第1頁（共1頁）2021-2022學年福建省泉州實驗中學九年級（上）期中數學試卷一．選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）已知關于x的二次函數y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1的圖象經過原點，則m為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．02．（4分）如圖，在3×3的網格中，A，B均為格點，以AB的長為半徑作弧，圖中的點C是該弧與格線的交點（）A． B． C． D．3．（4分）如圖，線段CD兩個端點的坐標分別為C（﹣1，﹣2），D（﹣2，﹣1），以原點O為位似中心，得到線段AB，則線段AB的中點E的坐標為（）A．（3，3） B．（） C．（2，4） D．（4，2）4．（4分）三角函數sin40°、cos16°、tan50°之間的大小關系是（）A．tan50°＞cosl6°＞sin40° B．cosl6°＞sin40°＞tan50° C．cosl6°＞tan50°＞sin40° D．tan50°＞sin40°＞cosl65．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，則下列結論中不一定成立的是（）A．∠A＝∠D B．＝ C．∠ACB＝90° D．OE＝BE6．（4分）二次函數y＝a（x﹣2）2+c與一次函數y＝cx+a在同一坐標系中的大致圖象是（）A． B． C． D．7．（4分）在一次夏令營活動中，小亮從位于A點的營地出發，沿北偏東60°方向走了5m到達B地，測得A地在C地南偏西30°方向，則A、C兩地的距離為（）A．km B．km C．5km D．5km8．（4分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，連接BD．若，則∠ADC的度數是（）A．125° B．130° C．135° D．140°9．（4分）已知關于x的二次函數y＝x2﹣（2a﹣1）x+2，當﹣1≤x≤3時，則實數a的取值范圍是（）A．a B．a C．a＞ D．a≥﹣10．（4分）拋物線y＝x2+bx+c（其中b，c是常數）過點A（2，6），且拋物線的對稱軸與線段y＝2x﹣1（1≤x≤3），則c的值不可能是（）A．5 B．7 C．10 D．14二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．（4分）一斜坡的坡度i＝1：，則它的坡角為．12．（4分）拋物線y＝x2﹣4x+8向上平移1個單位長度，再向左平移3個單位長度后，得到的拋物線頂點坐標是．13．（4分）在《九章算術》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，問徑幾何？”小輝同學根據原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，鋸道AB＝1尺（1尺＝10寸），則該圓材的直徑為寸．14．（4分）在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，則BC＝．（結果保留根號）15．（4分）如圖，人工噴泉有一個豎直的噴水槍AB，噴水口A距地面2m，如果水流的最高點P到噴水槍AB所在直線的距離為2m，且到地面的距離為3m．16．（4分）二次函數y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象過A（﹣3，y1）B（﹣1，y2）、C（2，y3）、D（4，y4）四個點，①若y1y2＞0，則一定有y3y4＞0：②若y1y4＞0，則可能y2y3＞0；③若y2y4＜0，則一定有y1y3＜0；④若為y3y4＜0，則可能y1y2＜0：以上說法中正確有.（填序號）三.解答題（共9小題，共86分）17．（8分）計算2sin45°﹣tan60°+（﹣）﹣1+|l﹣2cos30°|18．（8分）如圖，△ABC在邊長為1的網格中，三個頂點的坐標分別為A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（1）△A1B1C1與△ABC關于x軸成軸對稱，請畫出△A1B1C1，并寫出C1點的坐標；（2）以點B1為位似中心，將△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面積之比為1：4，畫出△A2B1C2，使它與△A1B1C1在位似中心同側，并寫出C2點的坐標．（3）連接AC2、CC2，判斷△ACC2的形狀并直接寫出結論．19．（8分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．（1）求A，B，C三點圖成的三角形面積；（2）點P是第一象限拋物線上的一個動點，并且∠POB的正切值為，求點P的坐標．