BQ⊥BP，∴BM=QM=PQ=，∴DM==，∴DQ=DM+QM=+=，∴S△BDQ=××=，故答案為2-1，，【點睛】本題考查等邊三角形的性質，旋轉的性質，正方形的性質及銳角三角函數的定義，正確得出旋轉角、對應邊，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題關鍵.4.（2020年山西省3月中考數學模擬試題）綜合與實踐：折紙中的數學問題背景在數學活動課上，老師首先將平行四邊形紙片ABCD按如圖①所示方式折疊，使點C與點A重合，點D落到D′處，折痕為EF．這時同學們很快證得：△AEF是等腰三角形．接下來各學習小組也動手操作起來，請你解決他們提出的問題．操作發現(1)“爭先”小組將矩形紙片ABCD按上述方式折疊，如圖②，發現重疊部分△AEF恰好是等邊三角形，求矩形ABCD的長、寬之比是多少？實踐探究(2)“勵志”小組將矩形紙片ABCD沿EF折疊，如圖③，使B點落在AD邊上的B′處；沿B′G折疊，使D點落在D′處，且B′D′過F點．試探究四邊形EFGB′是什么特殊四邊形？(3)再探究：在圖③中連接BB′，試判斷并證明△BB′G的形狀．【答案】（1）矩形ABCD的長、寬之比為；（2）四邊形EFGB′是平行四邊形，理由詳見解析；（3）△BB′G為直角三角形，理由詳見解析．【解析】【分析】（1）矩形的長、寬之比應是．設，根據等邊三角形的性質可得出，根據矩形的性質可得出，，再根據特殊角的三角函數值即可得出，，結合邊與邊之間的關系即可得出；（2）四邊形是平行四邊形．根據矩形的性質可得出，從而得出相等的內錯角“，，”，再由翻折的性質可得出，，由此即可得出，從而找出，由兩組對邊互相平行即可證出四邊形是平行四邊形；（3）△為直角三角形．連接交于點，根據平行線的性質可得出，由翻折的性質可得出，從而可得出，再由等腰三角形的性質可得出，根據平行線的性質即可得出，由此即可證出△為直角三角形．【詳解】解：（1）矩形的長、寬之比應是．證明：設，等邊三角形，，四邊形為矩形，，．在中，，，，，，，，．（2）四邊形是平行四邊形．證明：四邊形為矩形，，，，．由翻折的特性可知：，，，，又，，，又，四邊形是平行四邊形．（3）△為直角三角形．證明：連接交于點，如圖所示．，，，，．，△為等腰三角形，，．，，△為直角三角形．【點睛】本題考查了翻折變換、平行線的性質、平行四邊形的判定定理、特殊角的三角函數值、矩形的性質以及等腰三角形的性質，解題的關鍵是：（1）求出的值；（2）證出；（3）證出．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據平行線的性質找出相等的角是關鍵．5．（2020年湖南省長沙市長郡濱江中學中考數學3月模擬試題）類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整.原題：如圖1，在平行四邊形中，點是邊上的中點，點是線段上一點，的延長線交射線于點，若，求的值.（1）嘗試探究在圖1中，過點作交于點，則和的數量關系是______，和的數量關系是______，的值是______；（2）類比延伸如圖2，在原題條件下，當時，參照問題（1）的研究結論，請你猜想的值（用含的代數式表示），并證明你的猜想；（3）拓展遷移如圖3，梯形中，，點是延長線上一點，和相交于點，當，時，請你求出的值（用含、的代數式表示）.【答案】（1），，;（2）見解析;（3）ab.【解析】【分析】（1）可利用三角形相似、平行四邊形的有關性質求得結果；（2）體現了“一般”的情形，雖然不再是一個確定的數值，但可類比問題（1）的解題思路去猜想、證明的值；問題（3）的解答體現了“類比”與“轉化”的情形，可過點E作交BD的延長線于點H，將（1）、（2）問中的解題方法推廣轉化到梯形中.【詳解】解（1）解：（1）如圖1：∵EH//AB.∴△ABF∽△EHF又∵E為BC中點，∴EH為△BCG的中位線，∴CG=2EH.故答案為，，=.，，=.（2）猜想：.證明：如圖1：∵EH//AB.∴△ABF∽△EHF∴，則.∵，∴.∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG，∴，∴，∴.（3）如下圖所示，過點作交的延長線于點，則有EH∥AB∥CD，.∵，∴△BCD∽△BEH.∴，∴.又∵，∴.∵，∴△ABF∽△EHF.∴.【點睛】本題按照“嘗試——類比——拓展”的思路設計題目，體現了知識的產生過程、科學論證和遷移價值.試題主要考查平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，在解答過程中，必須通過觀察、分析和比較，從特殊到一般去猜想、發現規律與證明結論.6．（安徽省首年地區2019-2020學中考第一次模擬預測數學試題）在中，，是邊的中線，于，連結，點在射線上（與，不重合）（1）如果①如圖1，②如圖2，點在線段上，連結，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連結，補全圖2猜想、之間的數量關系，并證明你的結論；（2）如圖3，若點在線段的延長線上，且，連結，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連結，請直接寫出、、三者的數量關系（不需證明）【答案】（1）①60；②．理由見解析；（2），理由見解析.【解析】（1）①根據直角三角形斜邊中線的性質，結合，只要證明是等邊三角形即可；②根據全等三角形的判定推出，根據全等的性質得出，（2）如圖2，求出，，求出，，根據全等三角形的判定得出，求出，推出，解直角三角形求出即可．