模糊優化方法模糊優化

多年來，傳統的優化技術和方法已經成功地應用于求解一類具有清晰定義結構/行為的系統，也稱作硬系統，一般地，稱此類優化方法為確定型或清晰型優化方法。清晰型優化方法的基礎是清晰的數字模型和精確的數學方法。然而，由于社會、生產和經濟系統中常常存在多種形式的非確定性信息，如事件發生的隨機性、數據的非精確性、語言的含糊性等，這些非確定性信息常來源于多種方式，其中包括測量誤差；缺乏足夠的歷史統計數據；缺乏足夠可用的理論來描述和支持；知識表達的方式；人類的主觀性判斷或偏好等。這些形式的非確定性可以歸類為兩種類型，即隨機非確定性和模糊性。模糊優化隨機非確定性的特點是信息的描述是清晰的，但非確定性以頻率形式表現出來，這類系統常稱為隨機系統，常用基于概率理論的隨機優化方法求解。實際上，決策者并不認為通常的概率分布是正確的，對于一些非精確情形，特別是沒有清晰界限的信息，與人類語言/行為相關的信息，或者由于受知識和認識所限而難以表達和清晰定義的信息等，這種非確定性信息統稱為模糊性信息。具有模糊性信息的系統稱為模糊系統，有時也稱軟系統，這類系統的特點是，系統的行為/結構沒有清晰的界定，系統的信息反映了人類的主觀屬性和非精確性。基于精確數學理論的優化方法和基于概率理論的隨機優化方法都不能準確地描述這類系統的行為和特性，因而也不能有效地求解這類系統。起源于50年代并很快得到發展的模糊集理論和基于模糊集理論的模糊優化方法提供了處理這類軟系統的建模和優化的有效方法與技術，基于模糊集理論的建模和優化方法稱為模糊建模和模糊優化方法。模糊優化

模糊優化理論和方法的研究，在70年代有人提出模糊決策的概念和模糊環境下的決策模型后迅速發展。許多學者相繼研究了模糊線性規劃模型，模糊多目標規劃模型，模糊整數規劃模型，模糊動態規劃模型，可能性線性規劃模型和模糊非線性規劃模型，并提出了求解這些模型的方法。同時,模糊排序，模糊集運算，靈敏度分析和對偶理論以及模糊優化在生產實際中的應用也成為模糊優化理論和方法的重要研究內容。通過查找相關文獻，總結了模糊優化的理論與方法，主要包括五個部分： 1、模糊建模與模糊優化； 2、模糊優化問題的一般形式與分類； 3、模糊優化方法的基本框架和主要優化方法； 4、模糊線性規劃問題的分類； 5、模型與求解方法及最優解的類型。1模糊建模與模糊優化

模糊建模是指從模糊信息的描述到建立一個適當的數學模型的過程。模糊優化是指模糊模型的求解過程。一般地，對于一個復雜問題，從建立模糊優化模型（模糊建模）到求解模糊優化模型（模糊優化）需要經過以下五個基本環節模糊建模階段1ABC基于對問題本身的理解，分析問題中存在哪些模糊信息，以及出現的形式（如模糊目標，可行集、約束集或參數）和方式，如非精確的量化形式或者是含糊不清的語言等。模糊信息的描述與表達，采取適當的方式，如隸屬函數、可能性分布函數，以線性形式或非線性形式等來描述模糊信息。在這個過程中，應該充分反映決策者的意愿和觀點，即主觀性或偏愛。在A、B的基礎上，根據問題的特點和要求，采用適當的數學工具和方法，建立模糊優化模型。D將模糊優化模型轉化為清晰優化模型。在這個過程中，首先要明確問題是尋求什么形式的最優解，是確定型的最優解、滿意解或是模糊解，這要取決于決策者對問題的理解和問題的要求，即對最優解的理解。然后基于模糊數學的一些理論和原理如模糊排序理論、擴展原理、模糊集運算等，提出一些新的概念。在此基礎上，把模糊優化模型轉化為等價的，或者近似的確定型清晰優化模型。E清晰優化模型的求解。根據等價的或近似的清晰優化模型的特點（線性、非線性；單目標、多目標；連續型、離散型或混合型等），采用或者設計合適的優化算法，如傳統的啟發式算法、單純型算法，或者智能化優化方法，如模擬退火、遺傳算法、禁忌搜索等。模糊優化階段12模糊優化問題的一般描述