20．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC，過A，B，D三點的圓交BC邊于點E．（1）求證：E是BC的中點；（2）若BC＝2CD，求證：∠BCD＝2∠ABD．21．（8分）如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小馬同學在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53°，已知山坡AB的坡比i＝1：，AB＝10米（測角器的高度忽略不計，參考數據：，tan53°（1）求點B距水平地面AE的高度．（2）若市政規定廣告牌的高度不得大于7米，請問該公司的廣告牌是否符合要求，并說明理由．22．（10分）問題呈現：阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MC和MG∵M是的中點，∴MA＝MC……請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實踐應用：（1）如圖3，已知△ABC內接于⊙O，BC＞AB＞AC的中點，依據阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為；（2）如圖4，已知等腰△ABC內接于⊙O，AB＝AC上一點，連接DB，AE⊥CD于點E，△BCD的周長為4，BC＝2，請求出AC的長．23．（10分）2020年體育中考，增設了考生進入考點需進行體溫檢測的要求．防疫部門為了解學生錯峰進入考點進行體溫檢測的情況，調查了一所學校某天上午考生進入考點的累計人數y（人）（分鐘）的變化情況，數據如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）時間x（分鐘）01234567899～15人數y（人）0170320450560650720770800810810（1）根據這15分鐘內考生進入考點的累計人數與時間的變化規律，利用初中所學函數知識求出y與x之間的函數關系式；（2）如果考生一進考點就開始測量體溫，體溫檢測點有2個，每個檢測點每分鐘檢測20人，求排隊人數最多時有多少人？全部考生都完成體溫檢測需要多少時間？（3）在（2）的條件下，如果要在12分鐘內讓全部考生完成體溫檢測24．（12分）如圖①，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，．現將△DEC繞著點C旋轉一定角度后，再平移線段BA得到線段EF（點B與點E對應），DF．（1）如圖②，當點D在線段BC的延長線上時，求線段CF的長；（2）當點E與點A在直線BC的同側時，探究DA與DF的數量關系和位置關系，并說明理由；（3）連接BF，求線段BF長的最大值．25．（14分）已知拋物線C：y＝ax2（a＞0）與直線l：y＝x+b．（1）如圖1，若拋物線C與直線l只有一個交點A．①求點A的坐標；（用含a的代數式表示）②連接點A與點F（0，）交拋物線C于另一點B，求的值．（2）如圖2，若拋物線C與直線l交于D，E兩點（點D在點E左側），OE，當∠DOE＝30°時，求出該定值；若不是

2021-2022學年福建省泉州實驗中學九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）已知關于x的二次函數y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1的圖象經過原點，則m為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【分析】將原點坐標代入解析式求出m的值，再由m+1≠0求解．【解答】解：將（0，0）代入y＝（m+5）x2﹣x+m2﹣6得0＝m2﹣2，解得m＝1或m＝﹣1，∵m+3≠0，∴m≠﹣1，故選：A．【點評】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數與方程的關系．2．（4分）如圖，在3×3的網格中，A，B均為格點，以AB的長為半徑作弧，圖中的點C是該弧與格線的交點（）A． B． C． D．【分析】如圖作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，sin∠BAC＝＝即可解決問題；【解答】解：如圖作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，sin∠BAC＝＝，故選：B．【點評】本題考查解直角三角形、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．3．（4分）如圖，線段CD兩個端點的坐標分別為C（﹣1，﹣2），D（﹣2，﹣1），以原點O為位似中心，得到線段AB，則線段AB的中點E的坐標為（）A．