第十二講牛吃草問題【知識梳理】知識點：一、定義偉大的科學家牛頓著的《普通算術》一書中有這樣一道題：“12頭牛4周吃牧草格爾，同樣的牧草，21頭牛9周吃10格爾。問24格爾牧草多少牛吃18周吃完。”（格爾——牧場面積單位），以后人們稱這類問題為“牛頓問題”的牛吃草問題。二、特點在“牛吃草”問題中，因為草每天都在生長，草的數量在不斷變化，也就是說這類問題的工作總量是不固定的，一直在均勻變化。【典例剖析】例1牧場上長滿牧草，每天都勻速生長。這片牧場可供27頭牛吃6天或23頭牛吃9天。問可供21頭牛吃幾天？【分析】這片牧場上的牧草的數量每天在變化。解題的關鍵應找到不變量——即原來的牧草數量。因為總草量可以分成兩部分：原有的草與新長出的草。新長出的草雖然在變，但應注意到它是勻速生長的，因而這片牧場每天新長出飛草的數量也是不變的。【解】假設1頭牛每天吃1份草27頭牛6天吃草：27×6×1=162(份)（原有草+6天長的新草）23頭牛9天吃草：23×9×1=207（份）（原有草+9天長的新草）3天長的新草：207-162=45（份）每天就長新草45÷3=15（份）原有草：162-6×15=72（份）設可供21頭牛吃天，則有72+15=21解得：=12答：可供21頭牛吃12天。反饋練習1、一片牧場可供24頭牛吃6周，20頭牛吃10周，這片牧場可供18頭牛吃幾周？例2因天氣寒冷，牧場上的草不僅不生長，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃10天?【分析】與例1不同的是，不但沒有新長出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類似的方法求出每天減少的草量和原來的草的總量【解】假設1頭牛每天吃1份草33頭牛5天吃：33×1×5=165（份）（原有草-5天減少的草）24頭牛6天吃：24×1×6=144（份）（原有草-6天減少的草）1天減少的草：165-144=21（份）原有草：165+5×21=270（份）設可供頭牛吃10天，則：270-10×21=10解得=6答：供6頭牛吃10天.反饋練習2、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？例3自動扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走25級臺階，小麗每分鐘走20級臺階，結果小明用了5分鐘，小麗用了6分鐘分別到達樓上。該扶梯共有多少級臺階？【分析】在這道題中，“總的草量”變成了“扶梯的臺階總級數”，“草”變成了“臺階”，“牛”變成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”問題來解答。【解】假設樓梯每分鐘上個臺階，（相當于每天長的新草）5×25+5=6×20+6解得：=5扶梯總數：5×25+5×5=150答：扶梯共有150個臺階。反饋練習3、自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？例4一條船有一個漏洞，水以均勻的速度漏進船內，待發現時船艙內已進了一些水。如果用12人舀水，3小時舀完。如果只有5個人舀水，要10小時才能舀完。現在要想在2小時舀完，需要多少人？【分析】典型的“牛吃草”問題，找出“牛”和“草”是解題的關鍵【解】設1個人1小時舀1份水12人3小時舀的水：12×1×3=36份5人10小時舀的水：5×1×10=50份則，7小時進水14份，每小時進水2份原有水：36-3×2=30份則需要：（30+2×7）÷2=22人答：需要22人。反饋練習4、－只船發現漏水時，已進了－些水，現在水勻速進入船內，如果lO人舀水，3小時可舀完；5人舀水8小時可舀完．如果要求2小時舀完，要安排多少人舀水?例5有一牧場長滿牧草，牧草每天勻速生長，這個牧場可供17頭牛吃30天，可供19頭牛吃24天，現在有若干頭牛在吃草，6天后，4頭牛死亡，余下的牛吃了2天將草吃完，問原來有牛多少頭？【分析】“牛吃草”問題的特點是隨時間的增長，所研究的量也等量地增加。解答時，要抓住這個關鍵問題，也就是要求出原來的量和每天增加的量各是多少。【解】假設1頭牛1天吃1份草17頭牛30天吃的草：17×1×30=510（份）原來草+30天長的新草19頭牛24天吃的草：191×1×24=456（份）原來草+24天長的新草所以6天長的新草：510-456=54(份)每天張新草：54÷6=9（份）原來的草：510-9×30=240（份）設共有頭牛，6天后還有（-4）頭，活著的牛吃了8天，共吃：（-4）×8死去的4頭牛吃了6天，共吃：4×6則有：（-4）×8+4×6=240+8×9解得：=40答：原來有牛40頭.反饋練習5、－片草地如果9頭牛吃。12天吃完所有的草，如果8頭牛吃，16天吃完所有的草．現在開始只有4頭牛，從第7天起又增加了．若干頭牛，再6天吃完所有草．問增加了多少頭牛?【過關練習】1、一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，那么可供18頭牛吃幾天？2、一個牧場上長滿青草，牛在吃草而草又在不斷生長，這片青草可供58頭牛吃7周，或供48頭牛吃9周，那么，可供多少頭牛吃5周？3、由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以固定的速度在減少，經計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供多少頭牛吃8天？4、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而在勻速地在減少，已知某塊地上的草可供21頭牛吃10天，或可供30頭牛吃8天，照此計算，可供45頭牛吃多少天？5、用2臺同樣的抽水機抽干一個有泉水的水庫需40小時，用3臺這樣的抽水機抽干這個水庫需24小時，試問，若要8小時抽干這個水庫，需要這樣的抽水機多少臺？(泉水均勻地向水庫滲水)6、一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么可供21頭牛吃多少周？7、有一片牧場，24頭牛6天可以將草吃完，或21頭牛8天可以吃完。要使牧草永遠吃不完，至多可以放牧幾頭牛？8、禁毒圖片展8點開門，但很早便有人排隊等候入場。從第一個觀眾到達時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多。如果開3個入場口，8點9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，8點5分就沒有人排隊。第一個觀眾到達時距離8點還有多少分鐘？【提高練習】1、自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓，已知男孩子每分鐘走16級樓梯，女孩子每分鐘走12級樓梯，結果男孩子用5分鐘到達樓上，女孩子用6分鐘到達樓上，該扶梯共有多少級？2、某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那么需多少分鐘？3、有一片草地，每天都在勻速生長，這片草可供16頭牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？4、某水庫建有10個泄洪閘，現在水庫的水位已經超過安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加。為了防洪，需開閘泄洪。假設每個閘門泄洪的速度相同，經測算，若打開一個泄洪閘，30小時水位降到安全線，若打開兩個泄洪閘，10小時水位降到安全線。現在抗洪指揮部要求在5.5小時內使水位降到安全線，問：至少要同時打開幾個閘門？5、某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運走，如用9輛汽車，12小時可以把它們運完，如果用8輛汽車，16小時可以把它們運完。如果開始只用3輛汽車，10小時后增加若干輛，再過4小時也能運完，那么后來增加了多少輛汽車？6、天山草場，假設每天草都均勻生長。這片草場