考點(diǎn)01空間向量及其運(yùn)算

一、單選題

1.已知向量1=(—i,i,o),5=(04,一1),則無5=

A.0B.1

C.-1D.2

【試題來源】福建省泉州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試(B)

【答案】B

【解析】因?yàn)橄蛄糠?(—1,1,0),5=(0,1,-1),

所以無5=(-I)x0+lxl+0x(-1)=1,故選B.

2.己知汗=(1,5,—2),5=(加,2,機(jī)+1),若，則機(jī)的值為

A.-6B.-8

C.6D.8

【試題來源】福建省泉州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試(B)

【答案】D

【分析】由萬_L方，可得無B=0,則有機(jī)+10-2(加+1)=0,從而可求出機(jī)的值,

【解析】因?yàn)镸_L5,所以無5=0,因?yàn)樯?(1,5,-2),5=(加,2,加+1),

所以加+10-2(m+1)=0,解得機(jī)=8,故選D.

3.己知向量1=(2,-1,3),5=(-4,〃?,〃)，且萬〃5，則〃?+"=

A.-4B.-6

C.4D.6

【試題來源】河北省2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期11月期中

【答案】A

【分析】由向量平行關(guān)系可求得加，〃的值，進(jìn)而求得結(jié)果.

m=(-1)x(-2)=2

【解析】Vy=-2,m-^-n=-4.故選A.

-.b=-2d'n=3x(-2)=-6

4.點(diǎn)尸(3,4,—5)關(guān)于xOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

A.(3,4,5)B.(3,-4,-5)

C.(-3,4,-5)D.(-3,-4,5)

【試題來源】山東省新高考測(cè)評(píng)聯(lián)盟2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二10月聯(lián)考

【答案】B

［解析】因?yàn)辄c(diǎn)(x,y,z)關(guān)于xOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,-y,z),

所以點(diǎn)尸(3,4,—5)關(guān)于xOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,T,—5)，故選B.

5.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8(2,1,6)關(guān)于XOZ平面的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為

A.(2,-1,6)B.(—2,—1,-6)

C.(—2,1,-6)D.(—2,—1,6)

【試題來源】四川省綿陽南山中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試(文)

【答案】A

【解析】由在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x,y,z)關(guān)于XOZ平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-y,z),

則點(diǎn)3(2,1,6)關(guān)于XOZ平面的對(duì)稱點(diǎn)為C(2,-l,6),故選A.

6.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(l,0,l),點(diǎn)仇—?jiǎng)t|AB|=

A.V6B.V2

C.6D.2

【試題來源】天津市靜海區(qū)瀛海學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期11月月考

【答案】A

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A(l,0,1),點(diǎn)以0,1,-1),

所以|A用=J(l—0)2+(0—1)2+(1+1尸=屈,故選A.

7.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(-2,1,9)關(guān)于次軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是

A.(—2,1,9)B.(—2,—1,-9)

C.(2,-1,9)D.(2,1,-9)

【試題來源】山西省運(yùn)城市景勝中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中(理)

【答案】B

【分析】利用一個(gè)點(diǎn)關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是只有橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾?/p>

數(shù)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

【解析】一個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是只有橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，

點(diǎn)（-2,1,9）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,-1,-9）.故選B.

8.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x,y,z）,那么下列說法正確的是

①點(diǎn)P關(guān)于無軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是R（x,—y,z）；②點(diǎn)p關(guān)于yOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

￡（x,—y,-z）；③點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P（x,y,—z）；④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)的坐標(biāo)是4（-X,-y,-z）.

A.@@B.①④

C.②④D.③④

【試題來源】安徽省蚌埠市懷遠(yuǎn)縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考（文）

【答案】D

［分析］根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷①的正誤，利用點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的特

點(diǎn)可判斷②③的正誤，利用點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷④的正誤.

【解析】空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（x,y,z）.