（3，3） B．（） C．（2，4） D．（4，2）【分析】根據位似變換的性質、結合圖形求出點A、點B的坐標，根據線段中點的性質解答．【解答】解：∵點C的坐標為（﹣1，﹣2），﹣5），在第一象限內將線段CD擴大為原來的2倍，∴點A的坐標為（2，6），2），∵點E是線段AB的中點，∴點E的坐標為（，），即（3，故選：A．【點評】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．4．（4分）三角函數sin40°、cos16°、tan50°之間的大小關系是（）A．tan50°＞cosl6°＞sin40° B．cosl6°＞sin40°＞tan50° C．cosl6°＞tan50°＞sin40° D．tan50°＞sin40°＞cosl6【分析】根據銳角三角函數的增減性可得答案．【解答】解：∵cos16°＝sin74°，且正弦隨角度的增大而增大，∴sin40°＜cos16°，又∵tan50°＞tan45°＝1，∴tan50°＞cos16°＞sin40°，故選：A．【點評】本題主要考查了銳角三角函數的增減性，明確正弦和正切隨著角度的增大而增大是解題的關鍵．5．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，則下列結論中不一定成立的是（）A．∠A＝∠D B．＝ C．∠ACB＝90° D．OE＝BE【分析】根據圓周角定理和圓心角、弧、弦之間的關系定理進行判斷即可．【解答】解：由圓周角定理得，∠A＝∠D成立；∵∠A＝∠D，∴成立；∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°正確，C不合題意；∵CD⊥AB且交于點E，∴當BC＝OC時，OE＝BE，當BC≠OC時，OE≠BE，D符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理的應用，掌握同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角是90°是解題的關鍵．6．（4分）二次函數y＝a（x﹣2）2+c與一次函數y＝cx+a在同一坐標系中的大致圖象是（）A． B． C． D．【分析】可先根據一次函數的圖象判斷a、b的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符，判斷正誤．【解答】解：A、一次函數y＝cx+a的圖象與y軸交于負半軸，與二次函數y＝a（x﹣2）2+c的圖象開口向上，即a＞5相矛盾；B、一次函數y＝cx+a的圖象過一、二，a＞0，二次函數y＝a（x﹣2）6+c的圖象開口向上，頂點為（2，a＞0，故B正確；C、二次函數y＝a（x﹣8）2+c的對稱軸x＝2，在y軸右側；D、一次函數y＝cx+a的圖象過一、二，c＞82+c的頂點（2，c）在第四象限，故D錯誤；故選：B．【點評】本題考查了二次函數的圖象，一次函數的圖象，應該熟記一次函數y＝kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．7．（4分）在一次夏令營活動中，小亮從位于A點的營地出發，沿北偏東60°方向走了5m到達B地，測得A地在C地南偏西30°方向，則A、C兩地的距離為（）A．km B．km C．5km D．5km【分析】根據已知作圖，由已知可得到△ABC是直角三角形，從而根據三角函數即可求得AC的長．【解答】解：如圖．由題意可知，∠2＝30°，∠3＝30°．∵EF∥PQ，∴∠5＝∠EAB＝60°，又∵∠2＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣30°＝90°．∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4＝∠2＝30°．∴∠ACB＝∠3+∠3＝30°+30°＝60°．∴AC＝＝＝（km）．故A、C兩地的距離為．故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，解答此類題目的關鍵是根據題意畫出圖形利用解直角三角形的相關知識解答．8．（4分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，連接BD．若，則∠ADC的度數是（）A．125° B．130° C．135° D．140°【分析】連接OA，OB，OC，根據圓周角定理得出∠BOC＝100°，再根據得到∠AOC，從而得到∠ABC，最后利用圓內接四邊形的性質得到結果．【解答】解：連接OA，OB，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故選：B．【點評】本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關系，圓內接四邊形的性質，關鍵在于畫出半徑，構造圓心角．