【詳解】解：（1）①∵，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為60.②如圖1，結論：．理由如下：∵，是的中點，，，∴，，∴，，，∴，∵，∴，∵線段繞點逆時針旋轉得到線段，∴，在和中，∴，∴．（2）結論：．理由：∵，是的中點，，，∴，，∴，，，∴，∵，∴，∵線段繞點逆時針旋轉得到線段，∴，在和中，∴，∴，而，∴，在中，，∴，∴，∴，即．7.（2019-2020學年河南省中考模擬數學試題）（1）問題發現如圖1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，點D時線段AB上一動點，連接BE．填空：①的值為；②∠DBE的度數為．（2）類比探究如圖2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，點D是線段AB上一動點，連接BE．請判斷的值及∠DBE的度數，并說明理由；（3）拓展延伸如圖3，在（2）的條件下，將點D改為直線AB上一動點，其余條件不變，取線段DE的中點M，連接BM、CM，若AC＝2，則當△CBM是直角三角形時，線段BE的長是多少？請直接寫出答案．【答案】（1）①1；②90°；（2）＝，∠DBE＝90°，理由見解析；（3）BE的長為3+或3﹣【解析】【分析】（1）由直角三角形的性質可得∠ABC＝45°，可得∠DBE＝90°，通過證明△ACD∽△BCE，可得的值；（2）通過證明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE＝∠CAD＝60°，即可求∠DBE的度數；（3）分點D在線段AB上和BA延長線上兩種情況討論，由直角三角形的性質可證CM＝BM＝，即可求DE＝2，由相似三角形的性質可得∠ABE＝90°，BE＝AD，由勾股定理可求BE的長．【詳解】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，∴AC＝BC，∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，且∠CAB＝∠CDE＝45°，∴△ACD∽△BCE，∴，故答案為1，90°；（2），∠DBE＝90°；理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝tan30°＝＝，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE，∴，∴，且∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°；（3）若點D在線段AB上，如圖，由（2）知：＝，∠ABE＝90°，∴BE＝AD，∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°，∴AB＝4，BC＝2，∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且點M是DE中點，∴CM＝BM＝DE，且△CBM是直角三角形，∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝，∴DE＝2，∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝+1，∴BE＝AD＝3+；若點D在線段BA延長線上，如圖，同理可得：DE＝2，BE＝AD，∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1，∴BE＝AD＝3﹣，綜上所述：BE的長為3+或3﹣.【點睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質，直角三角形的性質等，證明△ACD∽△BCE是本題的關鍵．8.（2019年河南省實驗中學中考三模數學試卷）如圖1，在中，，，點、分別在邊、上，，連結，點、、分別為、、的中點.（1）觀察猜想圖1中，線段與的數量關系是_______，位置關系是_______；（2）探究證明把繞點逆時針方向旋轉到圖2的位置，連結、、，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點在平面內自由旋轉，若，，請直接寫出面積的最大值.【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，理由詳見解析；（3）面積的最大值為.【解析】【分析】（1）利用三角形的中位線得出PM＝CE，PN＝BD，進而判斷出BD＝CE，即可得出結論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出結論；（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出結論；（3）先判斷出MN最大時，△PMN面積最大，進而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM＋AN，最后用面積公式即可得出結論．解答：點評：【詳解】解：（1）∵點P，N是BC，CD的中點，∴PN∥BD，PN＝BD，∵點P，M是CD，DE的中點，∴PM∥CE，PM＝CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋轉知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形中位線得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PM