對(duì)于①，點(diǎn)尸關(guān)于％軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是耳（蒼一又—z）,①錯(cuò)誤：

對(duì)于②，點(diǎn)尸關(guān)于yOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是Q（-x,y,z）,②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是6（x,?—z）,③正確；

對(duì)于④，點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是A（一乂一%—z）,④正確；

綜上知，正確的命題序號(hào)是③④.故選D.

9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（-3,2,-1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

A.（3,-2,-1）B.（-3,2,1）

C.（3,2,-1）D.（3,-2,1）

【試題來源】?jī)?nèi)蒙古寧城蒙古族中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二聯(lián)考（理）

【答案】D

【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(—3,2,-1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,—2,1),故

選D.

10.在空間直角坐標(biāo)系O一型中，點(diǎn)M(無，y,2020)(xWR,yWR)構(gòu)成的集合是

A.一條直線B.平行于平面X。)，的平面

C.兩條直線D.平行于平面xOz的平面

【試題來源】湖北省武漢外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中

【答案】B

【解析】由題意知，點(diǎn)M在平面X0V的上方，且距平面X0V始終為2020,故選B.

11.已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(l,2,3)關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)為8(—1,2,3),點(diǎn)8關(guān)于工

軸對(duì)稱點(diǎn)為c,則點(diǎn)為忸q=

A.2VsB.6

C.4D.2V13

【試題來源】吉林省白城市濟(jì)南市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試(理)

【答案】D

【分析】求出點(diǎn)3、。的坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得忸C|.

【解析】點(diǎn)4(1,2,3)關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)為B(-1,2,3),點(diǎn)3關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為

C(-l,-2,-3),所以忸C|=1+1『+(2+2『+(3+3『=底=2713,故選D.

12.已知點(diǎn)A(l,2,3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A，則4坐標(biāo)為

A.(1,2,-3)B.(-1,-2,-3)

C.(-1,-2,3)D.(1,-2⑶

【試題來源】四川省江油市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期期中考試(文)

【答案】B

【解析】點(diǎn)4(1,2,3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A(-1,—2,-3).故選B.

13.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8（2,1,6）關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為C，則A（-3,4,0）與。的距

離為

A.2A/43B.2>/21

C.D.9

【試題來源】四川省綿陽南山中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試（理）

【答案】C

【解析】由題意點(diǎn)3（2,1,6）關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為C（2,—l,6）,

所以|=J（_3-+（4+1-+（0—6）2=麻.故選C.

14.空間兩點(diǎn)A（2,5,4）,B（—2,3,5）之間的距離等于

A.720B.721

C.719D.V22

【試題來源】福建省永安市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試

【答案】B

【解析】因?yàn)锳（2,5,4）,B（—2,3,5）,

所以I=卜2-2）2+（3_51+（5-4）2=?,故選B.

15.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（1,3,-1）和點(diǎn)Q（2,1,2）之間的距離為

A.76B.714

C.722D.回

【試題來源】安徽省宿州市十三所重點(diǎn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考（文）

【答案】B

【解析】|尸。|=7（1-2）2+（3-1）2+（-1-2）2=E.故選B.

16.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（l,3,-1）和點(diǎn)3（2,1,一2）之間的距離為

A.2B.yfs

c.V6D.714

【試題來源】安徽省宿州市十三所重點(diǎn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考(理)

【答案】C

【解析】|AB|=7(1-2)2+(3-1)2+(-1+2)2=V1+4+1=76.故選C.

17.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(l,3,—5)關(guān)于yOz面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

A.(1,3,5)B.(1,-3,5)

C.(—1,3,—5)D.(-1,-3,5)

【試題來源】湖北省武漢市十五中學(xué)聯(lián)考體2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考

【答案】C

【解析】?jī)牲c(diǎn)關(guān)于yOz面對(duì)稱，則縱坐標(biāo)相同，豎坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，

所以點(diǎn)尸(1,3,—5)關(guān)于yOz面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(一1,3,-5).故選C.