9．（4分）已知關于x的二次函數y＝x2﹣（2a﹣1）x+2，當﹣1≤x≤3時，則實數a的取值范圍是（）A．a B．a C．a＞ D．a≥﹣【分析】分別將x＝3，x＝﹣1代入解析式求解．【解答】解：將x＝3代入y＝x2﹣（4a﹣1）x+2得y＝14﹣7a，將x＝﹣1代入y＝x2﹣（6a﹣1）x+2得y＝5a+2，由題意得14﹣6a≥2a+2，解得a≤．故選：B．【點評】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數與方程的關系．10．（4分）拋物線y＝x2+bx+c（其中b，c是常數）過點A（2，6），且拋物線的對稱軸與線段y＝2x﹣1（1≤x≤3），則c的值不可能是（）A．5 B．7 C．10 D．14【分析】由點A坐標可得到b、c的關系式，再由對稱軸的范圍可求得b的范圍，代入可求得c的取值范圍．【解答】解：∵拋物線y＝x2+bx+c（其中b，c是常數）過點A（2，∴8＝4+2b+c，即c＝4﹣2b，∵對稱軸為x＝﹣，且拋物線的對稱軸與線段y＝3x﹣1（1≤x≤8）有交點，∴1≤﹣≤3，∴4≤﹣2b≤12，∴7≤2﹣2b≤14，即6≤c≤14，故選：A．【點評】本題主要考查二次函數的性質，由對稱軸與x軸的交點求得b的取值范圍是解題的關鍵．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．（4分）一斜坡的坡度i＝1：，則它的坡角為30°．【分析】根據一斜坡的坡度i＝1：，可以求得坡角的度數．【解答】解：設坡角為α，∵一斜坡的坡度i＝1：，∴tanα＝，∴α＝30°，故答案為：30°．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，解題的關鍵是明確坡角的正切值等于坡度．12．（4分）拋物線y＝x2﹣4x+8向上平移1個單位長度，再向左平移3個單位長度后，得到的拋物線頂點坐標是（﹣1，5）．【分析】利用平移規律左加右減，上加下減即可求得平移后的頂點坐標．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+2，∴拋物線y＝x2﹣4x+5向上平移1個單位長度，再向左平移3個單位長度后7+4+1，即y＝（x+6）2+5；得到頂點坐標為（﹣8，5）．故答案為：（﹣1，4）．【點評】本題主要考查了函數圖象的平移，拋物線的頂點坐標的求法，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．并用規律求函數解析式．13．（4分）在《九章算術》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，問徑幾何？”小輝同學根據原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，鋸道AB＝1尺（1尺＝10寸），則該圓材的直徑為26寸．【分析】設⊙O的半徑為r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，由勾股定理得出方程r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．【解答】解：設⊙O的半徑為r．在Rt△ADO中，AD＝5，OA＝r，由勾股定理得：r2＝82+（r﹣1）3，解得：r＝13，∴⊙O的直徑為26寸，故答案為：26．【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．14．（4分）在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，則BC＝3+．（結果保留根號）【分析】過點A作AD⊥BC，垂足為D，先利用三角形內角和定理求出∠C＝60°，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數的定義求出AD，BD的長，再在Rt△ADC中，利用銳角三角函數的定義求出CD的長，最后進行計算即可解答．【解答】解：如圖：過點A作AD⊥BC，垂足為D，∵∠BAC＝75°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝60°，在Rt△ABD中，AB＝3，∴BD＝AB?cos45°＝6×＝3，AD＝AB?sin45°＝3×＝2，在Rt△ADC中，CD＝＝＝，∴BC＝BD+CD＝3+，故答案為：8+．【點評】本題考查了解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．15．（4分）如圖，人工噴泉有一個豎直的噴水槍AB，噴水口A距地面2m，如果水流的最高點P到噴水槍AB所在直線的距離為2m，且到地面的距離為3m（2+2）m．