令X={x}是可選方案的集合，目標函數F：X→L(R)，其中，L(R)是R的一類模糊子集，可行域是一個模糊子集，Uc(x)∈[0,1]，模糊優化問題可以表述為一般形式(FOP)：F(x,r)→。其中，r是參數，可以是清晰型，也可以是模糊型。(FOP)表示尋找x“屬于”C，使得F(x,r)具有“盡可能大”的值。2模糊優化問題的兩種類型

類似于確定型優化問題，一般把模糊優化問題分為兩種類型，模糊極值問題（無約束模糊優化問題）和模糊數學規劃問題（約束模糊優化問題）1、模糊極值問題一般形式是:max/minY=F(X,r)，其中X∈X是模糊子集，F是一個清晰定義的函數，Y是R的模糊子集。模糊優化問題的兩種類型2、模糊數學規劃問題在FOP中,?C是用模糊系統約束或清晰的系統約束來描述，F(x,r)是清晰定義的目標函數或非清晰定義的目標函數。由于模糊因素在目標/系統約束中出現的形式不同，一般將模糊數學規劃問題分為：i)目標/系統約束的參數清晰型；ii)目標/系統約束的參數模糊型。由于目標函數和系統約束的不同形式（線性、非線性；單目標、多目標等）以及模糊因素的描述方式（隸屬函數、可能性分布函數;線性、非線性），一般形式的模糊數學規劃問題分別可以描述成多種形式：①模糊線性規劃(FLP)模型，②模糊非線性規劃(FNLP)模型(0-1規劃模型，整數規劃模型)，③可能性線性規劃(PLP)模型，④模糊多目標規劃(FMOP)模型，⑤模糊動態規劃(FDP)模型等。。。23模糊優化方法基本框架1）確定可選解集X。2）構造結果函數e(x,C0,C)，用于表達每個可選解x∈X對目標和約束的位置。其中，C0和C分別表示模糊目標和約束。3）定義由所有可能的結果組成的集合I上一個兼容性函數K(e(x,C0,C))，表示可選解X與目標和約束的兼容性程度。4）構造一個轉換函數T，即T：x∈X→TK(x)∈R，原模糊優化問題FOP轉變為TK(x)=F(x)。模糊優化方法的主要方法3

現有的各種模糊優化方法主要表現在定義不同的X,K和T及最優解類型上。基本框架體現了模糊優化方法的基本思想是把模糊優化問題轉化為確定性的優化問題。因而模糊優化方法研究的重點是如何轉換，在轉換過程中，首先要根據問題的要求，解決對最優解的理解問題，即確定最優解的類型，是確定型解、模糊解，還是滿意解；其次是提出一些新的概念，利用模糊集理論的一些原理和概念，根據最優解的類型，設計轉換的方法。3模糊優化方法的主要方法現有的模糊優化方法主要包括以下幾種：1、對稱方法

i）基于模糊決策的對稱方法,即Bellman-Zadeh方法

ii）基于非劣關系的對稱方法2、非對稱方法3、Bellman-Zadeh方法擴展化的方法4、交互式滿意解法5、模糊遺傳算法3基于模糊決策的對稱方法

通過引進模糊決策D的概念，把模糊約束C和模糊目標G等同考慮，FOP可以解釋為滿足模糊約束的同時達到模糊目標，即D=C∩G，其中∩是交叉算子，用隸屬函數的形式，可以描述為:

其中“*”是對應∩的算子，模糊決策D是問題的最優解。該方法提供了求解模糊優化問題的基本框架，被視為模糊環境下決策的基本方法。由于選取不同形式的算子，相應地可以得到不同的方法,其中最常見的是取最小運算。基于這種方法，以模糊約束和目標滿足程度的各種平衡形式為優化目標，而發展起來多種方法，其最優解的形式因采用的方法不同而不同，包括精確最優解、模糊決策集、模糊最優解等。其中容差法即是基于這種方法中最有影響，也是最實用的一種方法。在這一方法中，提出了最大決策的概念。在這些基于模糊決策的對稱方法中，容差法已被成功地應用于解決生產實際問題。=*3基于非劣關系的對稱方法

基本思想是首先構造一個模糊嚴格偏愛關系。定義e(x,,C)=(x,x)用以表達兩個元素優劣關系(x嚴格優于x)的程度。然后定義x與目標和約束的兼容性程度K(e(x,?,C))=1-(x,x)=(x)其中，(X)稱為非劣于其它任何元素的程度。最后將原模糊優化問題FOP轉化為(X)進而轉化為等價的半無窮規劃模型，用割平面算法和三階段算法求解。兩種對稱方法共同特點是把約束和目標視為相同的概念。3非對稱方法