18.已知向量則下列向量與G垂直的是

A.(0,0,1)B,(-2,1,0)

C.(1,1,2)D.(4,-1,1)

【試題來源】北京市第四中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題

【答案】B

【解析】(1,2,-1>(0,0,1)=-1#0,(1,2,-1)-(-2,1,0)=-2+2+0=0,

(1,2,—1>(1,1,2)=1+2—2=1工0,(1,2,-1)-(4,-1,1)=4-2-1=1^0,

只有B滿足垂直.故選B.

19.已知四面體ABCZ),萬彳=￡,DB^b>反=2,點(diǎn)"在棱D4上，兩=3甌

N為BC中點(diǎn),則麗=

jir-i

B.—an—h-\—o

422

311

C.——a+—rb+—c

422

【試題來源】2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元測(cè)試定心卷（人教版選修2-1）

【答案】C

【解析】連接力M如圖所示，四面體48C。中，麗=[,DB=b'友=2,

____3—.

點(diǎn)加在棱D4上，且方而'=3通？，所以DM=-D4,

-.1—.—.

又N為8c中點(diǎn)，所以。N=—（O3+DC）；

2

.一_31311

所以麗=麗+麗=一二區(qū)+-（而+成）=一一a+-b+-c.故選C.

42422

20.已知四面體ABC。的每條棱長都等于2,點(diǎn)、E,F,G分別是棱A8,AD,。。的

中點(diǎn)，則G后?訐等于

B.-1

D.-4

【試題來源】遼寧省六校協(xié)作體2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考

【答案】A

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形即可求出3后.不的值.

【解析】取8。的中點(diǎn)何，連接AM、CM,如圖所示：

四面體A8CO的每條棱長都等于2,點(diǎn)E,F,G分別是樓A3,AD,OC的中點(diǎn)，

所以GF=LAC=1,AMJ.8。，且加皿M，所以6M_L平面4MC；

2

又ACu平面ACM.所以8。LAC,又EFHBD,所以ERJ.AC；

乂AC//FG,所以/G，￡尸，

所以瓦?麗=（存+在）?百=麗2+而?存=『+（）=1，故選A.

21.若向量2=（1,/M）,辦=（2,-1,一1）,且￡與B夾角的余弦值為交，則九等于

6

A.—5/2B.V2

C.一6或垃D.2

【試題來源】安徽省阜陽市潁上縣第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中（理）

【答案】A

【解析】?.?向量方=（1,41）,石=（2,-1,一2）,[與B夾角的余弦值為立，

6

a-b—Z嚕，解得；1=一加（4=夜舍去）.故選A.

加WV2+22V9

22.己知A（l,3,-1）,3（4,0,-1）,C（2,3,-2）,則衣與血的夾角為

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【試題來源】河北省尚義縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中

【答案】C

UlU____

【分析】由題意，求得A8=（3,—3,0）,AC=（l,0,-l）,結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

umi____

【解析】由題意，可得A8=（3,—3,0）,AC=（l,0,-l）.

UUUUUIU

uiinuuwABAC331

設(shè)則cos6=uuB||tium

AB\-\AC79+9x71+1-35/2x72-21

因?yàn)?e[0°,180°],所以6=60°.故選C.

23.已知M=37+2，一乙b=l-j+2k（其中7,1,及是兩兩垂直的單位向量），則5萬與拓

的數(shù)量積等于

A.-15B.—5

C.-3D.-1

【試題來源】河北省尚義縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中

【答案】A

【分析】由向量7,工工是兩兩垂直的單位向量，得到2=（3,2,—1）,力=（1,一1,2）,結(jié)合向

量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.

【解析】由題意，向量7,工耳是兩兩垂直的單位向量，

設(shè)2=（3,2,—1）,b=（1,-1,2）,則5：=（15,10,-5）,3^=（3,-3,6）,

所以（5。）?（3〃）=15x3-10x3-5x6=-15.故選A.

24.設(shè)平面a的法向量為（1,—2,2）,平面夕的法向量為（2,以,4）,若a〃6，則2+〃=

A.2B.4

C.-2D.-4

【試題來源】福建省泉州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試（B）

【答案】C

【分析】由兩平面平行，得法向量平行，由此求得可得結(jié)論.