【分析】建立以BC所在直線為x軸、AB所在直線為y軸的直角坐標系，根據頂點P（2，3）設其解析式為y＝a（x﹣2）2+3，把A（0，2）代入求得a的值，據此可得其函數解析式，再求得y＝0時x的值可得答案．【解答】解：如圖，以BC所在直線為x軸，由題意知，拋物線的頂點P的坐標為（2、點A（0，設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+3，將點A（3，2）代入，解得：a＝﹣，則拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣8）2+3，當y＝6時，有﹣5+3＝0，解得：x＝2﹣2（舍）或x＝2，∴BC＝（2+2）米，答：水流的落地點C到水槍底部B的距離為（2+2）m．故答案為：（2+2）m．【點評】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是結合題意建立合適的平面直角坐標系，將實際問題轉化為二次函數問題求解．16．（4分）二次函數y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象過A（﹣3，y1）B（﹣1，y2）、C（2，y3）、D（4，y4）四個點，①若y1y2＞0，則一定有y3y4＞0：②若y1y4＞0，則可能y2y3＞0；③若y2y4＜0，則一定有y1y3＜0；④若為y3y4＜0，則可能y1y2＜0：以上說法中正確有③.（填序號）【分析】觀察圖象可知，y1＞y4＞y2＞y3，再結合題目一一判斷即可．【解答】解：如圖，由題意對稱軸為直線x＝1，觀察圖象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y8y2＞0，則y2y4＞0或y7y4＜0，故①不符合題意，若y6y4＞0，則y2y3＞0或y5y3＜0，故②不符合題意，若y5y4＜0，則y2y3＜0，故③符合題意，若y5y4＜0，則y6y2＜0或y7y2＞0，故④不符合題意，故答案為：③．【點評】本題考查二次函數的性質，二次函數圖象上的點的坐標特征，解題的關鍵是學會利用圖象法解決問題．三.解答題（共9小題，共86分）17．（8分）計算2sin45°﹣tan60°+（﹣）﹣1+|l﹣2cos30°|【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【解答】解：2sin45°﹣tan60°+（﹣）﹣1+|l﹣2cos30°|＝2×﹣+（﹣|＝﹣﹣+|1﹣|＝﹣﹣+﹣1＝﹣1．【點評】本題考查了實數的運算，負整數指數冪，特殊角的三角函數值，準確熟練地化簡各式是解題的關鍵．18．（8分）如圖，△ABC在邊長為1的網格中，三個頂點的坐標分別為A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（1）△A1B1C1與△ABC關于x軸成軸對稱，請畫出△A1B1C1，并寫出C1點的坐標；（2）以點B1為位似中心，將△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面積之比為1：4，畫出△A2B1C2，使它與△A1B1C1在位似中心同側，并寫出C2點的坐標．（3）連接AC2、CC2，判斷△ACC2的形狀并直接寫出結論．【分析】（1）根據軸對稱的性質作圖即可，由圖可得答案．（2）由面積之比為1：4，可得相似比為1：2，再根據位似的性質作圖即可，由圖可得答案．（3）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可得出結論．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C5即為所求．點C1的坐標為（2，﹣5）．（2）如圖，△A2B1C3即為所求．點C2的坐標為（1，2）．（3）∵AC2＝17+22＝6，＝72+27＝5，＝12+22＝10，∴＝AC2+，AC＝CC2，∴△ACC2為等腰直角三角形．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、位似變換、勾股定理及勾股定理的逆定理，熟練掌握軸對稱和位似的性質以及勾股定理和勾股定理的逆定理是解答本題的關鍵．19．（8分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．（1）求A，B，C三點圖成的三角形面積；（2）點P是第一象限拋物線上的一個動點，并且∠POB的正切值為，求點P的坐標．【分析】（1）把y＝0代入二次函數中，即可求出A，B兩點的坐標，把x＝0代入二次函數中，即可求出點C的坐標；（2）過點作PM⊥x軸，垂足為M，設點P的橫坐標為m，代入二次函數中表示出點P的縱坐標，利用∠POB的正切值為，即可求出點P的坐標．