非對稱方法求解具有形式的模糊優化問題FOP，其中

是相對于目標和約束的清晰定義的兼容性函數。由于對最優解的不同理解，導致不同的方法，主要包括：

1、模糊最大決策方法。定義模糊最大決策M為一個模糊集，其元素的隸屬度反映模糊可行解集的支集與模糊目標集的兼容性程度.模糊最大決策為問題的最優解。

2、基于模糊最大決策的精確最優解，基本思想是最大化模糊最大決策和模糊可行解集的交集。問題的最優解是確定性最優解。

3、模糊解方法。為了反映問題的模糊性，1977年有人提出了模糊解的概念，并提出了模糊解的兩種描述方法。分別通過參數規劃技術和多目標規劃方法得到所描述的模糊解。模糊解為問題的最優解。3模糊遺傳算法

Buckley提出了模糊遺傳算法，近似求解具有maxY=F(X)形式的模糊極值問題，其中X是[0,M]任何一種類型的模糊子集，M>0，F是一個清晰定義的影射(函數)。模糊遺傳算法的基本思想是：首先定義一個測度函數m(y)=θ；離散化X,?X=(x0,x1,x2,,,xN),xi=ux(zi),zi=i*M/N,i=0,1,2,…,N.原模糊優化問題可以描述為如何確定xi，i=0,1,2,…,N，使得m(y)=Hymax。然后利用遺傳算法求解確定型最大值問題。4模糊線性規劃問題的分類與描述4模糊線性規劃問題的分類與描述

模糊環境下線性規劃問題的描述將取決于模糊性出現的形式。模糊性出現的形式包括：1）目標描述的非精確定義2）模糊關系（模糊等式，模糊不等式）表達的線性系統約束3）具有模糊效益/價格系數ci的目標函數4）具有模糊技術系數Aij和模糊資源可用量bi的線性系統約束4模糊線性規劃問題的分類與描述據此，將模糊線性規劃問題FLP分為以下兩類：I)清晰系數型。包括:i)模糊資源型(FLP1)——模糊關系定義的線性系統約束；ii)模糊目標-資源型(FLP2)——非精確定義的目標和模糊關系定義的線性系統約束。II)模糊系數型。包括:i)模糊資源可用量型(FLP3)——資源可用量是模糊數；ii)模糊效益/價格系數型(FLP4)——目標函數中效益/價格系數是模糊數；iii)模糊技術系數和資源可用型(FLP5)——技術系數和資源可用量都是模糊數；iv)系數全模糊型(FLP6)——效益/價格系數，技術系數和資源可用量都是模糊數。5基本模型與方法

模糊線性規劃問題的基本模型主要分為兩類，即對稱模型和非對稱模型。求解模糊線性規劃問題的基本模型和方法，側重于模糊數的描述、最優解的定義和表達，如下：1、FLP1

Verdegay非對稱模型2、FLP2

Zimmermann的對稱模型和容差法

Werner的對稱模型

Chanas的對稱模型5Verdegay非對稱模型5Zimmermann的對稱模型和容差法5Zimmermann的對稱模型和容差法5Werner的對稱模型5Chanas的對稱模型5Chanas的對稱模型5Chanas的對稱模型

對于不同形式的FLP3~FLP6，根據模糊系數的類型和特點，構造不同形式的Li(x)和L0(x)。

FLP3~FLP6問題均可描述成對稱模型和非對稱模型，用前面介紹的四種方法求解。非對稱模型的模糊最優解集和滿意解以及對稱模型的精確最優解是對應問題的最優解。5

基本模型與方法模糊非線性規劃問題5

模糊非線性規劃問題的分類應該從非線性和模糊性兩個方面來綜合考慮。非線性主要表現在:

1)目標由非線性函數描述;

2)約束條件由非線性函數或關系描述;

3)模糊目標和/或系統約束用非線性隸屬函數來描述。同時，模糊性主要表現在:

1)目標描述的非精確定義;

2)模糊關系(模糊等式,模糊不等式)表達的系統約束;

3)具有模糊系數或參數的目標函數;

4)具有模糊系數或參數的系統約束。模糊非線性規劃問題5

類似于一般模糊數學規劃問題的分類方法，從模糊性角度來考慮，模糊非線性規劃問題一般分為：

1）清晰型系數/參數的模糊非線性規劃問題。這類問題常常通過容差方法描述為對稱模型或非對稱模型求解。

2）模糊型系數/參數的模糊非線性規劃問題。這類問題的求解常常較前者復雜。一般地，通過對模糊參數的描述，轉化為類一問題或者多目標規劃問題，用多目標規劃方法或參數方法求解。

各種模糊優