【解析】因?yàn)閍//萬,所以（1,—2,2）//（2,44）,

]—2A

所以二萬=“解得八2,>4所以九+〃=-2.故選C.

25.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PAL平面ABCD,M,N分別為PC，

上的點(diǎn)，且兩=2旗，麗=而，NM=xAB+yAD+zAP,則x+y+z=

2

A.B.—

33

5

C.1D.-

6

【試題來源】福建省泉州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試（B）

【答案】B

---2―?—1—

【分析】由兩=2碇，麗=而，得PM=-PC,PN=-PD,然后利用向量的加減

32

法法則把向量雨用向量而，通,而表示出來，可求出x,y,z的值，從而可得答案

---2----------1—

【解析】因?yàn)槎?2就，而=而，所以PM=^PC,PN=^PD,

32

_________2___i___2______1______

所以兩=兩_麗=§1一,麗=-（AC-AP）--（AD-AP）

=-（AB+AD-AP）--AD+-AP=-AB+-AD--AP,

322366

__._._.__2112

因?yàn)镹M=xAB+>AD+zAP，所以％=一,y=—,z=—,所以x+y+z=—,故選B.

3663

26.在平行六面體ABC。—A4GA中，M為AC與8。的交點(diǎn)，若麗=￡,A^=b,

A^A=c,則下列向量中與麗■相等的向量是

1-1w-1-1丁一

A.---aH—b+cB.—a+—b+c

2222

1-I-17-

C.—ci---Z?+cD.——a——b+c

2222

【試題來源】寧夏長慶高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試（理）

【答案】A

【解析】如圖，由空間向量的線性運(yùn)算可得

麗=麗+麗=6+^麗=不+;麗人+g（麗/一隔〉

1\11一

=c+—1/7-5）=——a+—b+c,故選A.

2V722

27.平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）438-A4GA過頂點(diǎn)A的三條棱的夾角

JTJT式

分別是----所有的棱長都為2,則A&的長等于

A.3&B.2垂）

U275-72D.2,5+0

【試題來源】重慶市楊家坪中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期半期

【答案】D

【分析】首先根據(jù)空間向量表示碼=血+而+羽'，再利用數(shù)量積公式計(jì)算模.

【解析】?.?宿=礪+而+麗，

AD+=,AB+AD+A4,+2（ABAD+AB-AA,+AD-AA^

p?______________

4x3+22x2xg+2x2x—+2x2x-=也（）+4夜=245+—?故選D-

28.在四面體A8CD中，E是棱BC的中點(diǎn)，且荏=xXZ5+y麗+z反，則

,1

A.x+y+z-\B.xyz--

C.x=y+zD.x*2=j；2+z2

【試題來源】河北省2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期11月期中

【答案】C

【解析】因?yàn)槔?而+詼=而+!（而+阮），

2

所以x=l,y=z=—,則》=丫+2.故選c.

-2

二、多選題

1.若a=（一1,/1,一2）,5=（2,3與萬的夾角為120。，則X的值為

A.17B.-17

C.-1D.1

【試題來源】山東省棗莊市第八中學(xué)（東校區(qū)）2020-2021學(xué)年高二9月月考

【答案】AC

【分析】求出7人以及同,用代入夾角公式cos<￡,B>=磊i即可求出譏

【解析】由已知3啰=_2—；l_2=_X_4,

|t/|=J1+/V+4=,5+矛，M=,4+1+1=A/6,

-2-4_1

cos120。=解得2=17或/l=-l,故選AC.

,5+/l',y/62

2.已知向量;=(1,1,0),則與々共線的單位向量"=

A.----,-----,0B.(0,1,0)

I22,

(垃垃、,、

C.—>—,0D.(-1,-1,0)

(>

【試題來源】山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考

【答案】AC

【解析】對(duì)A,存在實(shí)數(shù)九=—夜>使(1」,0)=一夜——,——-,0,且

(22,

yp[~=，正確；對(duì)B，不存在實(shí)數(shù)4,使(1/,0)=颯,。)，錯(cuò)

誤;對(duì)c,存在實(shí)數(shù)丸=逝，使(1,1。=&，且]=y』+-1=

(22J122J32

正確；對(duì)D,|(-1,-1,0)|=，由=正，不是單位向量，錯(cuò)誤.故選AC.