【解答】解：（1）把y＝0代入二次函數y＝﹣x2+6x+3中，得到﹣x2+2x+3＝0，解得：x2＝﹣1，x2＝2，∴點A的坐標為（﹣1，0），6），把x＝0代入二次函數y＝﹣x2+4x+3中，得：y＝3，∴點C的坐標為（6，3）．∴△ABC的面積為．答：A，B，C三點圖成的三角形面積是2．（2）過點作PM⊥x軸，垂足為M，設點P的坐標為（m，﹣m2+2m+3），∵∠POB的正切值為，∴，∴，解得：或m2＝﹣2，∵點P在第一象限，∴m＝，∴點P的坐標為．答：點P的坐標為．【點評】本題主要考查二次函數的圖象性質，解題的關鍵是用方程思想，設點P的坐標，再利用三角函數列出等量關系．20．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC，過A，B，D三點的圓交BC邊于點E．（1）求證：E是BC的中點；（2）若BC＝2CD，求證：∠BCD＝2∠ABD．【分析】（1）利用圓周角定理得到∠AEB＝90°，利用等腰三角形三線合一即可解答；（2）利用已知條件求得CE＝CD，然后利用圓周角定理即可解答．【解答】證明：（1）連接AE，如圖，∵∠ADB＝90°，∴AB為直徑，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴AE是△ABC的中線，∴E是BC的中點，（2）連接DE，如圖，∵E是BC的中點，∴BC＝2CE，∵BC＝2CD，∴CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED，∵四邊形ADEB是圓的內接四邊形，∴∠BAD+∠BED＝180°．∵∠CED+∠BED＝180°，∴∠BAD＝∠CED，∵∠ABD＝90°﹣∠BAD，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣5∠BAD，∴∠BCD＝2∠ABD．【點評】本題考查了圓周角定理，利用圓周角定理找到角與邊之間的關系式關鍵．21．（8分）如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小馬同學在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53°，已知山坡AB的坡比i＝1：，AB＝10米（測角器的高度忽略不計，參考數據：，tan53°（1）求點B距水平地面AE的高度．（2）若市政規定廣告牌的高度不得大于7米，請問該公司的廣告牌是否符合要求，并說明理由．【分析】（1）根據坡度的意義，求出∠BAM＝30°，再利用直角三角形的邊角關系求出答案；（2）在Rt△ABM中求出AM，進而求出ME，即BN，再在Rt△BCN中，得出CN＝BN，在Rt△ADE中由邊角關系求出DE，最終求出CD，取近似值比較得出答案．【解答】解：（1）如圖，過點B作BM⊥AE，垂足分別為M、N，由題意可知，∠CBN＝45°，i＝1：，AE＝21米．∵i＝8：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米），即點B距水平地面AE的高度為5米；（2）在Rt△ABM中，∴BM＝AB＝5（米）＝NE，AM＝AB＝5，∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝ME＝（2+21）米，∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，∴DE＝AE?tan53°≈21×＝28（米），∴CD＝CE﹣DE＝6+26﹣28＝5﹣2≈6.5（米）＜7米，∴符合要求，【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，直角三角形的應用﹣坡角坡度問題，掌握直角三角形的邊角關系是解決問題的前提，理解坡度的意義是解決問題的關鍵．22．（10分）問題呈現：阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MC和MG∵M是的中點，∴MA＝MC……請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實踐應用：（1）如圖3，已知△ABC內接于⊙O，BC＞AB＞AC的中點，依據阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為BE＝CE+AC；（2）如圖4，已知等腰△ABC內接于⊙O，AB＝AC上一點，連接DB，AE⊥CD于點E，△BCD的周長為4，BC＝2，請求出AC的長．【分析】（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性質得出BD＝GD，即可得出答案；（2）直接根據阿基米德折弦定理得出結論；（3）根據阿基米德折弦定理得出CE＝BD+DE，進而求出CE，最后用勾股定理即可得出結論．