3.給出下列命題，其中正確的有

A.空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底

B.已知向量力區(qū)，則萬、5與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底

c.A,B,M,N是空間四點(diǎn)，若麗，BM，麗不能構(gòu)成空間的一組基底，則A,

B,M,N共面

D.已知伍，瓦巴是空間向量的一組基底，若沅=7+機(jī)則口及無｝也是空間一組基底

【試題來源】福建省南平市高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試

【答案】BCD

【解析】選項(xiàng)A中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)空

間基底，所以A不正確；選項(xiàng)B中，根據(jù)空間基底的概念，可得B正確；

選項(xiàng)C中，由阮麗，的不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，可得麗，麗，的共面，又由

麗，麗，麗過相同點(diǎn)8,可得A8,四點(diǎn)共面，所以C正確；

選項(xiàng)D中：由｛1,瓦3是空間的一個(gè)基底，則基向量乙方與向量身=汗+1一定不共面，所

以可以構(gòu)成空間另一個(gè)基底，所以D正確.故選BCD.

4.在平行六面體ABC。—AB'C。'中，與向量而相等的向量有

A-CDB.褥7

C.DVD.BC

【試題來源】福建省泉州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試（B）

【答案】BC

【解析】如圖,在平行六面體ABC。-AB'C'。'中，與向量而相等的向量有RF，玩7,

DC，故選BC.

5.已知向量&=（1」,0）,則與Z共線的單位向量@=

B.(0,1,0)

D.(1,1,1)

【試題來源】山東省棗莊市第八中學(xué)（東校區(qū)）2020-2021學(xué)年高二9月月考

【答案】AC

一.a

【分析】根據(jù)向量數(shù)乘的概念，可知單位向量的求法，e=±曰，即可求出.

【解析】設(shè)與￡共線的單位向量為&所以Z=因而忖=,4=囚，得到;1=±問.

故工=±卷，而同=J1工/，所以"=（立，立,0）或工=（_交,_1,（））.故選AC.

|?|112222

6.設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸在正方體A6CD—A4G。的對(duì)角線8。上，記印=2用當(dāng)NAPC為鈍

角時(shí)，則實(shí)數(shù)可能的取值是

1

C.-D.1

3

【試題來源】山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考

【答案】AB

【分析】首先以。為原點(diǎn)，DA，DC,分別為無，，，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

根據(jù)題意得到西.定＜0，再解不等式即可得到答案.

【解析】以。為原點(diǎn)，DA.DC,分別為X,5，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示：設(shè)正方體的邊長為1,則A（l,0,0）,3（1,1,0）,C（0,l,0）,D,（0,0,1）,

取=(1,0,—1),麻=(0,1,—1),印=(1,1,一1),所以*=4印=(4,4,_幾).

因?yàn)槲?西+麗=+=

因?yàn)镹APC為鈍角，所以再.定＜0,

(―X)(1—X)+(―4)(1—4)+(X—1)=(X—1)(3丸―1)＜(),解得故選AB.

7.給出下列命題，其中錯(cuò)誤的有

A.若空間向量加、〃、p＞滿足/“〃〃,，2〃p,WOmlIn

B.若空間向量〃？、〃、p＞滿足m=〃，n-p＞則/〃=p

C.在空間中，一個(gè)基底就是一個(gè)基向量

D.任意三個(gè)不共線的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底

【試題來源】福建省南平市第八中學(xué)2020—2021學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測(cè)

【答案】ACD

【分析】取方=0可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用相等向量的概念可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用空

間向量基底的概念可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.

【解析】對(duì)丁A選項(xiàng)，若3=。,對(duì)于非零向量而、p,則加〃〃，山/p，但肩與［不一

定共線，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)于空間向量而、n'p'滿足五=萬，〃=〃，則加=〃，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，在空間中，任意不共面的三個(gè)非零向量為空間向量的一個(gè)基底，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，在空間中，任意不共線的三個(gè)向量可以共面，不一定可構(gòu)成空間向量的一個(gè)

基底，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ACD.

8.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是

A.兩條不重合直線4，4的方向向量分別是訝=(2,3,—1),5=(-2,-3,1),則“4

B.直線/的方向向量汗=(1,一1,2),平面。的法向量是日=(6,4,—1),貝”La

C.兩個(gè)不同的平面a,6的法向量分別是汗=(2,2,-1),v=(-3,4,2),則

D.直線/的方向向量M=(O,3,O),平面a的法向量是日=(0,—5,0),則〃/a

【試題來源】山東省肥城市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,兩條不重合直線36的方向向量分別是4=(2,3,-1),5=(—2,—3,1),

且％=所以"/人,選項(xiàng)正確；

對(duì)于B,直線/的方向向量互=(1,一1,2),平面a的法向量是方=(6,4,—1)且

a.?=lx6-lx4+2x(-1)=01所以〃/a或/ua，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C,兩個(gè)不同的平面a,夕的法向量分別是五=(2,2,—1),。=(一3,4,2),且

i7-v=2x(-3)+2x4-lx2=0,所以aJ_4，選項(xiàng)C正確：

對(duì)于D,直線/的方向向量M=(0,3,0),平面a的法向量是萬=(0,—5,0)且反=-1a,

所以/_La,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.

9.在三棱錐P-ABC中，A(0,l,0),6(3,1,0),C(0,3,0),P(0,l,2),則

A.而=(3,0,-2)B.AB=(-3,0,0)

C.PBLACD.|PB|=V13

【試題來源】河北省2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期11月期中

【答案】ACD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：PB=(3,1,0)-(0,1,2)=(3,0,-2),故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：=(3,1,0)-(0,1,0)=(3,0,0),故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：AC=(0,3,0)-(0,1,0)=(0,2,0),則萬.配'=3x0+0x2—2x0=0，所

以而J.ze，故選項(xiàng)c正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)槔葇=42+(-2)2=屈，故選項(xiàng)D正確，故選ACD.

10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x,y,z),則下列說法不正確的是

A.點(diǎn)P關(guān)于X軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,-y,z)

B.點(diǎn)p關(guān)于y°z平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(％,一＞,-z)

C.點(diǎn)p關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(x,-y,z)

D.點(diǎn)p關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是

【試題來源】山東省濟(jì)南市商河縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考

【答案】ABC

【解析】A.點(diǎn)尸(x,y,z)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是(x,-y,-z),所以A不正確；

B.點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于*z平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(—x,y,z),所以B不正確；

C.點(diǎn)尸關(guān)于丫軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(一x,y,—z),所以C不正確；

D.點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(―x,—y,—z),所以D正確.故選ABC

11.設(shè)是空間的一組基底，則下列結(jié)論正確的是

A.a,b?c可以為任意向量

B.對(duì)空間任一向量,，存在唯一有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使萬=xa+yh+zc

C若b1.C9則。_Lc

D.{Z+2分石+24"+2"可以作為構(gòu)成空間的一組基底

【試題來源】山東省新高考測(cè)評(píng)聯(lián)盟2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二10月聯(lián)考

【答案】BD

【解析】4選項(xiàng)：B，2為不共線的非零向量；

B選項(xiàng)：由向量的基本定理知，空間任一向量方，存在唯一有序?qū)崝?shù)組(％,y,z),使

p=xa+yb+zaC選項(xiàng)：〃_Lb，則a,c不一定垂直；

。選項(xiàng)：,+2B,B+2U+2￡}中三個(gè)向量間無法找到實(shí)數(shù)X使得它們之間有肩=4方的等

式形式成立，即可以構(gòu)成基底.故選BD

【名師點(diǎn)睛】本題考查了向量的基本定理，理解作為基底向量的非零、不共線性質(zhì)，應(yīng)用向

量垂直、共線判定正誤.