【解答】（1）證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MC和MG．∵M是的中點，∴MA＝MC．在△MBA和△MGC中，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD；（2）根據阿基米德折弦定理得，BE＝CE+AC，答案為：BE＝CE+AC；（3）根據阿基米德折弦定理得，CE＝BD+DE，∵△BCD的周長為4+2，∴BD+CD+BC＝4+2，∴BD+DE+CE+BC＝2CE+BC＝2+2，∵BC＝5，∴CE＝2，在Rt△ACE中，∠ACD＝45°，∴AC＝CE＝4．【點評】此題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質，理解和應用阿基米德折弦定理解題關鍵．23．（10分）2020年體育中考，增設了考生進入考點需進行體溫檢測的要求．防疫部門為了解學生錯峰進入考點進行體溫檢測的情況，調查了一所學校某天上午考生進入考點的累計人數y（人）（分鐘）的變化情況，數據如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）時間x（分鐘）01234567899～15人數y（人）0170320450560650720770800810810（1）根據這15分鐘內考生進入考點的累計人數與時間的變化規律，利用初中所學函數知識求出y與x之間的函數關系式；（2）如果考生一進考點就開始測量體溫，體溫檢測點有2個，每個檢測點每分鐘檢測20人，求排隊人數最多時有多少人？全部考生都完成體溫檢測需要多少時間？（3）在（2）的條件下，如果要在12分鐘內讓全部考生完成體溫檢測【分析】（1）分兩種情況討論，利用待定系數法可求解析式；（2）設第x分鐘時的排隊人數為w人，由二次函數的性質和一次函數的性質可求當x＝7時，w的最大值＝490，當9＜x≤15時，210≤w＜450，可得排隊人數最多時是490人，由全部考生都完成體溫檢測時間×每分鐘檢測的人數＝總人數，可求解；（3）設從一開始就應該增加m個檢測點，由“在12分鐘內讓全部考生完成體溫檢測”，列出不等式，可求解．【解答】解：（1）由表格中數據的變化趨勢可知，①當0≤x≤9時，y是x的二次函數，∵當x＝6時，y＝0，∴二次函數的關系式可設為：y＝ax2+bx，由題意可得：，解得：，∴二次函數關系式為：y＝﹣10x2+180x，②當8＜x≤15時，y＝810，∴y與x之間的函數關系式為：y＝；（2）設第x分鐘時的排隊人數為w人，由題意可得：w＝y﹣40x＝，①當5≤x≤9時，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣4）2+490，∴當x＝7時，w的最大值＝490，②當3＜x≤15時，w＝810﹣40x，∴210≤w＜450，∴排隊人數最多時是490人，要全部考生都完成體溫檢測，根據題意得：810﹣40x＝0，解得：x＝20.25，答：排隊人數最多時有490人，全部考生都完成體溫檢測需要20.25分鐘；（3）設從一開始就應該增加m個檢測點，由題意得：12×20（m+2）≥810，解得m≥，∵m是整數，∴m≥的最小整數是2，∴一開始就應該至少增加4個檢測點．【點評】本題考查了二次函數的應用，二次函數的性質，一次函數的性質，一元一次不等式的應用，理解題意，求出y與x之間的函數關系式是本題的關鍵．24．（12分）如圖①，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，．現將△DEC繞著點C旋轉一定角度后，再平移線段BA得到線段EF（點B與點E對應），DF．（1）如圖②，當點D在線段BC的延長線上時，求線段CF的長；（2）當點E與點A在直線BC的同側時，探究DA與DF的數量關系和位置關系，并說明理由；（3）連接BF，求線段BF長的最大值．【分析】（1）首先推知C，E，F三點共線，然后根據平移的性質和線段間的和差關系求解即可；（2）延長FE交AC于點K，通過SAS證明△ACD≌△FED，得AD＝DF，∠ADC＝∠FDE，從而∠ADF＝∠CDE＝90°，即AD⊥DF；（3）連接AE交BF于點P，由四邊形ABEF為平行四邊形，得P為AE的中點．取AC中點Q，連接PQ，BQ，在△BPQ中，求出PQ和BQ的長，可得BP的最大值，從而解決問題．【解答】解：（1）如圖②，∵∠BAC＝∠EDC＝90°，AB＝AC＝4，，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DCE＝∠DEC＝45°，CE＝7，∴CE∥AB．∵EF由BA平移得到，∴EF∥BA，EF＝BA＝4，∴C，E，F三點共線，∴CF＝CE+EF＝2+6＝6；（2）DA＝DF，AD⊥DF如圖①，延長FE交AC于點K，∵EF∥BA，∴∠AKE＝∠BAC＝90°，∴∠EKC＝180°﹣∠AKE＝90