12.在四棱錐S-A8c。中，底面ABC。是邊長為1的正方形，SA=SB=SC=SD=2,

則以下結(jié)論正確的有

A.SA+SB+SC+SD=0B.SA+SB-SC-SD=6

c.SA-SB+SC-SD=6D.SASB=SC-SD

【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考

【答案】CD

【解析】如圖，連接AC和8。交于0,連接S。，由題可知0A,OB,0S兩兩垂直，則以

OA,OB,OS為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

???底面ABCD是邊長為1的正方形，SA=SB=SC=SD=2,

OA=OB=OC=OD=—，

2

—,O,O1D[O,-—,0|,5

則4--,0,0,B0,——,0,C0,0,

22

.?京「綽鬲。，也，一閆

(22)[22]

：.SA+SB+SC+SD=(Q,Q,-2^y故A錯(cuò)誤;

SA+SB-SC-SD=(V2,V2,0),故B錯(cuò)誤；

即麗?豆=克?麗，故D正確.故選CD.

13.已知空間三點(diǎn)A(—1,0,1),8(—1,2,2),C(—3,0,4),則下列說法正確的是

UL1UUUIU

A.ABAC=3B.AB//AC

C.Ieel=273D.cos<AB,AC>=—

?165

【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考

【答案】AC

【解析】VA(-l,0,1),B(-l,2,2),C(-3,0,4),

AB=(0,2,1),AC=(-2,0,3),5C=(-2,-2,2),

vABAC=()x(-2)+2x()+lx3=3,故A正確;

?.?不存在實(shí)數(shù)幾，使得通=4祝，故而,xe不共線，故B錯(cuò)誤;

|^C|=^(-2)2+(-2)2+22=2G，故C正確；

cos<ABAC>~ABAC_33A/65

CO、<力，ZU>—IjIJ—I-/故D錯(cuò)誤.故選AC.

|AB|-|AC|V5XV13

14.設(shè)幾何體ABC。—A4GA是棱長為a的正方體，AC與4。相交于點(diǎn)。，則下列結(jié)

論正確的是

A.-AC-cTB.AB-A^C-V2<7"

C.a)AB^=-a2D.ABAp=^a2

【試題來源】遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試

【答案】ACD

【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(a,0,0),B(a9a9O),C(0,a,0),￡>(0,0,0),A(a，°M)，4(a,。,a),O

—?_____UUU—?

所以A尸二(0,a,AC=(-aM,0)，AB=(0,a,0)，A^C=(-a,a,-a)，

CD=(0,-a,0),而=(0,a,a),而=(一*§,一，所以艱.配=/,A對(duì);

而?而=/,B錯(cuò)；CD.ABI=-a2<C對(duì)；ABA^O^^a2,對(duì).故選ACD.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)幾何體

的結(jié)構(gòu)特征建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解是解答的關(guān)

鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、填空題

1.在空間直角坐標(biāo)系O-孫z中，給出以下結(jié)論：

①點(diǎn)A（-2,1,3）關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,—1,3）；

②點(diǎn)8（4,-2,5）關(guān)于），0z平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（4,2,-5）；

③若麗=（0,-1,a），①=（1,6,0），則〈麗，麗〉=彳

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【試題來源】河北省2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期11月期中

【答案】①③

【解析】點(diǎn)A（—2,1,3）關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-1,3）,故①正確;

點(diǎn)3（4,—2,5）關(guān)于），Oz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（—4,一2,5）,故②錯(cuò)誤;

翁T則〈碗子24

若麗=(0,-1,行)，①=(1,6,0)，則cos<AB,6

T

故③正確.故答案為①③.

2.空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A（4,l,2）,3（2,3,4）,則陷=

【試題來源】山西省太原市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)

【答案】2G

【解析】???A（4,l,2）,3（2,3,4）,陷=J（4-2『+（1一3『+（2-4）2=2收

故答案為2G.

3.若￡=（2,—3,1）,石=（2,0,3）,"=（0,2,2）,則70+。=.

【試題來源】湖南省衡陽市第二十六中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中

【答案】3

【解析】由五=(2,0,3),"=(0,2,2),所以分+"=(2,2,5),

又1=(2,-3,1),所以7,+,=2x2+2x(_3)+5xl=3.故答案為3.

4.已知直二面角。一/一力的棱/上有A,3兩個(gè)點(diǎn)，ACua,ACLl,BDu0,BD上I,

若A3=4,AC=3,BD=5,則CO的長是.

【試題來源】遼寧省六校協(xié)作體2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考

【答案】50

【分析】首先函=E+通+而，然后利用向量數(shù)量積表示向量的模，計(jì)算CO的長度.

【解析】CD=CA+AB+BD^

\2/?2?2■2/:,?...?\

.?.|CO|=^(CA+AB+BD)7cA+AB+BD+2(CAAB+CABD+ABBDj

由條件可知回_L而，CA±BD，AB1BD'

,-.|CD|=^(CA+AB+BD)2=卮+AB2+BD2=J9+16+25=572.

故答案為5夜.

【名師點(diǎn)睛】本題考查空間幾何中長度的計(jì)算，本題的關(guān)鍵點(diǎn)是分析出瓦，而，C4±BD.

ABA_BD＜從而利用數(shù)量積表示|麗I，比較容易計(jì)算結(jié)果.

5.如圖，長方體ABC。-A4GA中，45=43=2,A4,=1,以A為球心，A4,為半

徑作球面，點(diǎn)尸為球面上一動(dòng)點(diǎn)，則|PCj的最小值為

【試題來源】福建省永安市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試

【答案】2

【解析】連接AG，設(shè)AG與球面交于點(diǎn)P,此時(shí)|PCj取得最小值,

|AC,|2=|AC|2+|CC,|2=\ABf+\ADf+|CC,|2=22+22+1=9,

所以|PC|的最小值為14Glf=3-1=2,故答案為2.

【名師點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出AC；與球面的交點(diǎn)為點(diǎn)尸時(shí)，|尸G|最小，最小值為

|ACj減半徑.

6.已知點(diǎn)8是點(diǎn)43,4.5）在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則|麗卜.

【試題來源】北京市豐臺(tái)區(qū)2020-2021學(xué)年度高二上學(xué)期期中考試

【答案】5

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)B是點(diǎn)43,4,5）在坐標(biāo)平面出內(nèi)的正射影，

所以B在坐標(biāo)平面。孫匕橫標(biāo)和縱標(biāo)與A相同，而豎標(biāo)為0,

所以B的坐標(biāo)是（3,4,0）,所以|0邳=后不=5,故答案為5.

7.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（l,2,3）關(guān)系yOz平面對(duì)稱的坐標(biāo)為M,關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)

坐標(biāo)為N,則\MN\=.

【試題來源】四川省涼山彝族自治州冕寧中學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中（理）

【答案】2日

【分析】首先求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)空間直角坐標(biāo)系上任意兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得;

【解析】點(diǎn)P。，2,3）關(guān)系yOz平面對(duì)稱的坐標(biāo)為M,

關(guān)于左軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為N,則M（-l,2,3）,N（l,-2,—3）,

所以|MN|=^（-1-1）2+[2-（-2）]2+[3-（-3）]2=2屈，故答案為2舊-

8.己知空間向量4=（1,-2,3）,則向量&在坐標(biāo)平面。町上的投影向量是.

【試題來源】天津市第五十五中學(xué)2020-2021學(xué)年高二（上）第一次月考

【答案】（1.-2.0）

【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)表示，寫出結(jié)論即可.

【解析】根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法知，空間中點(diǎn)41,-2,3）在坐標(biāo)平面3上的投

影坐標(biāo)，豎坐標(biāo)為0,橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不變.所以空間向量1=（1，-2.